книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

15.Найти общий вид квадратной матрицы, перестановочной с заданной диаго­ нальной матрицей.

16.Доказать, что для того, чтобы матрица была скалярной, необходимо и доста­ точно, чтобы она была перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.

17.Показать, что определитель Вандермонда

^2 К

П<\-у

18. След квадратной ихп-матрицы А

Sp А = 2 ан.

««=1

Доказать, что

1)Sp M + £ ) = S p A + SpB;

2)Sp >lT = Sp Л;

3)Sp tt<4»»tiSpyi;

I»1

19.Доказать, что вещественная матрица А равна нулю тогда и только тогда, ког­ да Sp (ЛЛТ) —0.

20.Вычислить Ап, если

21. Для треугольной матрицы А 0 VO показать, что Л"1 существует и име­ ет вид той же треугольной матрицы, у которой диагональные элементы равны \/а ц.

22. Найти максимальное значение, которое может принимать определитель 4-го порядка, если все его элементы равны ±1.

23. Доказать, что для любой квадратной матрицы (п х п) справедливо равенство

det (аЛ) = a"det А.

24.Доказать, что для любой вещественной матрицы А все главные миноры мат­ риц АТА и ААТ неотрицательны.

25.Матрица, удовлетворяющая условию Р —Р2, называется проекционной. Дока­ зать, что если Р — проекционная матрица, то и ( Е —Р) — проекционная матрица.

26.Пусть матрица А удовлетворяет условию Ат —0 для любого целого положи­ тельного т . Показать, что матрица (аЕп—А) является невырожденной при любом

а*=0.

27.При каких А и В выполняется равенство

АВ - В А = Еп?

28. Как изменится произведение АВ матриц А к В, если а) переставить строки i и у матрицы А\ б) к строке / матрицы А прибавить строку у, умноженную на число с=*0.

29.Как изменится обратная матрица Л-1 , если в данной матрице Л: а) переста­ вить i-ю и у-ю строки; б) i-ю строку умножить на число ач^О; в) к /-й строке при­ бавить у-ю строку, умноженную на число а^О .

30.Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны пулевой матрице.

31.Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны единичной мат­

рице.

ГЛАВА 2

ВЕКТОРЫ, ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ

§ 2.1. Векторы и векторные пространства

Пусть дано некоторое множество R элементов х, у, z , ... и чис­ ловое поле Ж . Множество R элементов х, у, z , ... называется л и ­ нейным пространством, если введены операции сложения элемен­ тов и умножения элемента из R на число из Ж , т.е.

а) каждым двум элементам х, ,у Е R поставлен в соответствие элемент х + у Е R, называемый суммой элементов х и у;

б) каждому элементу х Е R и каждому числу X Е Ж поставлен в соответствие элемент Хх Е R, называемый произведением числа X на элемент х,

иэти операции удовлетворяют постулатам:

1)х + у = у + х (коммутативность);

В дальнейшем элементы х, у, z ,... мы будем называть векторамиь а пространство R — линейным векторным пространством, или просто векторным пространством.

Пр и м ер ы .

1.В геометрии, физике, механике рассматриваются направленные отрезки (векторы), для которых операции сложения и умножения на число (действи­ тельное) вводятся так. Суммой векторов х и у считается диагональ параллелог­

рамма со сторонами х и у (рис. 2.1). Произведение вектора х на действительное число X есть вектор, направленный в

ту же сторону, что и вектор х, если Я.> 0, и в обратную сторону, если Ж 0, и имеющий длину, равную длине вектора х, умноженной на мо­ дуль числа X.

Легко проверить, что введенные та­ ким путем операции сложения и умно­ жения на число удовлетворяют посту-

латам (1)—(7), и, значит, множество всех направленных отрезков есть линейное пространство.

2. Множество всех многочленов, степень которых не превышает натурального числа п — 1, с операциями сложения многочленов и умножения многочлена на чис­ ло, определенными обычным способом, есть «-мерное линейное пространство.

Множество же всех многочленов степени п уже не образует линейного простран­ ства, так как, например, степень суммы двух многочленов может и не равняться п . Так,

tt" + It + 3) + (-/" + 1) = 2t + 4.

3. Рассмотрим множество векторов, представленных в виде упорядоченных сис­ тем п чисел из поля Я . Пусть, например, X = (JCJ, х 2, .... х п). Операции сложения

векторов и умножения вектора на число определим так:

Нулевым элементом является вектор (0, 0, .... 0).

Нетрудно проверить, что постулаты (1)—(7) выполняются. Поэтому рассматри­ ваемое множество образует линейное пространство.

Линейное пространство, в котором векторами служат упорядоченные системы чисел, называют числовым пространством.

§ 2.2. Линейная зависимость векторов

Пусть R — линейное пространство, а х,, х2, ...» xrt,... — векто­ ры в нем. Векторы X,, х2, .... х^, называются линейно зависимыми

нейно зависимы. Значит, имеет место равенство а,х14* о2х2 4*... 4" а.кхк — 0,

в то время как среди коэффициентов а х а2, ..., ак имеется не рав­ ный нулю коэффициент. Но тогда справедливо и такое равенство:

а,х14-... 4- а кх к 4-0хл + 14-... +0x^ = 0,

а это означает линейную зависимость векторов х,, х2, ..., х (. ■

Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима, ибо подсистема, состоящая из одного только нулевого

Среди коэффициентов а1у 0 = 1 , 2 , . . . , / : ) непременно имеется не равный нулю, иначе = 0, а это означало бы линейную зависи­ мость векторов х,, х2, ..., Ху. Без нарушения общности можно счи­ тать, что ctn ф 0. Тогда, разрешая первое равенство системы (2.2.1) относительно у, и исключая с помощью полученного соотношения у, из остальных равенств этой системы, получим

векторы Ху и х2 оказались бы линейно зависимыми, а это влечет за собой линейную зависимость системы векторов хр ..., х/5 что про­

Повторяя эти рассуждения, в конце концов придем либо к системе

В обоих случаях приходим к противоречию, ибо как равенства (2.2.3), так и равенства (2.2.4) означают, вопреки условиям леммы линейную зависимость векторов хр х2, ..., хг Значит, / < к> и лем­

ма доказана. ■

§ 2.3. Размерность и базис векторного пространства

Наибольшее число линейно независимых векторов в линейном пространстве R характеризует размерность (число измерений) это­ го пространства. Линейное пространство R называется п-мерным, если в R существует л линейно независимых векторов и нет боль­ шего числа линейно независимых векторов.

Линейное пространство, в котором можно найти любое число линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Система из п линейно независимых векторов ер е2 ..., еи п-

мерного пространства R называется базисом в R.

Любой вектор х из л-мерного пространства R можно представить как линейную комбинацию векторов базиса. В самом деле, поскольку векторы х, ер ..., еп линейно зависимы (их число равно п + 1), то

существуют числа а0, ар ..., а„, не все равные нулю и такие, что

а0х + + ... 4- апеп = 0 . (2.3.1)

В данном случае коэффициент а0 не может равняться нулю, так

как при этом равенство (2.3.1) означало бы линейную зависимость векторов базиса. Поэтому из (2.3.1) находим

где

^( i= 1 , 2 , ..., л).

Докажем, что x v х2, ..., х п однозначно определяются заданием вектора х и базиса еА, е2, ..., ей. Предположим, что имеется еще од­ но разложение вектора х:

Если е,, е2, ... ,е;) есть базис в «-мерном пространстве и

X “I" ^2®2

то числа л,, х2 ...» х п называются координатами вектора х в бази­

степени не выше « - 1 с коэффициентами из поля ЭГ представляет собой «-мерное

векторное пространство. Элементы t°, tn~ l линейно независимы. Любой другой многочлен степени не выше « — 1 есть линейная комбинация этих элементов. Коэффициенты а0, а ^,.... an_j можно рассматривать как координаты вектора P it)

вбазисе t , .... tn~l.

2.Линейное пространство векторов (Х|, х2, .... хп) есть «-мерное пространство.

Всамом деле, например, векторы

(10 ...0), (0 1 0), (00... 1), (2.3.4)

число которых равно и, линейно независимы, а любой другой вектор (х2, х2, .... *„) представим в лиде линейной комбинации этих векторов:

образует линейное пространство. В этом пространстве можно указать любое число линейно независимых векторов. Например, линейно независимыми являются векто­ ры бесконечного ряда

Хр хп — столбцовую матрицу

Отсюда следует, что линейно независимым векторам из R соответ­ ствуют линейно независимые векторы из Rj и обратно. Значит, ес­

ли R и R, изоморфны, то максимальное число линейно независи­

мых векторов в этих пространствах одно и то же, т.е. изоморфные линейные пространства имеют одну и ту же размерность.

Более того, все пространства одной и той же размерности над одним и тем же числовым полем X изоморфны друг другу. В самом деле, пусть R и R, — л-мерные пространства над одним и тем же

венно. Каждому вектору х из R поставим в соответствие вектор х' из R,, имеющий в базисе (ер ..., е„) те же координаты, что и век­

тор х в базисе (е,, ..., е„), т.е. вектору

из R поставим в соответствие вектор

х' = дс,е,' Ч- х2©2 Ч- - + хпе'п

из R,. Это соответствие взаимно однозначно. Если векторам х и у из R соответствуют векторы х' и у' из Rp то из установленного

правила соответствия сразу следует, что вектору х Ч* у £ R соот­ ветствует вектор х' Ч- у' £ Rp вектору Хх £ R соответствует

Хх' £ RP Значит, пространства R и Rt изоморфны.

Итак, все линейные пространства одной и той же размерно­ сти изоморфны между собой. Единственной существенной характе­ ристикой конечномерного пространства является его размерность.

Все п-мерные пространства с точностью до изоморфизма совпа­ дают с одним и тем же п-мерным численным пространством.

Это важное обстоятельство позволяет свести изучение различ­ ных линейных пространств к изучению одного, например, числен­ ного пространства.

§ 2.5. Подпространства векторного пространства

Совокупность векторов из R, образующих линейное про­ странство относительно уже введенных в R операций сложения и умножейия на число, называется подпространством Rj про­

странства R. Другими словами, Rx С R образует подпространства

х Ч- (—1)х £ R,. Но х Ч- (— 1)х = (1 — 1)х = Ох = 0, и, значит, лю­ бое подпространство содержит в себе нулевой элемент.

П р и м е р ы

1. В трехмерном пространстве R совокупность векторов, лежащих на прямой,

проходящей через начало координат, образует одномерное подпространство.

2. Нулевой элемент пространства R образует подпространство (нулевое подпро­ странство). Подпространством является и все пространство R.

Рассмотрим совокупность векторов «-мерного векторного про­ странства R, представляющую все линейные комбинации над полем Ж т фиксированных векторов из R, т.е. совокупность

векторов вида

х = + а2х2 + ... + а т хт ,

где х,, х2, ..., хт Е R, а а р а2, ..., ат — произвольные числа из Ж. Эта совокупность образует подпространство Rp Говорят, что Rj — подпространство, порожденное векторами х,, х2, х т. Под­ пространство Rp порожденное линейно независимыми векторами е,, е2, е Л, является ^-мерным, и векторы вр е2, е Аобразуют

внем базис.

Всамом деле, в Rt имеется система к линейно независимых

Если векторы Хр х2, ..., x t Е Rj линейно независимы, то, согласно лемме 2.2.2, / ^ к. Значит, в подпространстве RI максимальное чис­ ло линейно независимых векторов равно к, т.е. R1 — Л-мерное про­ странство. Система к линейно независимых векторов ер е2, ..., еА может рассматриваться как базис подпространства R,.

S 2.6. Линейные операторы в векторных пространствах

Рассмотрим два векторных пространства над числовым полем Ж: «-мерное R и m-мерное S. Пусть А — оператор, который каж­ дому вектору х из R соотносит вектор у из S:

Оператор А, отображающий R и S, т.е. соотносящий каждому век­ тору х из R некоторый вектор у = Ах из S, называется линейным, если для любых хр х2 Е R и а Е Ж