книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс
..pdf^Эксцентриситетом е эллипса называется отношение фокус ного расстояния 2с (расстояния между фокусами) к большой
оси 2а: |
с |
(е < 1, т.к. с < а). |
(З.б) |
|
е = - |
||
Фокальные радиусы определяются формулами: |
|
||
7’i = |
а + ех, 7*2 = |
а —ex (ri + го = 2а). |
(3.7) |
^Директрисами эллипса называются прямые 1\ и U параллель ные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, рав
ном |
уравнения директрис: |
|
|
х = - и х = |
(3.8) |
Замечания. 1) Если а = 6,то уравнение (3.4) определяет окружность
х2 + у2 = а2;
2) если фокусы эллипса лежат на оси От/, то эллипс имеет вид, изо
браженный на рисунке 33: В этом случае: |
|
b > а, с2 = Ь2 - а2, |
(3.9) |
е = -ь , |
(3.10) |
уравнения директрис у = ± ^ ;
3) уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет
ВИД |
( х - х |
0) 2 (2/ —2/о) |
- = 1, |
(3.11) |
|
a2 |
b2 |
|
|
где {хо;уо) — координаты центра эллипса (рис. 34); |
|
|||
4) уравнения |
f |
|
|
|
|
х — a cos £, |
[0; 27г] |
|
|
|
у = |
t е |
|
|
|
6sin t, |
|
|
|
Рис. 34
являются паральетрическими уравнениями эллипса (t — величина угла между осью Ох и прямой ОМ, соединяющей центр эллипса О с его точ кой М ).
4 .3 .2 7 . Показать, что уравнение 4х2+3у2 —8x4127/ — 32 = 0 определяет эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.
ОПреобразуем данное уравнение кривой. Так как
4х2 + 3у2 — Sx 4 12у — 32 = 4(х2 — 2х) 4 3(у2 4 4у) - 32 =
= 4(х2 - 2ж 4 1 - |
1) 4 Цу2 4 |
4у + 4 - 4) - 32 = |
= |
4(х - I)2 - |
4 4 3(у 4 2)2 - 12 - 32, |
то уравнение можно переписать в виде 4(х —1)24 3 (? /4 2 )2 = 48,
(х —I )2 |
(у 4 2)2 |
= 1- Получили уравнение вида (3.11); |
|
т. е. -— |
— h |
|
|
его центр симметрии имеет координаты (1; —2). Из уравнения
находим: |
а2 = 12, а |
= 2\/3 и Ъ2 |
= 16, Ь = 4 (6 > а). По |
||
этому с = |
у/Ь2 — а2 = |
\/16 — 12 = |
2. Эксцентриситет эллипса |
||
£ = |
Q = |
1 |
|
|
• |
8 |
b |
2’ |
|
|
|
4 .3 .2 8 . Дано уравнение эллипса 24Æ2 4 49у2 = 1176. Найти: 1) длины его полуосей; 2) координаты фокусов;
3)эксцентриситет эллипса;
4)уравнения директрис и расстояние между ними;
5)точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса F\ равно 12.
ОЗапишем уравнение эллипса в виде (3.4), разделив обе его
части на 1176: |
о |
2 |
|
|
|
|
х 1 |
у 1 |
1. |
|
|
— |
4 — = |
|
|
|
49 |
24 |
|
1) |
Отсюда а2 = |
49, Ь2 = |
24, т. е. а = 7, Ь= 2\/б. |
|
2) |
Используя соотношение (3.5), находим с2= 7 2-(2л /б)2= |
|||
= 25, с = 5. Следовательно, JPI (—5;0) и i^ (5;0).
3)По формуле (3.6) находим: е = у.
4)Уравнения директрис (3.8) имеют вид а := ± Х ,т .е .
—О
7
и х= -~ -\ расстояние между ними |
— ^ ^ = ^ = 19,6. |
5) По формуле г\ = а + ех находим абсциссу точек, рассто
яние от которых до точки Fi равно 12: 12 = 7 + ^х, т.е. х = 7.
Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты
этих точек: 24 •49 + 49у2 = 1176, 49у2 = 0, у = |
0. Условию |
задачи удовлетворяет точка А(7; 0). |
• |
4.3.29.Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и урав нения директрис эллипса 16х2 + 25у2 - 400 = 0.
4.3.30.Составить уравнение эллипса, зная, что:
1) его большая полуось равна |
10 и фокусы |
суть F i(—6; 0), |
|
-Fb (10; 0); |
|
|
|
2) |
a = 5 ,F i( -3 ;5 ),F 2(3;5). |
|
|
4.3.31. Составить уравнение эллипса, |
проходящего |
через точки |
|
M i(2; —4\/3) и М2( - 1 ;2 ч/15). |
|
|
|
О |
Уравнение эллипса ищем в виде (3.4) |
|
|
Так как эллипс проходит через точки Mi и М2, то их коор-
|
4 |
ля |
1 и |
динаты удовлетворяют уравнению эллипса: |
+ pf = |
||
Л- + |
Щ = 1. Умножая второе равенство на ( -4 ) |
и складывая |
|
а |
о |
|
|
с первым, находим ——Р = - 3 , т.е. Ь2 = 64. Подставляя най-
о
денное значение Ь2 в первое уравнение, получаем 4$- 4- Ц = 1,
откуда а2 = 16. Таким образом, искомое уравнение эллипса
есть ё + 63 = L |
• |
4.3.32.Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала ко ординат, если:
1) задана точка М\ (2\/3; 1) эллипса и его малая полуось равна
2;
2) заданы две точки эллипса Mi(0; 7) и М2(8; 0);
3)расстояние между фокусами равно 24 и большая ось равна
26;
4) эксцентриситет равен е = ^ и заданы фокусы (± 7;0).
4 .3 .3 3 .
4 .3 .3 4 .
Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Ох, симметрично относительно начала координат, знал,
что: |
5. л/Ш |
|
|
1) М\ (2\/3; 0,4%/Т0) и М2 ( |
— точки эллипса; |
||
|
V 2 ) |
|
|
2) точка М (3; —2\/3) принадлежит эллипсу, е = |
Л . |
||
|
|
|
з ’ |
3)2 а = 20, е =
4)расстояние между фокусами равно 4, расстояние между ди
ректрисами равно 5. |
„2 |
2 |
|
Найти уравнение касательной к эллипсу |
= 1, перпен |
дикулярной прямой х —у + 50 = 0.
О Уравнение касательной будем искать в виде у = кх + с. Ее угловой коэффициент к найдем из условия к •к\ = —1 перпен дикулярности прямых, где к\ — угловой коэффициент прямой х — у -Ь 50 = 0. Так как к\ = 1, то к = — 1, уравнение касатель
ной к эллипсу имеет вид у = —.г* + с. Общие точки прямой и эллипса находим, решая систему уравнений
- |
+ ^ |
= 1 |
20 |
5 |
|
у |
= —х |
+ с. |
Получаем |
+ ------- |
2сж 4- с _ ^ т е 5^2 _ gcx _j_ 4С2 _ 20 = 0. |
Уравнение имеет единственное решение (прямая касается эл липса, т. е. имеет с ним единственную общую точку) лишь в случае, когда его дискриминант равен нулю, т. е.
|
64с2 - |
4 •5(4с2 - |
20) = |
0 |
|
|
|
|
|
или 4с2 — 5(с2 — 5) = 0. |
Значит, |
есть два |
решения: с\ = 5 |
||||
|
и С2 = —5. Условию задачи удовлетворяют две касательные: |
|||||||
|
у = —х + 5 и у = —х — 5. |
|
|
|
|
|
|
• |
4 .3 .3 5 . |
При каких значениях а прямая у = х —а пересекает эллипс |
|||||||
|
х2 -f 2у2 — 4 = 0? Касается его? |
|
|
|
|
|
|
|
4 .3 .3 6 . |
Эллипс касается оси Оу в точке Л(0; 2) и пересекает ось Ох в |
|||||||
|
точках 5 (4 ;0 ) и <7(10; 0). Составить уравнение эллипса, если |
|||||||
|
оси его параллельны осям координат. |
|
|
|
|
|
||
4 .3 .3 7 . |
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси |
|||||||
|
Оу, а малая ось равна 2\/3. Каждый из фокусов равноудален |
|||||||
|
от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси. |
|||||||
|
|
|
2 |
п.2 |
|
|
|
|
|
О Уравнение эллипса имеет вид |
а" |
+ |
о |
= |
Ь |
> а. По |
|
|
условию задачи 2а = 2\/3, т. е. а |
= |
\/3, |
и с = |
^. |
Так как |
||
c2 — h2 - a 2 (3.9), то получаем: |
f 2 |
= |
|
b2 - 3, т.е. b2 |
= 4. Ta- |
|
^ |
2 |
|||||
|
|
2 |
• |
|||
ким образом, уравнение эллипса есть |
|
= 1. |
||||
4.3.38. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси Оу, симметрично относительно начала координат, если: 1) его полуоси равны 5 и 8;
2) 2с = 24, е = g .
Дополнительные задачи |
|
|
|
|
4.3.39. |
Найти длину диаметра (хорда, проходящая через центр) эл |
|||
|
липса Зх2 + 8у2 = 22, делящего угол между осями координат |
|||
|
пополам. |
|
|
|
4.3.40. |
Найти координаты точек эллипса 16х2 + 25у2 —400 = 0, для |
|||
|
которых расстояние от левого фокуса в два раза больше рас |
|||
|
стояния от правого фокуса. |
|
|
|
4.3.41. |
Найти длину хорды эллипса х2 + 10у2 — 10 = 0, проходящей |
|||
|
через его фокус параллельно хмалой оси. |
|
||
4.3.42. |
|
2 |
2 |
1, направленной по |
Найти длину хорды эллипса |
= |
|||
|
диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса. |
|||
4.3.43. |
|
2 |
-. 2 |
= 1, в которых фо |
Найти координаты точек эллипса yg -f ^ |
||||
|
кальные радиусы перпендикулярны. |
|
|
|
4.3.44. |
Определить траекторию перемещения точки М, которая при |
|||
|
своем движении остается одинаково удаленной от точки А(2; 0) |
|||
|
и от окружности х2 -f у2 = 16. |
|
|
|
4.3.45. |
Определить траекторию перехмещения точки М, которая при |
|||
|
своем движении остается вдвое ближе к точке Л(—1; 0), чем к |
|||
|
прямой х — 8 = 0. |
|
|
|
|
В эллипс х2 + |
2 |
|
|
4.3.46. |
= 1 вписан правильный треугольник, одна из |
|||
|
вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти |
|||
|
координаты двух других вершин треугольника. |
|||
4.3.47. |
2 |
f .2 |
|
|
В эллипс % + |
у? = 1 вписан квадрат так, что стороны его |
|||
|
параллельны осям эллипса. Найти площадь квадрата. |
|||
4.3.48. |
Найти уравнения касательных к эллипсу х2 + 2у2 = 3, парал |
|||
|
лельных прямой х — 2у + 1 = 0. |
|
|
|
4.3.49. |
Найти координаты точки эллипса 4.т2 + 9у2 — 72 = 0, наиболее |
|||
|
удаленной от прямой 2а; — 3?/ —1 = 0, вычислить расстояние от |
|||
|
этой точки до данной прямой. |
|
|
|
4.3 .50 . |
Найти координаты точки эллипса 9х2 + 25у2 = 450, расстояние |
|||
|
от которой до правого фокуса в 4 раза больше расстояния до |
|||
|
левого фокуса. |
|
|
|
Рис. 35
между фокусами (рис. 35). Числа a, b и с связаны соотношенем
с2 = а 2 + Ь2. |
(3.13) |
Точки А и В называются вершинами гиперболы, точка О — центром гиперболы, расстояния ri и г2 от произвольной точки М гиперболы до ее фокусов называются фокальными радиусами этой точки.
^ |
с |
(е > 1, т.к. с > а). |
(3.14) |
Число |
е = - |
||
|
а |
|
|
называется эксцентриситетом гиперболы.
Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ве тви гиперболы:
гi = a + £x, |
г*2 = —а Ч £х\ |
(3.15) |
для точек левой ветви: |
|
|
П = —а —ех, |
7*2 — д — £Х. |
(3.16) |
^Прямоугольник, центр которого совпадает с точкой О, а сто роны равны и параллельны осям гиперболы называется основ ным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного пря моугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асилттотами гиперболы; они определяются уравнениями
у= ± - х . |
(3.17) |
^Две прямые 1\ и параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, равном р называются дирек
трисами гиперболы. Их уравнения
а |
а |
(3.18)' |
х = -£ |
их = — . £ |
Замечания. 1) Если а = 5, то гипербола (3.12) называется равносто ронней (равнобочной). Ее уравнение принимает вид
яг —т/- = о" |
(3.19) |
2) если фокусы гиперболы лежат на оси От/, то уравнение гиперболы имеет вид
У_ _ |
_ 1 |
(3.20) |
|
Ь2 |
а2 ~~ |
||
|
Эксцентриситет этой гиперболы равен е — ^ асимптоты определяются
уравнениями у = ± - х, а уравнения директрис у = ± - . Гипербола (3.20) |
|
a |
s |
называется сопряженной гиперболе (3.12); она имеет вид, изображенный на рисунке 36;
Рис. 36 |
Рис. 37 |
3)уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, име-
" “ “ |
(£Z£51! _ k zp T = !, |
(3-21) |
|
|
cr |
Ь“ |
|
где (хо;т/о) — координаты центра гиперболы (рис. 37). |
|
||
4 .3 .6 0 . Дано уравнение гиперболы 5а;2 — 4т/2 = 20. Найти: |
|
||
1) |
длины его полуосей; |
|
|
2) |
координаты фокусов; |
|
|
3) |
эксцентриситет гиперболы; |
|
|
4)уравнения асимптот и директрис;
5)фокальные радиусы точки М (3;2,5).
ОРазделив обе части уравнения на 20, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду (3.12):
Отсюда:
1) а2 = 4, Ь2 = 5, т. е. а = 2, Ь= \/б;
2) |
используя соотношение (3.13), находим с2 = 4 + 5, т.е. |
с = 3. |
Отсюда находим фокусы гиперболы: (—3; 0) и Fo(3; 0); |
3)по формуле (3.14) находим е =
4)уравнения асимптот и директрис найдем по формулам
|
(3.17) и (3.18): у = ± ^ х и х = ± | ; |
|
||
|
|
5) точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0), |
||
|
воспользуемся |
формулами (3.15): п = 2 + 2 . з = б,5, |
Г2 = |
|
|
= - 2 + 1 - 3 = |
2,5. |
• |
|
4.3.61. |
Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси |
|||
|
Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной |
|||
|
оси равна 8. |
|
|
|
|
Q |
Искомое уравнение гиперболы имеет вид (3.20). Согласно |
||
|
условию 2с = |
10, с = 5; 2Ь = 8, b = 4. Из соотношения (3.13) |
||
|
найдем мнимую полуось а: 25 = а2+ 16, а2 = 9, а = 3. Получаем |
|||
|
2 |
2 |
|
• |
|
|
= 1 — уравнение гиперболы. |
||
4.3.62. |
Составить каноническое уравнение гиперболы, если: |
|
||
|
1) |
2с = 10, а = |
3; |
|
|
2) |
с — 3, £ — 1,5; |
|
|
3) b = 6, уравнения асимптот у =
4.3.63. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:
1) с = 10 и уравнения асимптот у = |
х\ |
о |
Q |
2)е —2 и расстояние между директрисами равно
3)е = V2 и точка М(у/3; у/2 ) лежит на гиперболе.
4.3.64. Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точ ках Fi (—2; 4) и 1*2(12; 4), а длина мнимой оси равна 6.
ОЦентр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси
Ох. Уравнение гиперболы имеет вид (3.21). По условию 2b = |
6, |
6 = 3. Расстояние между фокусами равно 14, т. е. 2с = 14, с = |
7. |
Используя соотношение с2 = а2 + 62, находим а: 49 = а2 + 9, а = 2л/Ш. Центр гиперболы делит расстояние между фокусами
|
пополам. Поэтому хо = |
^ |
= |
5, уо = — |
= 4. Записы- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
fx — 5)2 |
Г?/ — 4)2 |
|
# |
|||
|
ваем уравнение гиперболы: ^ |
|
-----^ 1 = |
1. |
|
|||||||
4.3 .6 5 . |
Найти каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси |
|||||||||||
4.3 .6 6 . |
Ох, проходящей через точки Mi (б; —1) и М г(—8; —2\/2)- |
|||||||||||
Найти уравнение гиперболы, симметричной относительно осей |
||||||||||||
|
координат, зная, что ее мнимая полуось равна 2 и гипербола |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
с\\/о |
Найти расстояние от точки |
|||||
|
проходит через точку М (4; — |
|
||||||||||
4 .3.67. |
М до правого фокуса. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти угол между асимптотами гиперболы, если ее эксцентри |
||||||||||||
|
ситет равен 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О Уравнения асимптот гиперболы имеют вид у = |
х. Най |
||||||||||
|
дем отношение - , воспользовавшись формулами (3.13), (3.14) |
|||||||||||
|
и условием е = |
2: е |
= |
^ |
|
|
= ^ 1 -h |
|
Отсюда |
|||
|
\ау |
= |
е 2 — 1, |
т. е. |
- |
= у/е2 — 1. |
Имеем: - |
= |
>/4 —1 = л/3. |
|||
|
|
’ |
|
а |
|
|
|
а |
|
v |
|
|
|
Стало быть, уравнения асимптот гиперболы есть у = \/Зх и |
|||||||||||
|
tgv? = |
|
ко — к\ |
|
\/3 + л/3 = |
у / г , ч > |
= 6 0 ° . |
|
|
|
||
|
|
|
1 + к\ко |
|
1 - 3 |
|
|
|
|
|
|
|
4.3.68. |
Составить уравнения асимптот гиперболы |
|
— |
^16^ |
||||||||
|
построить ее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.3.69. |
Дан эллипс 5х2 + 8у2 = 40. Найти уравнение гиперболы, вер |
|||||||||||
|
шины которой находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах |
|||||||||||
|
данного эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 38 |
|
|
О Найдем координаты вершин А и 5 и |
фокусов эллипса, за- |
|
, |
х 2 |
7,2 |
писав его уравнение в канонической форме -g- + |
= 1. Имеем |
|