Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 588 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

Хк — Î

к — 1, 2, . .. j 71,

где Dk — определитель, получающийся из D заменой ÀJ- го столбца на столбец свободных членов.

2.2 .1 . Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

\х\ - х 2 = - 1 ,

обратной матрицы:

^2xi + х2 = 7.

Q а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы:

D = - 1 = 1 1 — (—1) *2 = 3.

Так как D ф 0, то решение системы существует и единственно.
Найдем определитель Di, подставляя в определитель D
вместо первого столбца (\ ) столбец свободных членов									(?>
	- 1		- 1		= ( - 1 ) -1 - ( - 1 ) -7 = 6.
Лх =		7		1

Определитель D2 получается из D подстановкой столбца сво
бодных членов	^		вместо второго столбца ^ ^ :
Do =			1	- 1	=	1 - 7 — (—1) -2 =		9.
			2	7
Отсюда получим решение системы уравнений:
Я1 _	а		_ в	_	2.	D2 _	9 _
						х2	3	Л'
1 “	D		~ 3	“	’	D

Ответ. (2;3).

б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем

матрицу Л""1, обратную к матрице системы А = ^ ^ ме~

тодом присоединенной матрицы.

Так как det А = 3 ф 0, то матрица А~1 существует, поэтому решение системы существует и единственно.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы

А:

Ац —1, А\2 = —2, A2I = —(—1) = 1; А22 = 1.

Составим матрицу (А^) из алгебраических дополнений:

( ,» > = ( ;	- » )
Запишем матрицу А = (Aij)T =	•
Найдем матрицу
А" ' - а е Ы ' 4 - Г ( - 2	0 ■ ( - 1 I )
Найдем решение системы уравнений:

	(2)=*=А-‘ B = (-i						8	( ? ) -
							\	I ' (—1) + 5*7/				~ \3/
	Ответ. (2;3).
	Сравните решение примера 2.2.1 способами а) и б) с реше
	нием примера 2.1.1.											#
2 .2 .2 .	Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью
				f Х\ +		2 x 2 +	З х з	=	б ,
	обратной матрицы: < 4				x i	+ 5 x 2	4 * б х	з =	9 ,
				7 x i		+ 8 x 2		= - 6 .
	О а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем
	определитель матрицы системы:
		D =	1	2	3
		D =	4	5	6	= 27	(см. пример 1.4.1).
			7	8	0
	Так как D ф 0, то решение системы существует и единственно.
	Найдем определители D\, D2 и						подставляя столбец свобод-
	ных членов	( 6 \		вместо первого, второго и третьего столбцов
	ных членов	I 9	I	вместо первого, второго и третьего столбцов
		W
	определителя Д соответственно:
	6	2	3		с	с		9	6	+ 3 '	9	5
	Di = 9	5	6 = 6 - J			Г - 2		- 6	0	+ 3 '	- 6	8
	-6	8	0		8	0		- 6	0		- 6	8
	-6	8	0		8	0
		=	б•( - 4 8 ) - 2 • 36 + 3 •(72 + 30) =
					-	288 -	72 + 306 =			-3 6 0 + 306 = - 5 4 ,

	б						6 -				9
£>2 =	9		= 1			-			+ 3		9
£>2 =	9		= 1			-			+ 3		- 6
	- 6										- 6
	- 6
= 1 •36 - 6 •(-4 2 ) + 3 •( - 2 4						-	63) =		36 + 252 + 3 •(-8 7 )			=
									=	288 -	261 =	27,
D3 =	2	6		5	9				9	+ 6 '
D3 =	5	9 = !•		5	9	- 2			9	+ 6 '
	8	-6		8	-6				- 6
	8	-6
=	1 •( -3 0		- 72) -		2 •( - 2 4		-	63) + 6 •(32 - 35) =
=	-1 0 2 -		2 •(-8 7 ) + 6 •( - 3 )					=	-1 0 2 + 174 -		18 =	54.
Отсюда получим решение системы уравнений:
			XI =	Dx		- 5 4
					D		27
					D 2	_	27
					D “		27
			яз	_	Лз	_	54
					D _		27

Ответ. (—2; 1; 2).

б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем /1 2 3>

матрицу А "1, обратную к матрице системы А

Эта матрица найдена в примере 1.4.1:

	И	I
	* 9	9
^ = i	¥	- I
Найдем решение системы уравнений:
/ И		8	1
Г	9	9	9
= X — А~ 1 •В —	14	7	2
	9	9	9
1-1		2	1
\	9	9	9

	/ ( - 1 6 - 6 + 8 - 9 - 1 ( - 6 ) ) / 9 \		'( - 9 6 + 72 + 6)/9\
=	(14 •6 —	7 •9 + 2 •(—6))/9	(84 - 63 - 12)/9
	\ (—1 •6 +	2 •9 — 1 •(—6 ))/9 )	(—6 + 18 + 6)/9 /

/ -¥ \

У 1& /

\ 9 /

Итак, xi =	—2, Х2 = 1, хз = 2. (как и при решении по формулам
Крамера).	•

Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

f Х\ + 2 x2 + З х з =	б ,
обратной матрицы: < 4 x i + 5 . Т - 2 + б ж з =	1 5 ,

^7xi + 8x 2 + 9хз = 24.

ОНайдем определитель матрицы системы:

1	2	3	5	6 - 2 -	4	б
D = 4 5		6 = 1					+ 3-
7	8	9	8	9	7	9

	=	1 - (45 — 48)		— 2 •(36 -		42) + 3 •(32 - 35) =

= - 3 - 2 * ( - 6) + 3 •( - 3 ) = - 3 + 1 2 - 9 = 0.

Так как D = 0, то система не может быть решена ни по фор мулам Крамера ни с помощью обратной матрицы. При этом система является совместной (например, есть решение (1;1;1)) и неопределенной.

Ответ, по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы систему решить нельзя. •

Найти решения линейной системы уравнений, используя обратную ма трицу и формулы Крамера. Указать те значения параметров (а и Ь), при которых указанными методами систему решить невозможно:

2 .2 .4 .

2.2.6.

2.2.8.

2.2.10.

2.2.12.

\|1 Xi — Х2 = —4,				2 .2 .5 .
^2xi + Х2 = —5.
2ах — ЗЬу =		0,		2 .2 .7 .
\|				2 .2 .7 .
Зах — 6by = àb.
х + 2у + 3z = 5,
< 4х + by + 6 z = 8,				2 .2 .9 .
7х + 8у		= 2.
2xi -	2 -	x3 =	3,
	X		3,
X]	3X2 +	2 x3 = - 1 ,		2 .2 .1 1 .
Xi +	x 2	=	5.
ÛXi +	X2 +	Xz =	1,
Xi + ax2 +		x3 =	а,
Xi +	x 2 + ахз =		а2.

J \/3xi +		2x 2 =		11,
\| 4xi — \/Зх2 =				0.
(ах + Ьу = / ь
\сх + dy = / 2.
2xi — 3x2 +			Х3 =		—7,
xi +	2 х 2	-	Зхз =		14,
- x i - х 2 + 5х3 = -1 8 .
f	2X2 +		II CO CO
Xi +			H		3,
< 2xi +	6X2 +		COH	II	6,
3xi +	10x2 +		00 COH	II	21.

3 x i — 5 x 2 + 2 х з — 4 x 4 =

0 ,

- 3 x i + 4x2	~ 5хз + 3x4	=	- 2 ,
2 .2 .1 3 .	— 7хз + 5x4	=	- 2 ,
—5xi + 7x2
8xi — 8x 2 + 5хз — 6x4 =			—5.

	х\ 4- 2x2 -			Зхз + 4x4 =				~13,
— Х\			+		Хз + 2 х 4 =			- 1 ,
Зх 1 + 4 х 2 + 5 хз							=	11,
, 5хх + 6x2 4* 7хз - 2x4 =								19.
	x i 4 - 4 х 2		4 - 5		х з — 4 x 4 =			— 1 5 ,
2 .2 .2 9 .	X i + 2 х 2		— 2		х з 4 " 4	x 4	=	3 ,
2 .2 .2 9 .		4 - бх2 4 -			хз
2	x i	4 - бх2 4 -			хз		=	- 6 ,
к 3	x i		4 -		х з 4 * 2	x 4	=	1 1 .

2 .2 .3 0 .	Найти неизвестные коэффициенты		многочлена /(х )				= ах34*
	4-Ьх2 4- с, удовлетворяющего условиям:
	/ ( — 1 ) = 3 ,	/ ( 1 ) = 1 ,	/ ( 2	)	=	- 1 5 .
2 .2 .3 1 .	Найти неизвестные коэффициенты функции /(х ) =						о log3 x4-
	+bx 4- с, удовлетворяющей условиям:
	/ ( 1 ) = 5 ,	/ ( 3 ) = 8 ,	/ ( 9	)	=	1 9 .

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Ответы к задачам 2.2.32-2.2.35 проиллюстрируйте примерами.

2 .2 .32 .	Могут ли различные методы решения системы линейных урав
	нений (метод Крамера и метод обратной матрицы) дать раз
	личные ответы?
2 .2 .33 .	Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела реше
	ние с помощью метода Гаусса, но не имела решения по форму
	лам Крамера?
2 .2 .34 .	Совместная система п линейных уравнений с п неизвестными
	записана в матричной форме: АХ = В . Будут ли решениями
	системы оба набора из п чисел: А~1В и ВТA~~l*i
2 .2 .35 .	В системе п линейных уравнений с п неизвестными поменяли
	местами два уравнения. Изменятся ли формы записи решения
	с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера? Изме
	нится ли общее решение?
2 .2 .3 6 .	Доказать, что формулы Крамера являются другой формой
	записи решения X = А~1В системы линейных уравнений
	АХ = В.

2 .2 .3 7 . Решить систему линейных уравнений:

	Xi	4-	Х2	+	. ••4“	х п =	1,
^	a iX i	4-	0.2X2	+ .	.. 4*	апх п =	5*
X	_ 1 * i	+	0 2 _ 1 *2	+	•►•+	а%~1хп =	Ьп~г

(все числа а\, о2, . . . , ап различны).

2.2.38.	Пусть ( x i,...,æ n) и (2/1,• ••,2/n) —	единственные решения си
	стем линейных уравнений:
	оц®1 4 -.. •4“ 0>1пХп — Ь \,	' а ц у 1 +	.. •4* o>\п У п	— Ci,
	и <
	Onl^l +• ••4" Q>nn%n = b n .	,am!/i +	•. •4* 0>ппУп	= cn

Доказать, что c\Xi 4- ... 4- спхп = b\yi -I-... 4* Ъпуп. Записать это число в виде определителя.

§3. ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИ СТЕМ Ы ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана однородная система линейных уравнений:

an xi 4- ai2x2 4-... 4- о>\пхп = О,

(3.1)

0>т1*Е1 4" Ûm2^2 4" •••4" О’тп^'п = Oj

или в матричной форме АХ = 0.

Однородная система всегда совместна, так как существует тривиаль ное решение х\ = х2 = ... = хп = 0. Однородная система неопределенна

тогда и только тогда, когда г (А) < п.
Положим г =	г (Л). Пусть общее решение системы (3.1) записано в
ВИДе	/	/.	. ч ч
	( Х 1	(^1: •••} tii—r)y

Xr {t 1 , •••, —г)

X =

tn-r

где x\, . . . , xr — главные переменные, t\, . . . , tn- r — значения свободных переменных xr+i, . . . , xn. Выберем n - r решений системы (3.1), получен ных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных переменных полагается равным 1, а остальные — равными 0:

	/® х(1.0......0)\		М (0 ,1 ,...,0 )\				М	( 0 \|0,...,1)\
* 1 =	хг(1 ,0,..., 0)	, * 2 =	£ г(0 ,1,..., 0)			уV\ п _ г	х г(0 ,0,..., 1)
* 1 =	1	, * 2 =	0	,	. . . ,	уV\ п _ г	—	о
					. . . ,		—
	0		1					о

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений

однородной системы (3.1). Они обладают следующим свойством:

Любое решение X системы (3.1) может быть единственным образом представлено в виде:

X = aiAri + ... + a n_ rX n_ r,

где a i , . . . , OLn-r — некоторые числа.

^Любой набор из п - г решений системы (3.1), обладающих ука занным свойством, называется фундаментальной системой ре шений системы (3.1).

Набор из п — г произвольных решений системы (3.1) —

* 1 =	м...л \,Х2 =	М2)\
	U v	\Хпу

/ 4 п~г)>

II 1

образует фундаментальную систему решений тогда и только тогда, ко-

гда матрица, составленная из их компонентов имеет

\я(1)	x(r r)J
ранг п — г.
Пусть дана некоторая неоднородная система линейных уравнений
АХ = В,	(3.2)

а АХ = 0 (система (3.1)) — соответствующая ей однородная система. Общее решение системы (3.2) может быть представлено в виде суммы общего решения системы (3.1) и какого-то одного (частного) решения системы (3.2).

2.3.1.Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Х\ 2хо —О,

2xi + 3x2 = 0.

О Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

(\	-2	0\	/1	-2	I 0\
\2	3	о) П - 2 1 ~	\^0	7	\|о ;

Так как столбец свободных членов при всех элементарных пре образованиях не изменяется, его можно не писать и ограни читься матрицей системы А:

II - 2 •I

Однородная система совместна всегда, т. е. ранг г(А) матрицы А однородной системы всегда равен рангу г(А\В) расширенной матрицы (А\В), в данном примере г (А) = г(А\В) = 2. Количе ство переменных п также равно 2:

			п = г(Л) = г(А\В) = 2,
	значит, система определенна, т. е. имеет единственное (очевид
	но, тривиальное — нулевое) решение.
	Подробнее, запишем систему, соответствующую получен
	ной матрице:		(		2т2 = О,
			f .Ti -		2т2 = О,
			\7®2 = 0 .
	Из второго уравнения получим х2 = 0. Подставляя это значе
	ние в первое уравнение, получим х\ = 0.
2.3.2.	Ответ, общее решение (0; 0).									•
2.3.2.	Найти общее решение и фундаментальную систему решений
	однородной системы линейных уравнений:
			xi	—%2 +		хз =	0,
			2xi	+ х2 -		хз =	0.
	О Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому
	виду с помощью элементарных преобразований:
	( 1 - 1 1\			(1	-1	1 \			(\Г-Г\	1 \
	\2	1 —l y l l —2 - I ~		\J3	3	—ЗУ П : 3 ~			\[о„в1 J	—V
	Так как		г(А) = г(А\В) = 2 < 3 = п,
			г(А) = г(А\В) = 2 < 3 = п,
	то система неопределенна. Количество главных переменных
	равно	г(А) = 2,	количество		свободных			переменных равно
	п —г[А) = 3 - 2		= 1. Для определения главных переменных
	выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка
	полученной матрицы А, например, минор							1	- 1
	полученной матрицы А, например, минор							0	1 . Его столб
	цы — 1-й и 2-й столбцы матрицы А — соответствует перемен
	ным xi и х2 — это будут главные переменные, а хз —									свобод
	ная переменная. Заметим, что в качестве главных переменных
	в данном примере нельзя выбрать пару х2 и хз, так как соот
	ветствующий им минор равен нулю:						^	1	= 0.
	ветствующий им минор равен нулю:						^	- 1	= 0.
	Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
			xi	- х2 + х 3 =			0,
			Х 2-хг = 0.

Из второго уравнения, выражая х2 через хз, получим х 2 = хз; подставляя это выражение в первое уравнение, получим xi = 0.

Обозначив свободную переменную через t, получим общее ре шение системы: (0; £; t) = t •(0; 1; 1). Фундаментальную систе му решений образует, напршмер, решение { ( 0; 1; 1)}.

	Ответ, общее решение системы (0;£;£); фундаментальная си
	стема решений (0; 1; 1).		•
2 .3 .3 .	Найти общее решение и фундаментальную систему решений
	однородной системы линейных уравнений: (см. задачу 2.1.3)
	'х\ 4- 2х2 4- 2хз 4- Зх<\ =		0,
	6xi —3x2 — Зхз —Х4 = 0,
	-7xi	4- х2 + хз - 2 x4 =	0,
	^—3.Ti	4- 9.т2 4- 9.тз + 10x4 == 0.

ОПриведем матрицу системы к ступенчатому виду:

( 1	2	2	3 ^		Ai	2 ! 2		з\
6	- 3	- 3	-1		io	isi	15	19
- 7	1	1	-2	(см. 2.1.3)	0	0	0	0
\—3	9	9	т )		^0	0	0	о /

Так как

г(А) = г(А\В) = 2 < 4 = п,

то система неопределенна. В качестве главных переменных можно выбрать х\ и х2, соответствующие столбцам ненулевого

минора второго порядка:	2 ; в качестве свободных пере-
менных — хз и Х4 .	15

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:
I Х\ 4- 2хо 4“ 2хз 4- 3x4		— 0)
\| l5x2 4- 15хз 4- 19x4 =		0.

Из второго уравнения, выражая х 2 через хз и Х4, получим Х2 = —хз — Подставляя это выражение в первое урав-

нение, получим xi = — —гХ4. Обозначая свободные перемен

ные — хз через t\, Х4 через 15£2 запишем общее решение систе мы: (—7t2\ ~~19^2î tiî 1512) = t\(0; —1; 1; 0) 4-^2(—^î —19; 0; 15).

Фундаментальную систему решений образует, например, пара решений (0; —1; 1; 0) и (—7; —19; 0; 15).

Ответ. Общее решение системы (—712; —t\ —1912\t\ \15£2); Фун даментальная система решений {(0; —1; 1; 0), ( - 7 ; —19; 0; 15)}.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 588 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf