книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

уравнения (9.10.14), начальное значение которого ограничено

Отсюда следует Л ем м а 9,10.5. Существует такое положительное число

Ej е0, что любое решение y(t) неоднородного уравнения (9.10.12), начальное значение которого ограничено условием ||у(0)|| ^ с0, на промежутке 0 ^ t < L/zv где % — фиксированное число из интер­ вала (0, Ej), допускает оценку

ИКОН * ехр (а2 + fljOCeо +

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ВТОРОЙ МЕТОД)

Алгоритм расщепления системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, изложенный в гл. 9, приводит к расщеплен­ ной системе, состоящей из подсистем линейных дифференциальных уравнений, матрицы коэффициентов которых могут принимать в каждом конкретном случае тот или иной вид. Ниже указывается дру­ гой метод расщепления линейной системы, при котором матрицы подсистем расщепленной системы получаются в канонической фор­ ме, а именно — в естественной нормальной форме. Применительно к однородной системе дифференциальных уравнений этот метод приво­ дит к системе, состоящей из независимых дифференциальных урав­ нений 1-го или более высокого порядка.

§ 10.1. Две леммы

Пусть собственные значения квадратной матрицы U(т) порядка п

Тогда (см. гл. 5) могут быть построены матрицы Ка(т), А0(т), Ма(т) размеров соответственно п х £0, kg X kp>ках п (ст= 1, р),

дифференцируемые по т столько раз, сколько раз дифференцируема матрица £/(т), такие, что

Р

U = ^ U a= КАМ, и а= КаАаМа,

(10.1.2)

где К, Л, М — соответствующие блочные матрицы. Собственными значениями каждой матрицы Л0 служат собственные значения мат­

рицы (/, включенные в соответствующую группу о.

Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмотрение л-мерное векторное пространство R и действующие в нем

В соответствии с последними соотношениями пространство R расщепляется на р подпространств:

R = Rj + ... + Rp, R0 = P0R (о — 1, 2,..., л).

Эти подпространства инвариантны относительно оператора U. Дей­ ствительно, пусть, например, g Е Ra. Тогда, используя равенства

(10.1.3) и (10.1.4) и учитывая, что вектор g, как и любой другой вектор из R, можно представить в виде g = S'g, где g — столбцовая матрица, составленная из координат вектора g в базисе е,, е2, ..., еп, последовательно получим

t/g = UPorg = &UPog = %PaUg = PaVi?g E Rc.

Следующая лемма устанавливает связь между аннулирующи­ ми многочленами подпространства R0 и матрицами Ла в разло­

жении (10.1.2).

Л е м м а 10.1.1. Всякий аннулирующий многочлен подпрост­ ранства Ra является аннулирующим многочленом и для матрицы

Лп, и обратно, всякий аннулирующий многочлен матрицы Аа яв­ ляется аннулирующим многочленом и для подпространства R„.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть <ра(Л) — некоторый многочлен от к.

Учитывая, что UкРа = КаЛ0Ма, для любого вектора g из R будем иметь

(p0(U)P0g = <p0(U)P0^ = &9o(U)Pag = ZKava(Aa)M ag. (10.1.5)

Если <pD(X) — аннулирующий многочлен подпространства R„, то

и, значит, согласно равенству (10.1.5) ^K a*pa(Aa)M ag = 0. Но это

равенство может выполняться для любого g из R тогда и только тогда, когда

Поэтому <р0(Я) является аннулирующим многочленом матрицы Ла. И обратно, если ipc(X) — аннулирующий многочлен матрицы Л0,

то имеет место равенство (10.1.7) и в силу (10.1.5) — равенство (10.1.6) для любого вектора P0g £ Re g € R. I

С ледстви е . Минимальные аннулирующие многочлены под­ пространства R0 и матрицы А0 совпадают.

Далее, если Аа-мерное подпространство R0 — циклическое относительно оператора U, а е = &е — порождающий вектор

этого подпространства, то система. векторов е, Ue,..., U*o-1e линейно независима. Линейно независимой является также сис­

аа, Аааа, ..., Ад"-1 также линейно независима. Более того, спра­

ведлива следующая Л ем м а 10.1.2. Для того чтобы ка-мерное подпространство

R0, инвариантное относительно оператора U, было циклическим,

необходимо и достаточно существование столбцовой матрицы аа типа ka х 1, которой отвечает линейно независимая система

столбцовых матриц

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим матрицу

— квадратная матрица порядка Ка. Матрицы и S?а имеют один и тот же ранг, так как матрица Ка состоит из линейно независимых

столбцов. Используя это обстоятельство, легко доказываем и лемму. Необходимость. Пусть Ra — циклическое подпространство, а

е = %е — его порождающий вектор. Тогда столбцы матрицы 5? ли­ нейно независимы. Значит, линейно независимы и столбцы матри­ цы -2?0. Если принять

то, очевидно, система (10.1.8) также будет линейно независимой. Достаточность. Допустим, что система (10.1.8), где аа — не­

которая матрица типа kax 1, линейно независима. Тогда столбцы

матрицы Н также будут линейно независимы, если в качестве е принять какое-нибудь ненулевое решение матричного уравнения (10.1.9). Ясно, что такое решение всегда существует и соответству­ ющий вектор t = принадлежит подпространству Ra. Значит, Хи­

мерное инвариантное подпространство Ra является циклическим. Лемма доказана. ■

§10.2. Преобразование однородной линейной системы

спостоянными коэффициентами

ксистеме независимых уравнений

10.2.1. Преобразование к расщепленной системе уравнений 2-го порядка. Рассмотрим линейную стационарную систему

где А к. В — постоянные матрицы порядка л, причем п — четное число и det А Ф 0.

Т е о р е м а 10.2.1. Пусть собственные значения матрицы U = А~{ В четного порядка п разбиты на р = п/ 2 групп, по два собственных значения в каждой группе, так что

а инвариантные подпространства RJr R2, ..., Rp п-мерного про­ странства R, соответствующие указанным р группам собствен-

пых значений матрицы U, являются циклическими. Тогда реше­ ние уравнения (10.2.1) может быть представлено в виде

где qa — скалярные функции, удовлетворяющие уравнениям

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (10.2.2) в (10.2.1) и исключим при этом d2q j d t 2 с помощью равенств (10.2.3). Получим

2 ^1о(_ а 1a~jf “ а2оО + ^2

Приравняем в этом равенстве коэффициенты при d q jd t и qa:

Умножим слева первое равенство (10.2.4) на U и сложим со вто­ рым. Получим

(1Я + а1<,1/ + аг,,£ )|1о = 0.

В силу последнего соотношения система (10.2.4) эквивалентна сис­ теме

где <р0(Х) = Х2а1оХ + а2о.

Для доказательства теоремы достаточно показать разрешимость

По условиям теоремы двумерное инвариантное подпространство R0, соответствующее группе о собственных значений матрицы U, — цик-

причем соответствующие этим группам инвариантные подпро­ странства Rl, R2, ..., Rp являются циклическими подпростран­

ствами п-мерного векторного пространства R. Тогда решение уравнения (10.2.1) может быть представлено в виде

где <7а (ст= 1, 2,..., р) являются решениями независимых скаляр­ ных уравнений

dkaq dka lq dq

Д о к а з а т е л ь с т в о . Подставим (10.2.8) в (10.2.1) и исключим dk° q jd tk° с помощью равенства (10.2.9):

(*/А° 4- alaUk°~l + ... + a,ст 0 и + а ,а„Яй)!1а - 0.

Далее вместо системы (10.2.10) будем рассматривать эквива­ лентную ей систему

-PaW&lo = 0, \ t + la = Utja + 4j& v

(10,2.11)

О 1> •>>) ^о —

где

Положим | 1а = Кааа. Здесь а0 — некоторый А0-мерный вектор (столбцовая матрица типа &0 х 1). Тогда первое равенство (10.2.11) можно преобразовать к виду

Так как инвариантное подпространство Ra, соответствующее группе а собственных значений матрицы I/, циклическое, минималь­ ный многочлен этого подпространства является многочленом степени ка, коэффициенты которого определяются по формулам Виета:

Ф0(А) = ЯЛ + aia>AA"1+ ... + aj£>_,A + aj£>,

=я1>а(Ла) = 0 согласно лемме 10.1.1.

Вэтих условиях равенство (10.2.12) выполняется. Из остальных же равенств (10.2.11), зная | 1о, последовательно можно определить

в

зависимы. Тогда преобразование (10.2.8), приводящее систему (10.2.1) к расщепленной системе (10.2.13), будет невырожденным. Теорема доказана. ■

10.2.3. Случай матрицы простой структуры. Если U имеет простую структуру, то равенства (10.1.2) остаются в силе и в том случае, когда р = п. При этом К есть матрица, составленная из п линейно независимых собственных векторов, а Л — диагональная матрица, диагональными элементами которой служат отвечающие этим собственным векторам собственные значения матрицы £/. Имеет место следующая