книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf4.1.89. |
Проходит ли линия, заданная уравнением |
|
|
|
х2 + 4хт/ + 6у2 — 2х + 2т/ = О |
|
через начало координат? |
|
4 .1 .9 0 . |
Изобразить фигуру, заданную уравнением: |
|
|
1) |
х + у - 1; |
|
2) |
|х| + |J/| = 1; |
|
3) |
х2 + у2 = 0; |
|
4) f t = й : |
|
|
5) |
х H- |ж = у + \у\. |
4 .1 .9 1 . |
Симметрична ли фигура, заданная уравнением (ж2 + у2 + у) 2 = |
|
|
= х2 + у2 относительно оси Оу1 оси Ох? |
|
4 .1 .9 2 . |
Какая линия определяется параметрическими уравнениями: |
|
|
|
/ x = t2, |
1)
[У =
х = 3 — t,
2)
У = t - 4?
§2. ПРЯМ АЯ НА ПЛ О СКО СТИ Различные виды уравнения прямой
Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравне нием первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
у = кх 4- Ь, |
(2.1) |
где к — угловой коэффициент прямой (т. е. тангенс угла а, который пря мая образует с положительным направлением оси Ох, к = tg a ), 6 — ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
2. Общее уравнение прямой:
Ах + By + С = 0, |
(2.2) |
где Л, В и С — постоянные коэффициенты, причем А и В одновременно не обращаются в нуль (А2 + В 2 ^ 0 ) .
Заметим, что п = (А] В) — нормальный вектор прямой (п перпенди кулярен прямой). Частные случаи этого уравнения:
Ах + By = 0 (С = 0) - г прямая проходит через начало координат; Ах + С = 0 (В = 0) — прямая параллельна оси Оу;
By + С = 0 (А = 0) — прямая параллельна оси Ох\
Ах = О (В = С = 0) — прямая совпадает с осью Оу; By = О (А = С = 0) — прямая совпадает с осью Ох.
3.Уравнение прялюй в отрезках:
-а + Iо = 1, |
(2.3) |
где а и 6 — длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно (рис. 23).
Рис. 23
4.Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном на
правлении:
У ~ У о = к ( х - х 0 ), |
(2.4) |
где k = tg a (a — угол, образуемый прямой с осью Ох); |
(хо;уо) — ко |
ординаты данной точки. Уравнение (2.4) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (хо;уо); уравнение пучка прямых, про
ходящих через точку пересечения двух прямых А±х 4- В\у 4- С\ = |
0 и |
А2х + В2 У + С2 = 0 имеет вид |
|
А\х + В\у + С\ + \ ( А 2 х 4* В2у + Со) — 0, |
(2»5) |
где Л — числовой множитель.
5.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М\{х\;у\)
и М2 (х2 ;У2 ), где у\фу2 ,х\ф х2 имеет вид
У -2/1 = |
х — х\ |
(2.6) |
|
2/2 — 2/1 |
х 2 —Х 1 |
||
|
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле
k = 2/2 “ |
2/1 |
(2.7) |
Хо |
Х\ |
|
Если х\ = х2 , то уравнение прямой (2.6) имеет вид х = xi; если ух = у2,
то: у = 2/1.
б. Нормальное уравнение прямой:
х cos а + у sin а - р = 0, |
( 2.8) |
где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на пря мую, а — угол, который этот перпендикуляр образует с положительным
направлением оси Ох (рис. 24).
Общее уравнение прямой (2.2) можно преобразовать в нормальное
уравнение (2.8) |
путем умножения на нормирующий множитель |
А = ------ 7 1- — |
; знак перед дробью берется противоположным знаку |
± V А2 + В 2 |
|
свободного члена С (в общем уравнении прямой).
7. Уравнение прямой в полярных координатах имеет вид
rcos(y? - а) —р, |
(2.9) |
г, <р, а, р — изображены на рисунке 25 (полярная система координат).
4.2.1. |
Построить |
прямую, заданную уравнением 2х - у — 4 = 0. |
|
О 1- Для |
построения прямой достаточно знать координаты |
двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, на пример, х = 0, получим у = —4. Имеем одну точку >1(0; —4). Полагая х = 1, получим у = —2. Отсюда вторая точка В( 1; —2). Осталось построить точки А и В и провести через них прямую (рис. 26).
|
Рис. 26 |
Рис. 27 |
|
2. |
Задачу можно решить иначе, используя уравнение пря |
||
мой в отрезках. Приведем уравнение к виду (2.3). Для этого |
|||
перенесем свободный член ( -4 ) |
в правую часть уравнения и |
||
обе его части разделим на 4. Получаем 2а; — у = 4, |
— IL = i j |
||
4 .2 .2 .
4 .2 .3 .
4 .2 .4 .
4 .2 .5 .
4 .2 .6 .
4 .2 .7 .
т. е. ^ ^ = 1 — уравнение прямой в отрезках на осях. На
оси Ох отложим 2 единицы вправо (от начала координат); на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях,
через которые проводим прямую (рис. 27). |
9 |
Записать уравнение прямой у = 2 х —3 в отрезках и построить ее.
Определить при каком значении а прямая (а 2 — а)х + (2 +а)у - - За + 1 = О а) параллельна оси Ох;
б) проходит через начало координат.
Найти к из условия, что прямая у = кх + 2 удалена от начала координат на расстояние у/3.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку а (—2; и образующей с осью Ох угол, равный arctg 3.
Уравнение прямой 4а; — Зу + 12 = 0 представить в различных видах (с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормаль ного уравнения).
О Д ля получения уравнения прямой с угловым коэффициен том разрешим заданное уравнение относительно у. Получим
Зу = 4х + 12 и далее у = ^х + 4 — уравнение прямой с угловым
коэффициентом; здесь к = |
6 = 4. |
Для получения уравнения прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части урав нения на —12. В результате получим ^ = 1 — уравнение
в отрезках на осях; здесь а = —3, 6 = 4.
Приведем исходное уравнение к нормальному виду (2.8). Для этого умножим обе части уравнения 4х—Зу+12 = 0 на нор
мирующий множитель Л = ------->-■- |
■ ■ |
. т. е. Л = — 1 . Перед |
- у/& + |
( - 3 ) 2 |
5 |
корнем взят знак «минус», т.к. свободный член (С = 12) имеет
знак «плюс». Получим — А(4я —3?/-Ц 2)=0, т.е. — |
|
— |
= |
|
= 0; здесь cosa = — sina = | ^cos2 a + sin2 а = |
^ |
= |
1^, |
|
р = |
т.е. расстояние от 0 (0 ; 0) до прямой равно 2,4. |
|
• |
|
Записать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальное для заданных прямых и определить на каком рас стоянии от начала координат они находятся:
а) 2х —Зу + б = 0; б) х + 2,5 = 0; в) у = х - 1; г) х + 5у = 0.
= 2co s^ = |
= y/3, т. e. p = |
\/3. Следовательно, уравнение |
||
искомой прямой есть rcos^y? - |
^ |
= \/3. |
• |
|
4 .2 .1 5 . Найти уравнение прямой: |
|
|
|
|
а) образующей с осью Ох угол |
^ и пересекающей ось Оу в |
|||
точке (0; - 6 ); б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, рав ный 2;
в) отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 4.
Дополнительные задачи
4 .2 .1 6 . |
Составить уравнение прямой, если точка М (4;2) является се |
|
|
рединой ее отрезка, заключенного между осями координат. |
|
4 .2 .1 7 . |
Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат |
|
|
равные отрезки, если длина отрезка, заключенного между ося |
|
|
ми координат, равна 7\/2. |
|
4 .2 .18 . |
Луч света, пройдя через точку Л (2;3) под углом а к оси Ох, |
|
|
отразился от нее и прошел через точку В (—5; 4). Найти угол а. |
|
4 .2 .19 . |
Луч света направлен по прямой х — у — 1 = 0. Определить |
|
|
точку встречи луча с осью Ох и уравнение прямой, по которой |
|
|
направлен отраженный луч. |
|
4 .2 .2 0 . |
При каких значениях а и /? прямая (а — @)х + (2а + /3)у — 1 = 0 |
|
|
отсекает на оси Ох отрезок, равный А, а на оси Оу — отрезок, |
|
|
1 |
» |
|
равный j |
(единиц масштаба). |
4 .2 .2 1 . |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку Л(4; 4) |
|
|
и отсекающей от координатного угла треугольник площадью |
|
|
5 = 4. |
|
4 .2 .2 2 . |
Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А тре |
|
|
угольника АВС с вершинами А(1; —2), В (5;4), С (—2; 0). |
|
4 .2 .2 3 . |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; —4), |
|
|
являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из на |
|
|
чала координат на прямую. |
|
4 .2 .2 4 . |
Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В (3; 8), С(6; 2). Написать |
|
|
уравнение сторон треугольника. |
|
4 .2 .2 5 . |
Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до |
|
|
начала координат равно \/2, а угол между перпендикуляром, |
|
|
опущнным из начала координат на прямую, и осью Ох, ра- |
|
|
Q |
|
|
вен ттг* |
|
|
4 |
|
4 .2 .2 6 . |
Найти площадь треугольника, заключенного между осями ко |
|
|
ординат и прямой 2х — by + 10 = 0. |
|
О1) Воспользуемся формулой (2.10). Подставляя в нее зна-
|
чения ki = 2 и к2 |
= |
находим tgyj = |
|
|
= |
- , |
||||||
|
ip = arctg I |
(tp « |
37°); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2) |
Подставим значения A\ = |
2, = —3, A2 = 5, B2 |
= |
—1 |
|||||||
|
в формулу |
(2.13): tg</? = |
2 - С-1) - 5 - С-3) |
- 2 + |
15 |
= |
1, |
||||||
|
2 •5 + ( - 3 ) •( - 1 ) |
||||||||||||
|
/Л _ 7г. |
|
|
|
|
|
10 + 3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4» |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Здесь fei |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
^, найдем &2- Для этого перейдем от 6у = |
|||||||||||
|
= |
—8 х — 5 к эквивалентному равенству у = |
—^х — |
|
Здесь |
||||||||
|
ко = |
Так как к\ |
&2 = |
—1, то данные прямые (см. (2.12)) |
|||||||||
|
перпендикулярны. |
(По формуле |
(2.10) получаем: |
tgip |
= |
||||||||
|
|
|
4 |
3 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
12 |
° ° ’ * > = !• ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
1 - Н ) |
|
1 - 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
5, tgy? = |
0, ip = 0. |
|
|
|
• |
|||||
|
|
4) fci = 5, &2 = |
|
|
|
||||||||
4 .2 .5 3 . |
Найти угол между двумя прямыми: |
|
|
|
|
||||||||
|
1) За; + 2 у — 1 = |
0 и 5а; — у + 4 = 0; |
|
|
|
|
|
||||||
|
2) |
у = |
3,5а; — 3 и 7х —2у + 2; |
|
|
|
|
|
|||||
|
3) |
х + 47/ + |
10 = |
0 и 5?/ — 3 = 0; |
|
|
|
|
|
||||
|
4) |
За; - |
2у + 0,1 |
= 0 и 2х 4- Зу - 5 = |
0. |
|
|
|
|
||||
4 .2 .5 4 . |
Найти угол между прямыми: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) х —2 = 0 и х — у + 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
б) 2х - |
Зу = 0 и прямой, проходящей через точки (5; 0) и (0; 3). |
|||||||||||
4 .2 .5 5 . |
Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых: |
||||||||||||
|
1) |
Зх + 5у — 9 = |
0 и 10а; — 6т/ 4-4 = |
0; |
|
|
|
|
|||||
|
2) 2х + 5у - 2 = 0 и х + у + 4 = 0; |
|
|
|
|
|
|||||||
3)2у = х —1 и 4у — 2х + 2 = 0;
4)х + 8 = 0 и 2а; — 3 = 0;
5) |
|
|
| = 1 и у = |
+ 2; |
|
6) х + у = 0 и х — у = 0; |
|
|
|||
Т) 2/ Н- 3 = |
0 и 2д; + ?/ — 1 = 0; |
|
|||
8) |
у = |
3 - |
6а; и 12а; -Ь 2?/ — 5 = |
0; |
|
9) |
2а; + Зу = 8 и х + у — 3 = 0; |
|
|||
10) |
— |т/ - 1 = 0 и |а; + |
+ 2 = 0. |
|||
4 .2 .5 6 . При каких значениях а следующие пары прямых: а) парал
лельны; б) перпендикулярны? |
|
|
|||
1) |
2а; - |
Зу + 4 = |
0 и ах - 6 у + 7 = |
0; |
|
2) |
ах - |
4у + 1 = |
0 и -2а; + 7/ + |
2 = |
0; |