Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

..pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
36.1 Mб
Скачать
☆

И с п о л ьзу я

(9 .2 .1 0 ), п о лу ч аем

Z ? ^ '= 0 , .О ^ = = 0 . Э то

влечет

за

собой

равен ство

н у лю

м а т р и ц /С^21,

Кф, Л ^1, лЦЧ.

Я сн о , что

и вообщ е

все

последую щ и е

м а тр и ц ы

(А^31,

Л1,31,

A ^ l,

... )

су ть н у лев ы е

м атри ц ы .

 

 

 

 

 

 

Т а к и м

о б р азо м ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

1

0 ‘

 

F,

,

1

, <3 +2 1

 

 

0

- ( , - р )

■ ,

 

 

 

A^Aj +A^l— *

1

t2 + t«3- 1)

 

 

1о

*(< -*)

- 1 _

 

0

/

 

,3з+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л2= Л2= j;, А/1Ч----

МК^М= 0.

 

 

 

 

§ 9.3. Некоторые свойства матриц, участвующих в формальном процессе расщепления

В равенствах (9.2.11) положим = KgN0, Л^01 = N~lAaNa, где NQ — произвольная, достаточное число раз дифференцируемая матрица порядка ка. При этом первое равенство (9.2.11) снова об­ ратится в тождество. Действительно,

и к М = £ KS\ M SKCN, = KaNaf Q '\ N a = 5= 1

Для построения величин в к-м приближении умножим (к + 1)-е равенство (9.2.11) слева на М, а справа на Л^-1. Получим

AM K ak]N^1l = M K ^ N ^ lAa + MKaNaA[^NZx+ MDlak~ l]N ^\

или, обозначив Qlk] — M KlGk] N^1, получим

AQW = Qlak]Aa + MKaNaAWN-a' + MD[ak~liN~K

Последнее равенство эквивалентно следующим р независимым мат­ ричным равенствам:

Л,е“1= й1оЛо + м,/с0лг,,л'*'л£' + лг5о1‘-«лг' (* = 1.....р).

Отсюда

 

 

 

л „ е й = Q ' SJ K +

+

к о " - 11л г

(9.3.1)

A .QJ ;1= е ! ? л „ +

( s *o) .

Из (9.3.1) получаем

AW = K l( .\Q lJS - Q\Sл „ - м„о1‘ -Члг1)лг0.

Здесь по-прежнему Q}*} — произвольная, достаточное число раз дифференцируемая матрица порядка к а. Равенства (9.3.2) одно­

значно определяют Q}J$ {s ^ а).

 

 

 

 

Покажем, что Q**1 (s ^

cr;

к= 1, 2 ,...)

не зависят от Na. Для

этого, очевидно, достаточно показать, что матрицы

MsD\f ~ lJ N~l

не зависят от Na. При к = 1

 

 

 

 

 

 

*401

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d K

 

d N n

,

,

 

,

 

 

= ~dt

+ К* ~df ^

 

 

К

+ А - 1А 1К аА а.

Но (см. (9.2.10))

 

 

 

 

 

 

 

 

dK,

 

 

 

= 0 ^ \ Ы=Е

 

-

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

a~Et

Поэтому

 

 

I„ =£

 

dNa

 

 

 

О'01 =

+ К,

’

 

 

 

 

о

k

°

dx

 

 

М1Д1?'Л^1=

М5/)1»1|ЛГ. £

(s*cr).

(9.3.3)

 

 

 

 

"

*a

 

 

 

Подставим (9.3.3) в (9.3.2):

 

 

 

 

 

\Q l'J =

Ql'jAv + M ,D i»i | ^ . E<

(s * a).

Сравнивая последнее равенство с равенством

(9.2,16), видим,

что Qj*} = Q\lJ I jy _ E , и,

значит, с

точностью

до

произвольной

 

*

ко

 

 

 

 

 

 

субматрицы

Qoo

 

 

 

 

 

 

 

При к =

2

c f ' - e H # . - * . а

 

 

(9-3-4)

 

 

 

 

 

 

 

л!" = Х<,"л1" + V (4 > ^ r + А

- *,*14 -

 

- ВгкМ + А{КЫ\1?1+ Л.АГ^Л!1' +

 

 

=

= KQ\;lN„N^l(AaQM - QaJЛ0 - M0O i°'/C )A , +

 

 

4(*gMNJ

+

 

<(UW

 

 

 

 

+

 

 

л

 

■ V

[ ^

 

- в, к о !11лг„ -

 

 

+ A tKQM NaN ?A 0No + A ^ N 'N ^ K O M

~ OSSA, -

 

 

 

- MaD » 'j^ l)N , +

АгКаЫ„Ы~а'Ааы ] =

 

-

JC<2i" (л„СЙ - ОЙА, -

4 , 4 ° ' 1v„- E,O*

7 Г

4 ‘) лг0 +

 

 

 

(/(ATQL11)

 

m dNa

 

>i ^ yy

4 .

 

 

 

+ - i f - 4 + * Й Ч-5 Г + V

 

 

 

Л 1 dx ” a ^

 

 

+

A,/Ca - j f

-

BtKQ["N0 -

ВгК0Ы0 + AlK Q ^ \ N 0 +

+

 

 

-

QiL1Л0 -

M'DW

 

-

7 Г

4 ' )

N° +

+

^

. A A ,]

= j* e i" (A „Q S'J - е й л „ -

м ао м

 

+

 

diKQ^h

+ V

[ A

-

B,KQl" -

B2Ka + A,KQll>Aa +

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

А 4

(л»СЙ -

Q i'X

-

 

Iw>. BJ

+ A2KaAa

Отсюда в силу равенств (9.2.17) и (9.3.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*£?

+ А ^

- в ,4 " - в24 01 +

DM = [ аг1»л 1ч + V (а , dx

 

 

+ A.Arl'lA'o' +

 

+

а24 ° 'л 101)] | «

. £^-а 0,

I.e. DM = DM IET. E Л..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

*a

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании последней зависимости из (9.3.2) следует, что

Qso “

Q^sa I yv e E

*и»значит>c точностью до произвольной матрицы

 

 

 

 

 

Q iM 21 = Qi21 L о .£ k

 

 

 

 

Допустим,

что

установлены инвариантность

Q^11...... ^

и

зависимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D1,11 = DM | ла . ,*а4

(I =

1......* -

2).

 

 

Покажем, что тогда матрица Q^*1 инвариантна относительно Na>а

Преобразуем выражение для

 

в предположении, что к 3= 3:

к- 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди -Ч _ 2 4*-ЯЛ'Л +

 

 

 

 

 

 

*

/

 

d/d*~vl

 

Jfc-V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ V 2

Л

 

__2 _

-

£ vx '* -v' + 2 А Х * '”"л л у |

 

^ - 1

dx

 

V =

1

 

 

 

 

7 =О

 

 

 

к - 1

 

 

 

 

rf*!*"1*

 

 

= 2

л4*-лл<>' +

 

 

+

 

 

/-2

 

 

 

 

 

 

 

+ V 2 А-1- д - - Л" 2

 

+

 

 

 

V =

2

 

 

V = 1

 

 

 

+ Л"‘ 2

л

к ^

л

' 0' +

л0‘ 2

 

+

 

 

V =

1

 

 

 

V в 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ V 2 *2 А ^ ь - '- П ь у К

 

 

 

 

 

 

 

v = 1

/ = 2

 

Но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 А«-ЛЛ1Л =

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

 

(A»6io -

QoJA° - M 'D "-» л г') лг, =

 

7 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

^

‘ л л ^

Д/ *

 

 

 

 

 

 

yva’

 

 

 

 

 

 

7 =2

 

 

* и - ‘|Лш +

------к о '* -" лг0лг;‘ [л 0е'У -

Qi'jAa -

 

-

М ,{X)l°) |„

_ Е

-N „+ K 0^ \ N

- al н а +

 

ок

+ diKQf- 111 лгв +

^

=

 

 

=

[лг1‘- ч л 1‘1 +

dK%-4

1

•*«;

 

 

dx

- 4

е **

 

 

 

 

2 BVKi*-'1=

2

B ^ K Q ^ N e =

2

 

 

 

 

 

 

N,a*

 

V = i

 

V =

1

 

 

 

v = l

 

 

 

 

N

а

= * E ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A ,*i‘' vlA«01 = 2

А Л Й А '’1NaNZ'A„Na=

 

 

 

 

 

I=1

V = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

A « i‘‘vlA‘01

 

 

 

 

 

 

 

 

v = 1

 

 

 

 

 

J ЛГ = £•.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a *

2

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = 1

y = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

2

А л е ^ ”-''1

 

 

 

-

eS5 A. -

 

v = 1

j =

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- M aDlJ-»NZ')Na = '

к

к v

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 А

4 ‘_,‘ лл 1л

 

 

 

 

 

 

 

V =» 1

7 = 2

 

 

 

 

 

 

-■*о=^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

Л*'[fc-v)

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S A - , % - + Е л 4 ‘-,-,'л !" =

 

 

 

 

 

 

 

 

v=2

v = 1

 

( Jь^/c-V-l]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&~ 1

+ х [*-»-ил [.1\

 

=

 

 

 

 

= 2 А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/fc-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

А.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v = X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ K Q ^ -'-11 N

^

A ,eS

-

о й л . -

 

 

 

- w

. W

 

^.£,^< 7 + A 7 7

l ^

‘

i

^

 

“

 

 

 

 

 

t

 

i -

 

 

 

 

 

 

2

A - i

dX?-”'

*

л

*

^

 

“11л*1]

 

 

 

 

it

 

+ 2

 

 

 

 

 

v = 2

 

 

 

V“ 1

 

 

 

 

 

 

 

На основании этих соотношений

— D ^-11 Nor- £. Аз‘

a»

ЛГ.о»

^a*

Тем самым равенство (9.3.5) доказано. Тогда из (9.3.2) следует, что Qj*J = Q}® =е , и, значит, с точностью до произвольной

°*о

матрицы Q[akJ

 

 

О

 

что означает инвариантность матрицы

относительно Na.

В силу вышеизложенного по индукции получаем

 

D " = Oi'1 v° *0N .

(г =

1, 2, ...),

 

(г =

1, 2, ...)

 

Ql'' = Q!,r' \ K -E,

и, далее,

в

 

 

 

(г = 0, 1, 2 ,...),

4

Г| = 4 r|

л и

= лс'л 1г| L _ e. лг„

(г =

0, 2, 3, 4, ...),

 

СТ

 

 

 

Л '" = л^ л '"

N — N~l — -

 

 

JVa dx *

§ 9.4. Рекуррентные соотношения в некоторых частных случаях

Произвол в выборе Q[akJ можно использовать для упрощения расчетных формул. Так как МаК ^ = Ql*1, т0 из

Q l«=0

(*=1 .2 ....)

(’ •‘*•1)

следуют равенства МаК}^ = 0

(* = 1 ,2 ,...). При этом

 

A /.D l*-11 =

 

k-v

 

 

 

 

= М Л - ' Е

’-1 dx

- BV4 * ' v| + 2

 

V = 1

 

 

 

Имея в виду, что

 

02

 

/Я

 

 

2

КМ = K0 +K'2t Q.А*'.

 

к*О

 

Л=1

 

получим еще

 

 

 

m

 

(т = 0, 1, 2 ,,,.)

 

м „ 2

 

 

*-0

 

 

 

И

 

MQKa = Ek.

(9.4.2)

О

 

Более простой вид принимают расчетные формулы в случае Л*(т) = &k(x) = 0 (Л = 1, 2,...). При этом

или, в силу (9.4.1) и (9.4.2),

Под Q^01 здесь подразумевается блочная матрица типа п X А0, со­ стоящая из следующих блоков Q*®1 типа ks х кд:

Q |« - P V

S = °'

[ 0 ,

S # сг.

Формула (9.2.17) соответственно принимает вид

Значительно упрощается и вид матриц MsDlk 11

фигу­

рирующих в формулах (9.2.16):

 

§ 9.5. Условие сохранения нормы решений уравнений при замене переменных

Скалярное произведение векторов а{ и а2 (столбцовых матриц) определим равенством (ар а2) = а'г'а{, где а' — вектор, эрмитово­ сопряженный вектору а. Пусть ук и у2 — какие-нибудь А0-мерные векторы, а х ; = Kayi (/= 1 ,2 ). Предположим, что

Подставим значения x t в (9.5.1). Получим

 

(*„>,, К„Уг) =

(Ур Уг)-

(9-5.2)

Отсюда

 

 

(К ,К У ц у2) =

(ур у2).

(9.5.3)

Так как у2 — произвольный Ла-мерный вектор, то из

(9.5,3) сле­

дует, что

 

 

К К а = Ek

(9.5.4)

И обратно, если имеет место равенство (9.5.4), то тогда для любых двух ^-мерных векторов у{ и у2 имеет место равенство (9.5.3), а

значит, (9.5.2) и, наконец, (9.5,1). Таким образом, равенство (9.5.4) является необходимым и достаточным условием выполнения равенства (9.5.4).

Из

(9.5.4) имеем

( К

+ с*!,"' + е2* ® ' + ...)(КС+ е*1» + е2* '2' + ... ) = Ек .

 

О

Отсюда видно, что (9.5.4) будет выполняться тождественно относи­ тельно е, если

КК = Ек,

+ К[»-Ка =о,

 

 

^9»5*5)

+ 4 4 - 4 4

+ 4 2i - ^

= o ,...

Равенство

 

 

К К

= Et

(9.5.6)

 

о

 

может быть обеспечено всегда (это будет показано ниже, в конце настоящего параграфа). Второе равенство (9.5.5) с учетом (9.5.6) можно представить так:

Б

+ О й + £ о й ’ * ; * < > + о й н = о .

5=1

5 =1

5 * 0

5 * 0

Отсюда имеем

О й + о й ’ — £ (Я .’х .О Й + О Й ’**,х„).

J—1

5 * 0

Учитывая» что в правой части последнего равенства стоит эрми­ това матрица, можно принять, например,

ой — i S <**.*,ой + ой***Я)-

S — 1

Аналогично этому, так как (к + 1)-е равенство (9.5.5) можно представить в виде

о!*1+ ей1* = -S (**»*.ой' + ой1**;*.) - S е1°|,***й “в|.

s=1

а=1

5*0

 

можно принять

 

р

к - 1

S (ККМ2 + ой1***,«о) + S Qjal****OJ‘ ' al •

5 = 1

a =1

5*0

 

Очевидно, что таким

образом определенные матрицы Q}J$

(А: — 1, 2, ...) являются эрмитово-сопряженными.

З а м е ч а н и е 9.5.1. Существуют, конечно, матрицы QikJ, обес­

печивающие выполнение равенств (9.5.5) и имеющие более общий вид, например, матрицы

S (**.*.ой' + ей1***.*.) +

5=1

5*0

+ 2

+ 5i«

(* = *> 2 ,...),

a= 1

J

 

где 5 ^ — произвольная квадратная матрица порядка к5>обладаю­

щая свойством 5 ^ + 5^* = 0. ■ Остается показать, что выбор матрицы Ка всегда может быть

подчинен условию (9.5.6). Общий вид субматриц матрицы К, пре­ образующей квадратную матрицу U к квазидиагональному виду, соответствующему принятому способу разбиения собственных зна­ чений матрицы U на непересекающиеся группы, представляется ра­ венством

где матрица К°а типа п х к а ранга ка является субматрицей некото­

рой матрицы, преобразующей матрицу U к квазидиагональному ви­ ду при принятом способе разбиения ее собственных значений на группы, N a — произвольная невырожденная квадратная матрица

порядка ка. Пусть

 

Ка =

(*!"'

*£>).

=

*»<“>).

 

 

 

 

 

О

 

 

О

 

 

Имея в виду, что К°а состоит из линейно независимых столбцов,

построим сначала

вспомогательную

матрицу

KQo = (

)

,

i i илбцы которой удовлетворяют условиям

 

 

от

 

 

 

 

 

к $ - к $

= 0

(i = i).

 

 

(9.5.8)

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

vft>*Й> +

... +

п,4% - ,

 

(9.5.9)

 

 

 

 

Коэффициент v(y> определим из условий (9.5.8):

 

 

 

kia)*• £9(а)

/г _ 1

k _ 1 .

1 _ 2

г* ^

 

v ( o ) _____^ 0 » ____Z I___

 

v) / —

| ^

| 2

V*

 

 

j

Ка).

 

Равенства (9.5.9) можно представить в следующем виде:

 

где

 

*0а = К + K0oVa>

 

(9.5.10)

 

г 0

 

At

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

0

0

0

^ > -и

 

 

 

 

0

0

0

0

 

 

 

Из (9.5.10) получаем

о* II

ef t

£

1 а

а

 

 

rf

-I

4

Пусть

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности