книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

лексное число, модуль которого равен 1 / 1х | . Два вектора х и у на­ зываются ортогональными (x-Ly), если (х, у) = 0 .

В случае численного пространства, элементами которого служат столбцовые матрицы, скалярное произведение определяется так: (а, Ь) = Ь*а. По аналогии с этим, наряду с общепринятым обозна­ чением скалярного произведения векторов пространства R (х, у) мы будем пользоваться и другим условным обозначением ухх, по­ лагая (х, у) = ухх. Здесь ух выступает в роли вектора, «сопряжен­ ного» вектору у.

Свойства (1)—(5) при этом представляются в следующем виде:

1)ухх — (х, у) = (у, х) = хху,

2)ух(ах) = (ах, у) = а(х, у) = аухх,

Длина вектора х равна | х | = Vxxx, а условие ортогональности век­ торов х и у принимает вид

ухх = Xху = 0.

Обозначая звездочкой переход к эрмитово-сопряженной величи­ не, отметим еще такое свойство:

Пусть пространство R — n-мерное унитарное пространство и & — (е, е2 ... ett) — какой-нибудь базис в нем. Обозначим через х

столбцовую матрицу, составленную из координат хр х2, хп век­

тора х, а через у — столбцовую матрицу, составленную из коорди­ нат уу, у2, ..., уп вектора у в этом базисе. Тогда

или

ухх = ух2’хх,

где у* — у2 ... уп) — строчная матрица, эрмитово-сопряженная столбцовой матрице у, а

вх ci

ех Г хх = с 2

• ♦ а х

Учитывая еще первое соотношение (6.1.1), из (6.1.2) находим

так что скалярное произведение (6.1.3) можно записать и в форме

i, к — 1

где hik = hki (iy к = 1, 2 ,..., п), называется эрмитовой формой;

выражение, стоящее в правой части равенства (6.1.4), называется

билинейной эрмитовой формой. Таким образом, квадрат длины вектора унитарного пространства представляется в виде эрмитовой

формы его координат. Матрица Я эрмитовой (билинейной эрмито­ вой) формы в силу (6.1.6) является эрмитово-сопряженной (эрми­ товой), т.е. Н* — Я.

Если базис % в R составлен из ортонормированных векторов

то в этом случае Я — диагональная (единичная) матрица и формы (6.1.4), (6.1.5) принимают вид

В следующем параграфе будет показано, что ортонормированный базис существует в каждом унитарном пространстве.

Если в качестве числового поля Ж принято поле вещественных чисел, то метрика, удовлетворяющая условиям (1)—(5), называет­ ся евклидовой. Векторное пространство R над полем вещественных чисел с положительно-определенной евклидовой метрикой называ­ ется евклидовым пространством.

Вевклидовом пространстве скалярное произведение векторов х

иу с координатами соответственно xt n y t (i = 1, 2..., п) представ­

ляется равенством

Здесь у' — строчная матрица, полученная из у транспонированием, sik = su (i, k = 1, 2 ,...» n) — вещественные числа. В частности,

П

( х , х ) = X X X = x ' & ^ l f x = 2 S i k X i X k . i, А=1

n

Выражение ^ sutxixk называется квадратичной формой относи-

*,А=1

п

тельно х,, х2, ...» хп. Квадратичной форме J sikxixk отвечает били-

нейная форма sikxtyk. Квадрат длины вектора евклидова про-

<.*«1 странства представляется в виде квадратичной формы его коорди­

нат.

Соотношения (6.2.2), (6.2.3) позволяют последовательно стро­ ить взаимно ортогональные векторы ер е2, ...,еп, что и подтверж­

дает существование в R ортогонального базиса. Равенства (6.2.2) можно записать в виде матричного соотношения Е = & + <§Т, где

Отсюда 1? = &(Еп — Г )-1, где Еп — единичная матрица порядка п. От ортогонального базиса можно перейти к ортонормирован-

ному базису путем умножения & справа на диагональную матрицу

diag

’ V(e„, e j

Таким образом, в унитарном (евклидовом) пространстве существу­ ет и ортогональный, и ортонормированный базис.

§6.3. Линейные операторы в унитарном пространстве

6.3.1.Сопряженный оператор. Если для любых векторов х и у из унитарного пространства между линейными операторами А В

В в R выполняется соотношение (Ах, у) — (х, By), то оператор №

называется сопряженным по отношению к оператору А. Оператор, сопряженный оператору А, обозначается через А*.

Каждому линейному оператору А отвечает единственный сопря­

В самом деле, имея в виду, что В — матрица оператора В в ба­ зисе Bv В2, ..., Вп — строки матрицы В, а у — столбцовая мат­

рица координат ур у2, ..., уп вектора у в том же базисе, получаем

k=l к=1

(так как В-у — скаляр). Но, с другой стороны, так как & — ортонормированный базис, то

Вку = 2 в 1Уеп е* = (5у, е*).

Учитывая последнее соотношение, из (6.3.2) непосредственно при­ ходим к (6.3.1).

Теперь легко установить, что оператор В, определенный соотно­

является сопряженным по отношению к оператору А. Действитель­ но, если А* — оператор, сопряженный оператору А, то для произ­ вольных х и у

ный оператору А, единственным образом.

Найдем матрицу сопряженного оператора А* в ортонормированном базисе I?. Пусть А — матрица оператора А в базисе £?. Через В обозначим матрицу сопряженного оператора А* в том же базисе. Имеем А& = &A, A*S’ = &В. Отсюда, так как & — ортонормиро-

Таким образом, в ортонормированном базисе сопряженным опера­ торам А и А* отвечают сопряженные матрицы А и А*.

6 .3 .2 . Собственные векторы и собственные значения эрмито­ ва оператора. Линейный оператор Н называется эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным: Н = Н*. Для изучения свойств собственных значений и собственных векторов эрмитова оператора

Ннам понадобится следующая

Ле м м а 6.3.1. Пусть А — линейный оператор в векторном пространстве R над полем комплексных чисел Ж, а I — инвари­ антное подпространство пространства R. Тогда оператор. А имеет в подпространстве I хотя бы один собственный вектор.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть размерность подпространства I рав­ на к и & = (g, g2 ... g*) — какой-нибудь базис этого подпростран­

ства. Произвольный вектор х из I представляется в виде

Условие того, что x является собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению X, т. е. равенство Ах = Хх, в си­

C*l*l + C*2*2+‘“ + ( С**

Для доказательства леммы достаточно показать, что существует число X Е X и числа х2> не все равные нулю и удовлет­ воряющие системе (6.3.6). Условием существования ненулевого ре-

шения однородной системы (6.3.6) является равенство нулю его определителя:

Но (6.3.7) представляет собой уравнение степени к относительно X с коэффициентами из поля комплексных чисел и потому имеет по крайней мере один (вообще говоря комплексный) корень Х0.

Значит, существует такое число Х0> что при X= Х0 система (6.3.6)

— собственным вектором оператора А, так как Ах0 = Хх0. Лемма

доказана. ■ Л е м м а 6.3.2. Собственные значения эрмитова оператора ве­

щественны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть х — собственный вектор, а X — со­ ответствующее собственное значение эрмитова оператора Н, так что Нх = Хх (х ^ 0). Так как Н* = Н, то

(Нх, х) = (х, Н*х) = (х, Нх).

Отсюда Х(х, х) = Х(х, х), и, поскольку (х, х) ф 0, то X = X, что и требовалось доказать. ■

Л е м м а 6.3.3. Пусть Н — эрмитов оператор в п-мерном уни­ тарном пространстве R, а е — его собственный вектор. Тогда совокупность R( векторов х, ортогональных к е, есть ( п — 1)-

мерное подпространство, инвариантное относительно операто­ ра Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко проверить,что Rt есть подпростран­

ство пространства R. Пусть х — произвольный вектор из R. Йредставим его в виде х = Xj + (х — х,), где

(х, е) е. 1 (е, е)

Вектор х, принадлежит одномерному подпространству I, порож­ денному вектором е. Вектор же х — х1 принадлежит подпрост­ ранству Rx, так как

(х — X,, е) = (х, е) - (х,, е) = (х, е) — (х, е) = 0 .

где kj — вещественные числа. Матрица этого оператора не изме­ нится, если предположить, что векторы базиса е,, е2, е и пронор­

мированы. Матрица сопряженного оператора Н* в ортонормирован­ ием базисе получается из матрицы оператора Н транспонированием и заменою каждого элемента комплексно-сопряженным. Проделав это, убеждаемся, что Л = Л*, т. е. операторам Н и Н* отвечает одна и та же матрица. Значит, Н = Н*. Таким образом имеет место

Т е о р е м а 6.3.2. Для того чтобы оператор Н в унитарном пространстве R был эрмитовым, необходимо и достаточно, что­ бы в R существовал ортогональный базис, в котором матрица оператора — диагональная и вещественная.

Наконец, отметим еще одно свойство собственных векторов эр­ митова оператора: собственные векторы эрмитова оператора, отве­ чающие различным собственным значениям, взаимно ортогональ­

Отсюда, так как (Нер е2) = (ер Не2), то

(Xj —Х2)(ер е2) = 0 и, значит, (е^ е2) = 0.

6.3.3. Унитарный оператор. Линейный оператор U называется унитарным, если UU* = U*U = Е (Е — единичный оператор).

Пустьх и у — векторы унитарного пространства R. Тогда

(Ux, Uy) = (х, ITUy) = (х, у).

Значит, унитарный оператор сохраняет скалярное произведение векторов. И обратно, оператор, сохраняющий скалярное произведе­ ние векторов, унитарен. В самом деле, пусть (Ux, Uy) = (х, у) для

любых векторов х и у. Тогда (U*Ux, у) = (Ех, у), и, следователь­ но, ((U*U — Е)х, у) = 0. Но это равенство выполняется для любых х и у только тогда, когда U*U = Е, т. е. когда U унитарен. При х = у имеем (Ux, Ux) = (х, х). Значит, унитарный оператор сохра­ няет длину векторов.