Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 5824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

6.1.23.Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а ка кие — общего вида:

6.1.24.

6.1.25.

2)	Д х )	=	х 4 -	5\|х\|;
3)	Д х)	=	е* -	2е- х ;

4) / ( * ) = l n f = f .

О 1) £(/) = (—оо;+оо), и, стало быть, область определения функции симметрична относительно начала координат. Кроме

того, Д - х ) =		( —X ) + 1	= - Д х ) , т.е. данная функ-
ция нечетная.			X + 1

2) D (f) =		(—оо; +оо) и / ( - х ) = ( - х )4 -		5\| - х\| = х4 - 5\|х\| =
= /(х ) . Следовательно, функция четная.
3) D (f) =		(—со; +оо)	и / ( - х ) = е~х -	2е*	ф ± /(х ), т.е.
данная функция общего вида.
4) D (f) =		(—1; 1), т.е. область определения симметрична
относительно нуля. К тому же / ( —æ)=ln					=
= —1п \|	. х =	— /(х ), т.е. функция нечетная.			•
X	г х

Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а ка кие — общего вида:

1) Д х) =

2) /(х ) = х5 + Зх3 - х;

3)/(х ) = v/ж;

4)/(х ) = arcsinx;

5)/(х ) = sinx + cosx;

6)	f [x) =	\|х\| - 2;
8)	/(x )	= x •e*.

Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он суще ствует:

1) f(x ) = sin4x;

2)/(x ) = cos2 5x;

3)/(от) = tg f;

4)/(x ) = sin 2x + cos3x;

5)f{x ) = x2.

О1) Наименьшим положительным периодом функции sinx

является число 2л*. Покажем, что наименьший положительный период sin4x — число ^jL =

	Действительно, sin4^r + ÇJ				= sin(4a; + 2n)	= sin4x, т.е.
T	=	^	— период данной функции. С другой стороны, если
Ti	>	0	—	какой-либо другой	период этой	функции, то
sin4(x +			Ti)	= sin4.T для всех х , т.е. sin(4a; +		4Ti) = sin4x,
х	€ М. Отсюда следует, что 4Ti — период функции siп£, где
t = 4.т, и, значит, 4Ti ^ 27т, т.е. Т\ ^ Ç.
	Таким образом, Т = ^ — наименьший положительный пе
риод функции sin 4.г*.
	Аналогично можно показать (см. также задачу 6.1.123), что
наименьший				положительный период функций		sin(/Ja; + b) и
cos(кх 4- b) (к ф 0) — это число

2) Поскольку cos2 5а; = L±-Ç2s l 0x ^т0 перИ0Дданной функ

ции совпадает с периодом функции cos 10х. Рассуждая как и в пункте 1), легко показать, что наименьший положительный

период функции cos 10а; равен ^ZL = Е . Таким образом, наи

меньший положительный период функции f(x ) равен ? .

3) Наименьший положительный период tg.x равен 7г, поэто му наименьший положительный период функции tg ^ будет ра

вен (см. рассуждения в пункте 1))	= Зтг.
4) Наименьшие положительные периоды функций sin 2а; и
cos За; соответственно равны (см. пункты 1) и 2))		т.е. тг,

и 4^. Нетрудно показать (см. также задачу 6.1.124), что наи

меньший положительный период суммы этих функций будет равен наименьшему общему кратному их периодов, т.е. числу

2тг.

5) При х > 0 функция определена и возрастает, поэтому не может быть периодической. Значит, и на интервале (—оо; +оо) функция не является периодической. •

6.1.26. Какие из следующих функций периодические, а какие — нет? Там, где это возможно, найти наименьший положительный пе риод функции:

1) f(x) = cos

2) f(x) = |®|;

3)f(x ) = tg(2x - 1);

4)f(x) = sin | — ctgx;

5) /(x ) = sin 3a; •cos 3a;.

У				У
р р } .	о	р
■ ïÂ 'à A W	/ S / A	-	_ з _ 2 - 1	1 2 3 *
Z . 2 . . Z .		х	_ з _ 2 - 1	1 2 3 *
1
2

		а				б
			Рис. 75
	части этого графика, которые расположены ниже оси Ох, отра
	жаем относительно этой оси — в итоге имеем искомый график
	(рис. 75 б)).					•
Построить графики функций:
6.1.29.	у = \х —3\|.		6.1	.30.	у = х2 - 6 х + 11
6.1.31.	у = 3 cos 2.т.		6.1	.32.
6.1.33.	y = 2x~1 +Z.		6.1	.34.	У =	1°6з(-*)-
6.1.35.	У = tg N -		6.1.36.		,	ж + 4
					у	ж + 2 ‘
6.1.37.	Найти сложные функции / О g и g о / , где
	1) /(ж) =	у/х, д(х) = ж2;*
	2) f ( x) =	я3, д(х) =	2 х - 1 .

О1) По определению композиции функций имеем (f°g )(x ) =


	=	/(</(*)) = Л ? = И (</ ° f)(x) = </(Дж)) = (у/х)2 = х ,х ^ 0 .
		2)	Аналогично, (fog)(x) = (2ж -			I)3, (9 ° f)(x ) = 2.т3- 1. •
6.1.38.	Найти сложные функции /				о g и до / ,	где
	1)	f(x)	= ех, д(х) = Inж;
	2)	/(ж) =		Зж + 1, д(ж) = 2ж -	5;
	3)	/(ж) =		\|ж\|, д(х) = cos ж.
6.1.39.	Найти обратную функцию для данной:

1) у = х - 1;

2)у = ж + 3 ;

3)у = s/x.

О 1) Функция у = х — 1 возрастает на промежутке (—оо; + оо), а значит, для любых х\ ф х^ имеем: f(x 1) ф f(xo). Отсюда следует, что на (—оо; +оо) эта функция имеет обратную. Для того, чтобы найти эту обратную функцию, разрешим уравне ние у = х — 1 относительно я, откуда х = 2/ 4- 1. Записывая полученную формулу в традиционном виде (т.е. меняя х п у местами), найдем окончательно: у = я +1 — обратная функция к исходной.

2) Функция у =	■ ” » убывает на множестве (-o o ;-3)U
U(—3; +оо), являющейся областью определения. Поэтому у нее
есть обратная, которую найдем, разрешая уравнение у = Xт О
относительно х.	о
Отсюда получим, что функция у = ^ — 3 — обратная к
исходной.
3) Функция у =	у/х возрастает на промежутке [0; +оо) и,
стало быть, имеет обратную. Рассуждая, как в пунктах 1) и 2),

найдем обратную функцию у = х2, х е [0; + оо). Область опре деления этой функции совпадает с областью значений исход ной функции у = у/х, т.е. с промежутком [0;+оо). •

6 .1 .40 . Доказать, что функция у = х2 не имеет обратной на интервале (—оо; +оо).

О Для любого уо >0 уравнение уо = х2 имеет два решения

xi =	y/ÿà и Хо = —y/ÿô (т.е. каждая горизонтальная прямая
у =	уо пересекает график функции у = х2 в двух точках).

Но функция имеет обратную только в том случае, если такое решение единственно. Значит, данная функция действительно не имеет обратной на интервале (—оо; +оо). •

Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций найти обратные функции.

6.1.41.	?/ =	Зх + 5.	6 .1 .42 .	?/ =	х 3 — 2.
6.1.43.	у =	\|х\|.	6 .1 .44 .	у -	2 -= ^ .
					X

Выяснитьу какие из следующих функций являются монотонными, ка кие — строго монотонными, а какие — ограниченными:

6.1.45.	f(x)	=	с.	6.1.46.	/(x ) =	sin2x.
6 .1 .47 .	/(x )	=	arctgx.	6 .1.48.	f(x) =	- я 2 + 2x.
6 .1 .49 .	/( * ) = f ± § .
6 .1 .50 .	/(x ) = [x] (см. задачу 6.1.27).
6 .1 .51 .	Вычислить значения гиперболических функций:
	shO, ch0, thO, shl, ch(ln2).
6 .1 .52 .	Доказать тождества:
	1)	ch 2x = ch2 x + sh2 x;			2) sh 2x = 2 sh x ch x;
	3) ch2 x = ph2ж + 1 .				4) sh2 x =
	5)	ch a: •chy =		^[ch(x + y) + ch(x -	y)];

6)	shx •shy =	i[ch(x + y) - ch(x -	y)];
7)	shx •ch y =	^[sh(x + y ) + sh(x -	y )].

Д .53. Функция y задана неявно. Выразить ее в явном виде. 1) ху = 7;

2) х2 -by2 = 1, у ^ 0.

О1) При х ф 0 из данного уравнения получим у =

2) Выражая ?/ из данного уравнения, имеем у = —V Î — х2.

g 1.54. Функция у задана неявно. Там, где это возможно, выразить ее в явном виде:

2)	х + \у\ = 1;
3)	еу - sin у = х2.

6 . 1 . 5 5 . Какие из следующих точек принадлежат графику уравнения

у + cos у - х = 0:
Л(1;0),	В(0;0), C '( f ï f ) .

6.1.56.Кривая задана параметрически

(х = t - 1;

\y = t2 + 1.

	1) Найти точки на графике при t = 0 ,t =					l ,t = -V 2 .
	2) Какие из следующих точек лежат на этой кривой:
			Л(1;5),	в ( \|	С(2;8),	D(0;1)?
Дополнительные задачи
Найти обмети определения функций:
6.1.57.	/(ж) = ctgx.				6 .1 .58 .
6.1.59.	/(ж) = агссоэЗа;.				6 .1 .60 .
6.1.61.	/(ж) =	у/х + 5 - л/—8 - ж.			6 .1 .62 .
6.1.63.	/(ж) = е1”1.				6 .1.64. /(ж) =	arcsin(log3 ж).
6.1.65.	/(ж) =	V I -	х2 •arctg 1 .		6 .1.66.	- 2
6.1.65.	/(ж) =	V I -	х2 •arctg 1 .		6 .1.66.	+ 5*
						+ 5*
6*1-67.	/ ( i ) =	cos 1	+ ln(x +	1) +	- ж.

6 .1.68.	Д х)	=	4 -	х2.	6.1.69.
6 .1 .70 .	Д х) = 2 * .				6.1.71.
6 .1 .72 .	Д х) = е * 2- 2* - 3 .				6 .1.73.
6 .1 .74 .	Д х)	=	sin х • cos х.		6 .1.75.
6 .1 .76 .	fix)	=	х2 -	4.т + 3, а; €	[0; 5].

fix)

fix )

II	T I	1	Ol\|C—T
=	ln(x2 + 1).
_	X
	w
II		to	+

Найти 2/(0), 2/(2), !/(§)> î/(*2)> Зу(5аг) Зля функции у(х):

6.1.77.	у(х) = уДх + 7.			r—1		при х < 2,
6.1.77.	у(х) = уДх + 7.			6 .1 .78 . у(х) =	0	при х = 2,
				6 .1 .78 . у(х) =	0	при х = 2,
				^	1	при х > 2.
6.1.79.	Решить уравнение Д х) = / ( 1), где Д х) = 4х3 -					4х + 1.
6.1.80.	Выяснить, какие из следующих функций являются четными,
	какие — нечетными, а какие — функциями общего вида:
	1) у(х) =
	2) у(х) =		\|® + 1\|— \х — 1\|;
	3) ip{t)=		\|£ — 2\|;
	4) z(y) = 1п2/3;			при х ^ 0,
	5) Л») = { f			при х ^ 0,
	5) Л») = { f			при х < 0;
	в) ДО = ( _ ‘г			при t > 0,
	в) ДО = ( _ ‘г			при t ^ 0;
	7) h(a) =
	8) /(х ) = с.
6 .1 .81 .	Дана функция Д х) = х, х € [0;+оо). Доопределить ее на ин
	тервале (—оо;0) так, чтобы новая функция #(х), определенная
	на интервале (-оо;+оо), была:
	1) четной;
	2) нечетной;
	3) функцией общего вида.
6 .1 .8 2 .	Выяснить, какие из следующих функций периодические, и оп
	ределить их наименьший положительный период:
	1) у = ln\|æ\|;
	2) у =	\|cosx\|;
	3 ) у =	Ю;

4 ч _	sin 5х
	c o s 4 x -2 *

6.1.83.

6.1.85.

6.1.87.

6.1.89.

6.1.91.

6.1.93.

6.1.95.

6.1.96.

у = In X2.	6.1.84.	у = \|\|х-2\|-3\|.
	6.1.86.	у = —у/х + 2.

уж + 3'

у =	cosec ж.	6.1.88.	у =	1 —31пж.
у =	ж •sin ж.	6.1.90.	2/ =	2i .
2/ =	\|ж+ 1\|+ \|ж -2\|.	6.1.92.	?/ = агсзт\|ж\|.

». _ 4ж + 5	6.1.94. 2/ = ж3 - Зж2 + Зж - 1.
У ““ 2ж - Г
	Г	1	при ж > 0,
у = sign ж (читается сигнум ж), где sign ж = <		0	при ж = 0,
	[ —1		при ж < 0.

Найти сложные функции / о / , / ° <7и <7о / , если:

1)	/(ж)	= X2, д{х) =	X + 2;
2)	/(ж)	—signa; (см. задачу 6.1.95), д(х) = - 2;
3)	№	= НГ^З’	= “ Г 1 ’

4) /(ж) = И , д(ж) =

Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций найти обратные (функции.

6.1.97.	У = 1 - х -		6 .1.98. у = 2Х~3
	У = 1 - х -
6.1.99.	Г 2а;	при ж ^	0,
6.1.99.	^ = { —а;2	при ж <	0.
	^ = { —а;2	при ж <	0.

6.1.100. у = signa; (см. задачу 6.1.95).

Выяснить, какие из следующих функций монотонные, какие — строго монотонные, а какие — ограниченные:

6.1.101.	У = 2- * 2
6.1.103.		\|ж
6.1.103.	У =	х -
6.1.105.	v — За; + 5
	у ~	а + 1 ’
6.1.107.	Доказать тождества:
	1 ) 1	th2 х = - Л - ;
		СП" ж

3)	sh(ln х) = æ	2x 1;
5)	sh.T + ch ж =	ех;

6 .1.102.	*5 II	S i 1 to
6 .1.104.	у = ж3 — ж.
6.1.106.	_	Г - 3	при ж < 0,
6.1.106.	^	\ ж	при ж ^ 0.
	2) cth2 ж -		1 = --Д
	'		sh2 a:

4) ch(ln ж) = а 2^ 1 :

6) ch ж — shx = е_а?.

Построить графики уравнений:

6 .1 .108 .	ху =	0.	6.1.109.	\|х\| +	\у\ =	1*
6 .1.110.	ху =	у3.	6 .1.111.	х2 —	у2 =	0.

Более сложные задачи

6.1.112. Пусть D (fi) = Х\, Z)(/2) = Лг2. Доказать, что D (f) — Ai П^У2


	в любом из следующих случаев:
	1) /(^ ) =			/î(^) ± / 2(ж);
	2)	/( * ) = /!( * ) ■ /* ( * ) .
6.1 .113 .	Записать одной формулой функцию, область определения ко*
	торой состоит из:
	1) одной точки;
	2) двух точек;
	3) множества всех целых чисел.
6.1.114.	Привести пример функции /(х ), для которой:
	1) D (f) = E (f);
	2) D ( f ) D E ( f );
	3) DU) C E U ).
6.1.115.	Найти множество значений функции:
	1) №		_	Х _ ± 1 .
			=
	2) /(*) = arcsin^li-I;
	3>'<*> -			p f t r
6.1.116.	Записать одной формулой функцию, область значений которой
	состоит из:
	1) одной точки;
	2) двух точек;
	3) множества всех целых чисел.
6 .1 .117 .	Пусть E (fi) = Х и £ ( / 2) = А 2. Верно ли, что:
	1) E {fi		+ / 2) = E (fi) П E (f2 )]
	2) Я (/1 + / а) = В Д и а д ?
6 .1 .118 .	Могут		ли	существовать такие функции Д (х) и / 2(2:), что
	£ ( / 1) =		E (f2) = К, но:
	1) E {fi + /a ) = { l } ;
	2 )	S ( / i		/ 2 ) = { 2 }?
	Ответ объяснить.
6 .1 .1 1 9 .	Доказать, что:
	1) сумма, разность и произведение двух четных функций есть

четная функция; 2) произведение двух нечетных функций есть четная функция;

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 5824 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf