книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

В этих обозначениях уравнение (7.2.8) можно представить так:

A < £ = B x + f ,

§ 7.3. Норма матрицы

Нормой прямоугольной матрицы А (в частности, и столбцовой, и строчной матриц) называется неотрицательное действительное число ||Л||, удовлетворяющее условиям:

4) ||Л £ И |И |||/? ||.

Условиям (1)—(4) можно удовлетворить многими способами. Например, можно положить

Il^ll = max 2

/к

И Л И

|М|| = max 2 \ ajkI*

Норма, определенная последним равенством, называется эрмито­ вой (в случае вещественных а|у- — евклидовой).

где Xj — собственное значение матрицы А.

Свойство (7.3.1) очевидно, а (7.3.2) можно установить так. Пусть Xj — собственный вектор, отвечающий собственному значе­

нию Ху. kjXj = Axj. Переходя к нормам, получаем

1*/И1*у11 - М*;11 MIIMyll-

Отсюда, так как х } Ф 0, следует (7.3.2).

§ 7 .4 . Матричные ряды

Рассмотрим последовательность матриц Ср С2, ..., Сп, ...

(Ср = (c$J>)) одного и того же типа т х п . Пределом этой последо­ вательности называется матрица

С — lim Ср = (lim с\р)) (i — 1, 2, ..., т; j = 1,2, ..., л),

р -»ао р -*« о

если, конечно, она имеет смысл, т.е. существуют пределы числовых рядов последовательностей

называется сходящимся, если существует предел последовательно­ сти его частичных сумм S[t S2, ..., Sn, ... (£р = + ... + Up). Предел этой последовательности называется суммой ряда (7.4,1).

Наряду с матричным рядом (7.4.1) введем в рассмотрение ряд,

Если ряд (7.4.2) — сходящийся, то матричный рад (7.4.1) — также сходящийся. Действительно, так как при всех i и / | uW \ <

Это решение непрерывно и дифференцируемо на t0*Zt**T.

7.5.1. Существование решения. От дифференциального уравне­ ния (7.5.1) перейдем к соответствующему интегральному уравнению

*0 Уравнение (7.5.3) будем решать методом последовательных при­

ближений. Пусть х(ЛГ_1) и х(лг> — последовательные приближения

а при N > 1

Из равенств (7.5.5) и (7.5.6) вытекают следующие неравенства:

'о

Нормы векторов и матриц определим так:

[/0, Т] следует ограниченность ее нормы. Пусть m — max ||i/(/) ||; ге[/0, г\

тогда из (7.5.7) и (7.5.8) вытекает

t

||*(1) - х(о)ц ^ J m\\c\\ds = mc(t — Z0),

цх(2) _ х(1)ц ^ J m2||c ||( s - t0)ds = m2c2 U ~ tQ)2

и далее по индукции

{Тх = Т - 1 0).

Ряд mNT*/ N\ — сходящийся. Действительно, используя признак ЛГ«1

сходимости Даламбера, будем иметь

mN+lTK+lN, mT.

О при N-+ оо.

Ш+ l)\mNT^ N + l

Умножим обе части последнего неравенства на v(t) и проитегрируем от t0 до /:

t

II* - у\\ < с, + $ ||£/(s)||||* - y||</s *0

для любого положительного числа с,. Используя лемму, получаем

t

||х - у || < с,ехр $ ||t/(s)||tfs. 'о

Это соотношение справедливо для любого сколь угодно малого по­ ложительного с,. Поэтому ||* — у|| = 0 и, значит, х = у.

Единственность можно доказать и другим путем, не прибегая к лемме Гронуолла—Веллмана. Так как х и у — два непрерывных и дифференцируемых решения уравнения, то их нормы на [*0, Г] ог­

раничены. Пусть т1=ш ах||х — у||. Из (7.5.13) находим

II*- У\\ ** mmx(t - t0).

Найденную оценку для \\х — у|| снова подставим в (7,5.13). Полу­ чим

§7.6. Фундаментальная матрица системы

7.6.1.Решение матричного дифференциального уравнения.

Построим теперь решение матричного уравнения

при начальном условии

где С — постоянная невырожденная матрица порядка п. Эта задача эквивалентна построению п решений векторно-матричного уравне­ ния

где ct (i = 1, 2, ..., л) — столбцы матрицы С.

По теореме существования и единственности решения уравне­ ния (7.6.3) каждому сг соответствует единственное решение xt(t).

Ясно, что матрица, составленная из этих решений, а именно мат­ рица X = (xt х2 ... *„), представляет собой решение матричного

уравнения (7.6.1) при начальном условии (7.6.2).