книги / Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс

Какому условию должны удовлетворять векторы а и 6, чтобы

векторы За + Ьи а —36 были коллинеарны?

3.3.41.

При каких значениях а и /? векторы а = ai + 7j + Зк и b = i-b

+/У 4- 2к коллинеарны?

3.3.42.

Дано: й х с = b х с, с ^ О . Можно ли отсюда заключить, что

а = Ь?

3.3.43.

Чему равно векторное произведение противоположных векто­

ров?

3.3.44.

Чему равно:

а) IX

б) j_x (i_+ к)-,_

в) 2i х (к - 5j)?

3.3.45.

Равносильны ли равенства â = b iiâ x c = b xc?

3.3 .4 6 *

Даны два вектора а ^ 0, 5 ф 0. Можно ли подобрать вектор х

так, чтобы â = b х х?

3.3.47.

Чему равно векторное произведение коллинеарных векторов?

векторов й и (—а)?

3 .3.48.

Найти:

1) ] х г; _

2) 2г х 5^'; _

3) г х (г + /г).

3.3.49.

Верно ли соотношение \â х b\ ^ |а| •|6|?

3.3.50.

Существуют ли такие векторы а и 6, что â x b = bx а!

из перемножаемых вектора коллинеарны).

Если векторы â, b и с заданы своими координатами а =

(ах; ay;az),

Ь— (bxî by] б-), С— (CJCJ Су] cz) то

ах

abc = bx

(4.1)

Сх

Vi

=

|абс|,

(4.2)

V i =

l|s f e |.

(4.3)

3 .4 .1

Доказать, что

четыре

точки

Д х(3;о;1),

Д з(2;4;7),

Л з(1;5;3),

Д4(4;4;5) лежат в одной плоскости.

О Достаточно показать, что три вектора Д 1Д2,

ЛхД4,

имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной

плоскости (т. е. компланарны). Находим координаты векторов

Л-1Л-2» Л1Л3, Л1Д4:

Л^Ло =

(2 -

3; 4 -

5; 7 - 1) =

( - 1 ; - 1 ; 6);

Л^Л3 =

(1 -

3; 5 -

5; 3 -

1) =

( - 2 ; 0; 2);

Æ ï 4 =

(4 -

3; 4 -

5; 5 -

1) =

(1; - 1 ; 4).

Проверяем условие компланарности векторов (свойство 4 сме­

шанного произведения векторов):

- 1

- 1

б

Дх Л2 Дх Л3 •Ai Л4 = - 2

0 2 = 0 - 2 + 12- 0 - 2 - 8 = 0.

1

- 1

4

Итак, векторы Л1Д2, Л1Л3 и Л1Л4 коллинеарны, следователь­

но точки Дх, Л2, Лз, Л4 лежат в одной плоскости.

•

3 .4 .2 .

Проверить компланарны ли данные векторы:

а)

й = (1; 2^ -2),

б =

(1; - 2 ; 1),

с = (5; - 2 ; - 1 );

б)

а = j + к, б =

j — А:, с =

г.

г + j + А б =

(0; 1; 0) и

3 .4 .3 .

При каком значении Л векторы а =

с =

(3; 0; 1) компланарны?

5(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины 5

на

грань АВС.

О Так как объем V пирамиды есть V = ^S'h, то h =

^ г ,

Находим V: AS =

( - 3 ; 1; 6), АВ =

( - 4 ; 1; 3), АС =

( - 2 ; 2; 0).

И согласно формуле (4.3):

/ - Э

1

б\

_ 1

1

3

- 4

3

- 4

1

V = 1

det

- 4

1

3

“ 6

- 3

+ 6

6

\ - 2

2

0 /

2 0

- 2

0

- 2

2

=

||18 - 6 -

36| = ^| -

24] = 4.

Находим S' = S'AABC:

S' = \\AB х АС\ = I

= 1 1—6г —6j

—6fc| = i

•6л/3 = ЗУЗ.

Z

Z

Следовательно, h =

•v 3

4

•

3

3.4.5.

Найти

объем

параллелепипеда,

построенного

на

векторах

й = (1; ~2; 1), b = (3; 2; 1), с =

(1; 0; —1).

3.4.6.

Найти

высоту

параллелепипеда,

построенного на

векторах

а = (2; 1; —3), b = г 4- 2 j + fc, с = (1; —3; 1), опущенную на грань,

построенную на векторах b и с.

3.4.7.

Найти

объем треугольной призмы, построенной на векторах

а = (1; 2; 3),

b =

(2; 4; 1), с = (2; —1; 0).

3 .4 .8 .

Вычислить (а +

b + с)(а - b -

с) (â -

b + с).

О Используя свойства смешанного произведения векторов,

получаем:

(â + b + c)(à —b—c)(â —b+c) = ((â+ b + c) х (â —b -c ))* (â —b+ с) =

= (âxâ—âxb—âxc+bxâ -bxb-bxc+cxâ —cx b -cx c )-(â -b + c ) =

=

(0 - а х

b — â x c —â x b —0 — bxc —а х с + Ь х с —0) •(а -

Ь+с) =

=

( - 2 а х b-

2а х с) •(а - 6 + с) = - 2 (а х b + а х с) •(а -

6 -h с) =

=

—2 (âbâ —abb + abc + аса — âcb + асе) =

= -2(0 —0 4- a b c + 0 4- a b c + 0) = —2 •2 â b c = —4a b c .

•

3 .4 .9 .

Вычислить произведение (ô -

b)(b - c)(c - â).

3 .4 .1 0 .

Вычислить произведение â(b -

c)(â + b + 2c).

3 .4 .1 1 .

Какую тройку образуют векторы a, 6 и с:

а) â = г + j, b = i - j, c = k;

б)

â = ( 1 ;- 4 ; 0),

5 = (6; 3; - 2 ),

c = (1; - 2 ; 2)?

3 .4 .1 2 .

Векторы â, b и с взаимно перпендикулярны, образуют правую

тройку. Найти abc, зная что |ô| = 4, |b| = 2, |с| = 3.

3 .4 .1 3 .

Даны векторы â = ( 3 ;5 ;- l ) ,b = ( 0 ;- 2 ; 1) и с = ( - 2 ; 2; 3). Найти

(â xb) х с.

Дополнительные задачи

3 .4 .1 4 .

Вычислить произведение b(c + â)(b + 2с), если abc = 5.

3 .4 .1 5 .

Вектор с перпендикулярен векторам й и 6; (â,b) =

|â| =

б,

|Ь = 3, |с| = 3. Найти abc.

3 .4 .1 6 .

Найти объем

пирамиды с вершинами ^4i(0; 0; 1), ^4г(2; 3; 5),

Л3(6 ;2 ;3 ),Л 4(3;7;2).

3 .4 .1 7 .

Показать,

что

точки

Л (5 ;7 ;—2),

Б (3 ;1 ;—1), С7(9;4; —4)

и

17(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

3 .4 .1 8 .

Даны вершины

пирамиды Л ( - 5 ;- 4 ;8 ) , 1?(2;3;1), (7(4; 1 ;- 2 ),

17(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань BCD .

3 .4 .1 9 .

Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках

Л (2 ;1 ;-1 ),

Б (3 ;0 ;1 ), С 7(2;-1;+ 3). Найти координаты

четвер­

той вершины D , если известно, что она лежит на оси ординат.

3 .4 .2 0 .

Дан параллелепипед АВСРА\В\С\Р\, построенный на векто­

рах ÂB = (4; 3; 0), АР =

(2; 1; 2) и М 1 = ( - 3 ; - 2 ; 5). Найти:

в) длину высоты, проведенной из вершины -Ai ;

г) угол между ребром АВ и диагональю BD\.

3.4.21.

Дана пирамида с вершинами в точках A i(1;2; 3), Аз(—2;4; 1),

А3(7; 6; 3), А4{4; - 3 ; - 1 ) . Найти:

а) длину ребер Ai А2, Ai A3, Ai A4;

б) площадь грани Ai АоA3;

в) угол между ребрами А1 А4 и Ai А3;

г) объем пирамиды;

д) длину высоты, опущенной на грань А1 А0А3 .

Контрольные вопросы и более сложные задачи

3.4.22.

Векторы â, b и с удовлетворяют условию а х b+ bх с + с х а = 0.

Доказать, что эти векторы компланарны.

3.4.23.

Показать, что объем параллелепипеда, построенного на диа­

гоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному

объему данного параллелепипеда.

3.4.24.

Найти й х (Ь х с) — (ё х / )

х ç, если â = (1; 2; —2), b =

(—2; 3; 1),

с = (2; - 2; 2), ё = ( - 1; 3; 5), / = (1; 0; - 2), q = (3; - 2; 2).

3.4.25.

Найти объем V пирамиды с вершинами в точках A\(xi;yi; zi),

A2 (X2 ]V2 ]ZO), A3 (x3 \y3 ]z3), A4 (x4 \y4 ;z4). При каком условии

точки A i, Л2, Л3, А4 принадлежат одной плоскости?

3 .4.26.

Даны единичные векторы

ëi, ёг, ё3. Зная, что

(ëi,ë 2) =

= (ёз, ё\ х ёг) = а, доказать равенство (ëi х ёо) •ёз =

i sin2 а.

3.4 .27 .

Зная, что с = Ai а + Л26 найти соотношение между векторами

â, b и с, не содержащее коэффициентов Ai и А2.

Указание, исключить Ai можно умножением равенства вектор-

но на й.

3.4.28.

Доказать, что \âbc\ ^ |а|

|5|

|с|; в каком случае имеет место

знак равенства?

3.4 .29 .

Чему равно аб(с-ЬАха+АзЬ), где Ai и А2 — произвольные числа?

3.4 .30 .

Доказать (геометрически), что при любых векторах â, b и с

векторы а — 5, b —с, с — й компланарны. Каков геометрический

смысл этого факта?

3.4 .31 .

Чему равно âbâ?

3.4.32.

Известно, что с = A iô+ А2&, Ai и А2 — числа. Чему равно abc?

Пояснить алгебраически.

2.

Разложить вектор с = (9; 4) по векторам а и В, если â = (1; 2) и

b —2 i —Sj.

3.

Найти

вектор

d,

зная,

что

d 1 â,

d J_ 5, где

а =

(2; 3; —1),

b = (1; - 2; 3) и d •(2г — j + й) =

—б.

4.

Найти

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах

а —Зр + q и Ь = p —2q, где

|р| =

4, |g| =

1, (р, q) =

5.

Дана

пирамида

с

вершинами

ЛД7; 2; 4), >12(7; —1; —2),

Л3(3;3;1),

Л Д -4; 2; 1). Найти:

d = y/(x2 - x i) 2 + (y2 - y i)2.

(1.1)

Координаты (х; у) точки М, делящей в заданном отношении А от­

резок АВ, где А{х\\у{) и В{х2 \У2 ) (А =

находятся по формулам

xi + Ах2

_

2/1 4- Ху2

(1.2)

х

У ~

1 + А

1 + А ’

s = 2 К*2 ~ *0(2/3 ~ 2/0 “ (*з ~ яО(2/з - 2/i)l

(1.4)

или, что то же самое: S = А|Д|, где Д = #2 — Xl

2/2 — 2/1

Жз —х\

Уз - 2/1

4.1.1.

Найти точку, симметричную точке

А (—2; 4) относительно биссектри­

сы первого координатного угла.

О Проведем через точку А пря­

мую 1\, перпендикулярную бис­

сектрисе I первого координатного

угла (рис. 13). Пусть П/ = С. На

прямой li отложим отрезок СAi,

равный отрезку АС. Прямоуголь­

ные треугольники АСО и Ai СО

равны между собой (по двум кате­

там). Отсюда следует, что \ОА\ =

= |OAi|. Треугольники ADO и ОЕА\ также равны между со­

бой (по гипотенузе и острому углу). Заключаем, что \AD\ =

= \ОЕ\ = 4, \OD\ = |2£Ai| = 2, т.е. точка Ai имеет координаты

х = 4, у = - 2 , т.е. A i(4 ;- 2 ).

Отметим, что имеет место общее утверждение: точка Ai,

симметричная точке А(а; b) относительно биссектрисы первого

и третьего координатных углов, имеет координаты (6;а), т.е.

Ai (b; а).

•

4.1.2.

Дана точка А(3; —2). Найти координаты точек, симметричных

точке А относительно оси Ох, оси Оу, начала координат.

4-1.3.

Найти координаты точки Ai, симметричной точке А (2;4) отно­

сительно биссектрисы:

угла треугольника

СМ

ВС

(рис. 14).

MA

ВА

М, используя формулу (1.2): хм = 6 + ^ ;,2 , Ум = ~ 5( ^ Y '3 ,

т.е. хм =

ум = g, т.е. М

1^. Находим длину биссек­

трисы ВМ: B M = ^ f - 6) 2 + ( 1 - з ) 2= ^

f + f = | V 2 , т. е.

ВМ = |%/2.

•

4.1.5.

Доказать, что треугольник с вершинами

А (—2 ;—1), И (6;1),

С (3;4) — прямоугольный.

4.1.6.

Точки А(2; 4), В (—3; 7) и С7(—6; 6) — три вершины параллело­

грамма, причем А и С — противоположные вершины. Найти

четвертую вершину.

4.1.7.

Дан

треугольник с вершинами А(—2; 4),

В {—6; 8), С(5; —6).

Найти площадь этого треугольника.

4.1.8.

Найти точку, в которой прямая, проходящая через точки А(5; 5)

и В (1;3), пересечет ось Ох.

О Координаты искомой точки С есть (х; 0). А так как точки А,

В п С лежат на одной прямой, то должно выполняться условие

(x2 -xi)(y 3 -y i)- (x z - x i)(y 2 -y i) = 0 (формула (1.4), площадь

треугольника АВС равна нулю!), где {x\;yi) — координаты

точки А, (х2 \уо) — точки В ,

(аг3;2/з) — точки

С . Получаем

(1 — о)(0 — 5) — (а: — 5)(3 — 5) = 0, т.е. 2 0 + 2 (.т -5 ) =

0, я - 5 =

-1 0 ,

х =

—5. Следовательно, точка С имеет координаты х =

—5,

у =

0, т.е. С 7(-5;0).

•

4.1.9.

Доказать, что три точки (2; 3), (5; 7), (11; 15) лежат на одной

прямой.

4.1.10.

Разделить отрезок между точками (0; 2) и (8; 0) в таком же от­

ношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала

координат.

4.1.11.

На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А(3; —8) на

расстоянии 5 единиц.

Дополнительные задачи

4 .1 .1 2 .

Найти длину вектора АВ, соединяющего

точки А(—4;5) и

В (—6; 7), и угол между этим вектором и положительным на­

правлением оси Ох.

4 .1 .1 3 .

Отрезок с концами А(1; —5) и В(4; 3) разделен на три равные

части. Найти координаты точек деления.

4 .1 .1 4 .

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, име­

ющей форму

треугольника с

вершинами в точках A(a?i; 2/1),