книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

□

§1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

^Вектором называется направленный отрезок. Вектор с нача­ лом в точке А и концом в точке В обозначается символом АВ (или одной буквой, а, 6, . .. ) . Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора АВ и обозначается АВ\, |й|. Век­ тор, длина которого равна нулю, называется нулевым векто­ ром и обозначается 0 или просто 0. По определению нулевой вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ё.

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается о0. Два нену­ левых вектора называются противоположными, если они имеют одина­ ковую длину и противоположные направления. Вектор, противополож­ ный вектору ô, обозначается —а; вектор АВ противоположен вектору В А (ВА = —ÂB).

^Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают â |Ь. Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

^Два коллинеарных вектора а и b называются равными (а = 6), если они сонаправлены и имеют равные длины.

Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векто­ ров а и Ь. Начало и концы векторов образуют вершины треугольника. Углом между векторами й и b называется угол при вершине этого тре­ угольника, соответствующий началу векторов. Если векторы сонапра­ влены, то угол между ними равен нулю; если противоположно направле­ ны — угол между ними равен 180°.

^Суммой двух векторов а и bназывается вектор с, соединяющий начало вектора а с концом вектора 5, отложенного от конца вектора а.

Обозначение: с = â + Ь.

Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рис. 1 и 2 соответственно.

Рис. 2

^Произведением вектора а ф 0 на число А ф 0 называется век­

тор, который имеет длину |А |а|, его направление если А > О и противоположное направление, если А < 0.

Обозначение: А •й.

Отметим, что а = |а| •й°, т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Два ненулевых вектора а и bколлинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т. е. b = А •ô, А — число (признак коллинеарности векторов).

Три ненулевых вектора ô, Ь, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например, с = Ai •ô + А2 •b (Ai, А2 — числа не равные нулю одновременно) (признак компланарности векторов).

мые, параллельные сторонам АВ и АС. Получим параллелограмм АВ\МС\ (рис. 3), в котором AM

^Проекцией вектора АВ на ось I называется число, равное дли­ не вектора A\Bi (рис. 5), взятой со знаком «плюс», если на­ правление вектора A\Bi совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае. Точки А\, В\ — это точ­ ки пересечения оси I с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки А, В.

Рис. 5

Обозначение пр/ АВ. Основные свойства проекции: 1. пр/(а + b) = npz й + пр; Ъ\ 2. прДА •â)_= А •пр/ а.

Если г, j, к — орты координатных осей прямоугольной системы ко­ ординат Oxyz, то любой вектор а единственным образом можно предста­ вить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами ах, ау и az: â = ax-i+ay-j+az-k. Коэффициенты ах, ау и а2 линейной комбинации называют координатами вектора а в базисе г, j и к. Координаты ах, ау, а, вектора а — это его проекции на соответствующие координатные оси.

Вектор â образует с координатными осями Ох, Оу и Oz углы а , /3 и 7 соответственно. Направление вектора а определяется с помощью напра­ вляющих косинусов: cos a, cos/3,cos 7 для которых справедливы равен­

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании — вычитаются, при умножении вектора на число — умножаются на это число:

а ± b = (ах ± bx\ау db by\az ± bz),

А •а — (Л * (ijj А * ау, А * Û»).

Вектор f = ОМ, соединяющий начало координат с произвольной точ­ кой М (ж; у\ z) пространства называется радиус-вектором точки М. Ко­

и В (Ж2; у2 ; 22), то его координаты аж, ау, а2 вычисляются по формулам

ОКоординаты аХ1 ау, az вектора находятся по формуле (1.4).

3.1.20. Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропор­

циональны синусам противолежащих углов (теорема синусов). О Рассмотрим треугольник АВС. Пусть В А = с, ВС = а, АС = 6. В плоскости треугольника АВС возьмем вспомогатель­ ную ось /, перпендикулярную, например, вектору 6 и спроек­

3.1.21.Найти координаты вектора а, если |а| = 3 и углы между век­ тором и координатными осями равны: а = р = 7 .

3.1.22.Луч образует с двумя осями координат углы в 60°. Под каким углом наклонен он к третьей оси?

3.1.23.Даны векторы й = (2; 3), 6(1; —3), с(—1; 3). При каком значении коэффициента а векторы р = а + о/Ьи q = Д + 2с коллинеарны?

3.1.24.Даны точки А{—1; 5; —10), В (5 ;-7 ;8 ), С(2; 2 ;- 7 ) , ZP(5; —4; 2). Проверить, что векторы АВ и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее и во сколько раз; направлены они в одну сторону или в разные?

3.1.25.Представить вектор d = (4; 12; —3) как линейную комбинацию векторов а = (2; 3; 1), 6 = (5; 7; 0) и с = (3; - 2 ; 4).

3.1.26.На оси Оу найти точку М, равноудаленную от точек А(1; —4; 7) и В(5; 6; —5).

3.1.27.На оси Ох найти точку М, расстояние которой от точки -4(3; - 3 ) равно 5.

3.1.28.Даны вершины треугольника А(3; - 1; 5), В(4; 2; - 5 ), С (- 4; 0; 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Дополнительные задачи

3.1.29. Дано разложение вектора с по базису г, j ,k :c = 16г —15j 4-12к. Найти разложение по этому же базису вектора 5, параллель­ ного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что \d\= 75.

3.1.30. Пусть векторы й и 5 неколлинеарны и А В =^а, Б С = 4(/?а —5),

CD = —4/35, DA = й 4- ab. Найти a и /3 и доказать коллинеар­ ность векторов ВС и DA.

3.1.31.Даны четыре точки Л, В , С , D. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Доказать, что MN = ^(Л Б 4- СВ).

3.1.32.A BCD EF — правильный шестиугольник, АВ = р, ВС = д. Выразить через p u q векторы CD, Б Б , Б Б , БЛ, ЛС, AD, ЛБ.

3.1.33.Доказать, что средняя линия треугольника параллельна его основанию и длина ее равна половине длины основания.

3.1.34.Векторы а и b образуют угол ip = 60°, при этом \й\= 5, |5| = 8. Найти \а4- 5| и \й —Ь\.

3.1.35. В равнобедренной трапеции ОАСВ величина угла ВОА = 60°,

\ОВ\ = \ВС\ = \СА\ = 2, точки М и N — середины сторон ВС и АС. Выразить векторы АС, ОМ, ON, MiV через m и п — единичные векторы направлений ОА и 013.

3.1.36. Дано: АВ = а 4- 25, ВС = —4а - 5, CD = —5â - 35. Доказать, что ABCD — трапеция.

3.1.37.Найти сумму векторов, соединяющих центр правильного тре­ угольника с его вершинами.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

3.1 .49 . К двум тросам подвешен груз массой 30 т так, как это пока­ зано на рис. 7. Определить силы, возникающие в тросах, если ZACB = 120°.

3.1.58.Изменится ли сумма компланарных векторов, если все слагае­ мые векторы будут повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол?

3.1.59.Дать геометрическое построение разложения вектора а на два компланарных с ним слагаемых, если известны: а) длина и на­ правление одного слагаемого; б) направление обоих слагаемых; в) направление одного и длина другого слагаемого. (Иссле­ довать, когда разложение возможно, сколько имеет решений, если ни одно из слагаемых не параллельно а.)

3.1.60.В разложении вектора с = Ai -â+Ào -b по двум неколлииеарным векторам â и b могут ли оба коэффициента Ai и Хо или один из них равняться нулю?

3.1.61. Могут ли векторы â = (—2; 1; - 2 ), b = (—2; —4; 4), с = (4; 3; —2) быть сторонами треугольника?

3.1.62. Коллинеарны ли векторы â и Ь, если коллинеарны векторы â+b

и а —b?

3.1.63. Может ли вектор составлять с координатными осями углы 30°,

1)векторы АС и АВ коллинеарны;

2)Ш = СВ]

3) 1 с = - i c i ?

3.1.68. Какому условию должны удовлетворять векторы â, b и с про­ странства, чтобы из них можно было образовать треугольник?