книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Уравнение поверхности и кривой в пространстве

определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующи­ ми параллельными оси Oz и направляющей, лежащей в плоскости Оху й заданной в ней уравнением F(x;y) = 0. Уравнение поверхности соста­ вляется по схеме составления уравнения линии на плоскости.

Кривую (линию) в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей; тогда она задается системой двух урав­

Если кривую рассматривать как траекторию движения точки, то она за­ дается параметрическими уравнениями

плоскости Оху. Выделим в левой части этого уравнения пол­ ные квадраты:

(æ2+4a;+4)-4+(2/2-102/+2o)-25+28 = 0, (х + 2 ) 2 + ( у - 5 ) 2 = 1.

Направляющей служ ит окружность радиуса 1 с центром в точ­ ке (—2; 5) (рис. 49). Таким образом, заданное уравнение опре­ деляет прямой круговой цилиндр. #

Рис. 49

5.1.30.Какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

1)Г = 4;

2)у2 = х]

3)X2 + у2 + z2 = 0;

4)z2 +yz = 0?

5.1.31. Определить, какие геометрические образы заданы уравнения­ ми:

1)xyz = 0;

2)у2 —х2 = 0;

3)я2 - И / + 4 = 0;

4)х2 + у2 —2х —3 = 0.

5.1.32. Составить уравнение винтовой линии радиуса а и шага h.

ОВинтовую линию описывает точка, которая равномерно вращается вокруг неподвижной оси (на рис. 50 вокруг оси Oz) и равномерно перемещается в ее направлении. Пусть М(ж; т/; z) — произвольная точка линии, а Mo (ж; у\0) — ее проекция на плос­ кость Оху. Точка М лежит на образующей прямого кругового цилиндра, направляющей которого служит окружность радиу­ са а, описываемая точкой Mo. Обозначим угол поворота МоОх через t, т. е. t = ZMQOX. В силу равномерности движения точки

М можно записать |ММо| = bt. Имеем: х = a cost, у — asini, z = |ММ0| = bt. Для нахождения коэффициента b положим в последнем равенстве t = 27Г, z = h (в этом случае точка Mo совершит полный оборот; точка М опишет один виток, под­ нявшись на шаг h винта). Следовательно, h = 27г6, Ъ = у -.

Рис. 50

Уравнениями винтовой линии будут

5.1 .33 . Найти уравнение поверхности, каждая точка которой вдвое ближе к точке <4(2; 3;0), чем к точке В (—2; 0; 0).

Дополнительные задачи

5 .1 .34 . Какая кривая определяется уравнениями

[ х2 + у2 + z2 - 6х = 0, \ у - 2 = 0?

5 .1 .35 . Какие кривые определяются уравнениями:

(х = 0,

1) 1» = 0;

Г у - 3 = 0,

2) \z + 2 = 0;

х2 + у2 + z2 = 36,

х = 4?

5.1.36.Найти уравнение сферической поверхности с центром в точке (7(2; 1; - 4 ) , проходящей через точку 4(5; 3; 2).

5.1.37.Найти уравнение линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в точке 0(2; 2; 2) и радиусом, равным 3.

5.1.38.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек -4(1; 0; 0) и Б(0; 1; 0).

Контрольные вопросы и более сложные задачи

5.1.39.Из точки М (2; 6; —5) проведены всевозможные лучи до пересе­ чения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места середин отрезков лучей от точки М до точки пересечения с плоскостью Oxz.

5.1.40.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и данной плоскости.

Указание. Поместить начало координат в середине перпенди­ куляра, опущенного из точки на плоскость.

5.1.41.Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов расстояний от каждой точки которой до точек F\( - а ; 0; 0) и Fi(a\ 0; 0) равна постоянному числу 4а2.

5.1.42.Вывести уравнение поверхности, модуль разности расстояний

от каждой точки которой до точек F i(0 ;—5;0) и Fo(0; 5;0) ра­ вен 6.

5.1.43.Какую линию определяет система уравнений

2 2

{Ъ + Ъ - 1-

z= c?

5.1.44.Какую поверхность определяет уравнение х2 + у2 —2у = 0?

5.1.45. Лежат ли точки ^4i(0; —4; 8), Â2 (—1; 2; 2) на поверхности 2 =

= х2 + '{ ?

§2. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнения плоскости

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным ал­ гебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными. И на­ оборот: каждое линейное уравнение первого порядка с тремя неизвест­ ными определяет некоторую плоскость в пространстве.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(хо] уо] zo) пер­ пендикулярно вектору п = (А; В\ С):

Уравнение (2.1) называют также уравнением пучка (связки) плоскостей.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную

Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, на­ зывается нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор п=(А ; В; С) — нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (2.3)

Частные случаи уравнения (2.3):

Ах 4- By 4- Cz = 0 (D = 0) — плоскость проходит через начало коор­ динат;

Ах 4- By 4- D = 0 (С = 0) — плоскость параллельна оси Oz (анало­ гичный смысл имеют уравнения Ах 4- Cz 4- D = 0, By 4- Cz 4- D = 0);

Ax 4- By = 0 (D = С = 0) — плоскость проходит через ось Oz (Ах 4- Cz 4- D = 0, By 4- Cz 4- D = 0 — через ось Оу и Ох соответственно); Ах + D = 0 (В = С = 0) — плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz 4- D = 0, By 4- D = 0 — параллельно плоскости Оху и Oxz соответ­

где г, ri, 7*2, 7*3 — радиус-векторы точек M(x\y\z), Mi, М2 и М3 соот­ ветственно.

5. Нормальное уравнение плоскости:

где р — длина перпендикуляра ОК, опущенного из начала координат на плоскость; а, /?, 7 — углы, образованные единичным вектором ё, имею­ щего направление перпендикуляра ОК (рис. 51), с осями Ох, Оу и Oz (cos2a 4- cos2 /? + cos27 = 1).

Общее уравнение плоскости (2.3) приводится к нормальному виду

Z

У

соответственно (рис. 54).

5.2.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

1) точку М (—2; 3; 1) параллельно плоскости Оху; 2) точку М и ось Оу.

Построить эти плоскости.

5.2.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

1)точку А(Ь\ —4; б) перпендикулярно оси Ож;

2)точку А и отсекающей равные отрезки на координатных осях.

Построить эти плоскости.

5.2.4. Уравнение плоскости 2ж — 6у + 3z —14 = 0 привести к нормаль­

ному виду.

О Умножим обе части уравнения на нормирующий множи­ тель (2.9):

Перед корнем взят знак «плюс», т.к. свободный член С = —14 заданного уравнения отрицателен. Имеем:

Здесь р = 2, т.е. расстояние от точки 0(0;0;0) до плоскости равно 2;