книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfЛ е м м а 3.7Л. Пусть Рх и Р2 — две проекционные матрицы. Для того чтобы матрица Р = Рх+ Р2 также была проекционной, необходимо и достаточно, чтобы
л я2 = ргр\ = °* |
(3.7.7) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть справедливы равенства (3.7.7). Тоща
(Р, + Р2)2= Р} + Р,Рг + РгР, + Р \= Р \+ Р \= />! + Pv
и, значит, Я, + |
— проекционная матрица. |
|
Н е о б х о д и м о с т ь . Если Я, + Рг — проекционная |
матрица, |
|
то необходимо |
РХР2+ Р2Рх = 0. |
(3.7.8) |
|
||
Умножая равенство (3.7.8) справа на Р2, |
а слева на Pv, получим |
|
РхРг( Е + Р [Рг) = |
0. |
(3.7.9) |
Далее, умножая равенство (3.7.8) справа на Рх>а слева на Р2, по лучим
Р2РХ( Е + Я2Я,) = 0. |
(3.7Л0) |
Складывая (3.7.9) и (3.7.10) и учитывая (3.7.8), будем иметь
(Р1Рг)г + ( Р гРдг = 0- |
(3.7.11) |
Из двух равенств (3.7.8) и (3.7.11) находим
(PXP2)2+ (Я,Я2)2 = 2(Я,Я2)2 = 0.
Отсюда (РХР2)2 = 0, а из (3.7.11) тогда и {Р2Рх)г = 0. На осно
вании последних двух соотношений из (3.7.9) и (3.7.10) получаем РХР2 = Я2ЯА= 0. Лемма доказана. ■
Проекционную матрицу Р порядка п ранга г, как и всякую пря моугольную или квадратную матрицу, можно разложить на множи тели: Р = КМ, где К и М — матрицы ранга г и с размерами
йХ г и г х п соответсвенно.
Ле м м а 3.7.2. Пусть Рх и Р2 — проекционные матрицы по
рядка п и рангов гх и г2 соответственно и
РХ= К,МХ |
Р2= К 2М2, |
|
||
где Кх, М х, Кг, М2 — матрицы |
размеров п х г х, гхХп, п х г 2, |
|||
г2х п соответственно. Тогда, если Я,Я2 — Я2Я, = 0, то |
|
|||
ЕГ)» |
J =*\ |
(3.7.12) |
||
MiKJ = \ 0 , |
/ 9* £ |
(*•,/ = 1,2). |
||
|
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Р, — проекционная матрица, то
= К{М {. |
(3.7.13) |
Отсюда следует, что ранг квадратной матрицы Му |
порядка г, ра |
вен рангу матрицы KXM V т.е. rv Умножим (3.7.13) |
справа на |
и, учитывая, что М1К1 — невырожденная матрица, получим
КуМуКу = Kv или - Ег ) = 0.
Ранг матрицы М.I Кд, — Егг] , который мы обозначим через г', ра-
вен нулю. В самом деле, используя неравенства Сильвестра, полу чим
г, 4- г' —гх 0.
Отсюда г' = 0, и, значит, МХКХ— Ег . Тем же путем можно пока зать, что М2К2 = Ег .
Докажем теперь второе соотношение (3.7.12). По условию лем мы имеем, например,
КХМ ХК2М2= 0.
Ранг матрицы М1К2М2 размера r t х л обозначим через г" Соглас но неравенствам Сильвестра
г{ + г" — г{ < 0.
Значит, г" = 0, и, следовательно, МуК2М2 = 0. Обозначив через г’" ранг матрицы М{К2, будем иметь
г“' + г2— г2^ 0.
Отсюда г ' " = 0 , и поэтому М{К2= 0. Точно так же М2КХ= 0. Лемма доказана. ■
Л ем м а 3.7.3. Пусть Ру и Р2 — проекционные матрицы поряд ка п и рангов г,, г2 соответственно и
РуР2 ~ 1*2^1 =
Тогда матрица Р — Ру + Р2 является проекционной и ее ранг равен г = гj 4- г2.
Д о к а з а т е л ь с т в о . То, что Р есть проекционная матрица, не посредственно следует из леммы 3.7.1, так что остается показать, что ранг матрицы Р равен г = гу+ г2. Матрицы Р, и Р2 разложим
на множители:
Ру = КуМу, Р2= K2MV
где Kv М { — матрицы ранга г{ и размеров п х г, и г{ х п соответ ственно, К2>М2 — матрицы ранга г2 и размеров и х г2 и г2х п со ответственно. Матрица
Р = Ру + Р2= КуМх+ К2М2= КМ , |
(3.7.14) |
||
где |
|
( М у \ |
|
К=(Ку, К2)у |
М = |
|
|
Мо |
|
||
Матрицы К и М размеров л х г ' |
и г ' х п (г' = |
+ г2) соответ |
|
ственно имеют ранг, равный г'. Действительно, учитывая (3.7.12), имеем
'мл |
|
/ X |
0 |
\ |
МК = |
(Ку К2) = |
О |
Е. |
= ЕГ'* |
ч |
|
|
|
|
Отсюда видно, что ранг произведения М К равен г'. Но ранг сомно жителей не меньше, чем ранг произведения, и поскольку ранг матри цы М и К не может быть и больше г', их ранг в точности равен г'. Ос тается к произведению К М применить неравенства Сильвестра:
г' + г' — г < г', г'.
Отсюда г = г' = Гу + г2. Лемма доказана. ■ С л е д с т в и е . Пусть Рр Р2, ..., Рр — проекционные матрицы
рангов гр г2, ..., гр соответственно и
|
Р{Рj —0 |
( i ^ / ; i, j = 1, 2, ..., р). |
|
р |
|
|
р |
Тогда Р = ^ |
Р 3- является проекционной матрицей ранга г = ^ /у |
||
У- i |
|
|
У-» |
Л е м м а |
3.7.4. Пусть Рр Р^, ..., Рр — проекционные матрицы |
||
порядка п, рангов Гр г2, ..., гр соответственно и такие, что |
|||
а) PtP} = 0 |
(i'=*y; |
I, / = 1 , 2 , ..., р)\ |
|
б ) Г у + |
г |
2 +- \гр- = Л. |
|
Тогда Р = Ру •¥ Р2 -\-... + Рр = 7?п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Матрица Р является проекционной мат рицей ранга п. Разложим Р на множители:
Р = К М . |
(3.7.15) |
Здесь К, М — невырожденные квадратные матрицы порядка п. Ум ножая равенство (3.7.15) справа на К и учитывая, что М К — Еп
(см. (3.7.12)), получим
( Р - Еп)К = 0.
Отсюда, так как К — невырожденная матрица, Р — Еп, Лемма до казана. ■
Л е м м а 3.7.5. Пусть Яр Р2, ..., Рр — проекционные матрицы порядка п, удовлетворяющие соотношениям
а) Р, + Р2 + ... + Рр = Е„,
и А — некоторая квадратная матрица такая, что
б ) P j A = 0 ( / = 1 , 2 , . . . , р ) .
Тогда А — 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о , Оно следует из цепочки равенств
|
|
А = Е А = (Я, + Я2 + ... + Рр)А = 0. ■ |
|
Л ем м а |
3.7.6. Пусть Я,, Я2, ..., |
Рр — квадратные матрицы |
|
порядка п, удовлетворяющие равенствам |
|||
а) |
p i p j |
= 0 (г, /'= 1, 2,.... р; |
i * j ) , |
б) |
Р, + Рг + ... + Рр = Е„. |
|
|
Тогда Яр Я2, ..., Рр — проекционные матрицы.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая равенство (б) на Яр получаем
Р] = Я., что доказывает лемму. ■ Л е м м а 3.7.7. Пусть Рр Р7, ...» Рр — операторы, удовлетво
ряющие условиям |
|
а) Р/Ру = 0 ( / * / ) , |
б) Р 1+ Р2 + . . . + Р р = Е, |
где 0 и Е — соответственно нулевой и единичный операторы. Тогда Р р Р 2, ...,Р — проекционные операторы, расщепляющие
пространство R на подпространства Rp R2, ..., Rp (Ry= P.R), m.e.
R = Rj + R2 + ... + Rp.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Так же как и в предыдущей лемме, после умножения равенства (б) на Р, убеждаемся в том, что операторы
Р; (i = 1, 2, ..., р) |
— проекционные. Далее, из условия (б) полу |
|
чаем |
|
|
х = |
х, + х2 + ... + хр |
(х,. = Р(.х). |
Если |
х G Rp то или х ё R. (г ^ /), или х = 0. В самом деле, допу |
||
ская, |
что x G R f |
и х е Rj , будем |
иметь Р.х = Р .х. Но тогда |
Р?х = Р,х = Р/РуХ |
= 0 и. значит, х = |
0. Лемма доказана. ■ |
|
РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА НА ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ
§ 4.1. Минимальные многочлены вектора, векторного пространства, матрицы
Рассмотрим «-мерное векторное пространство R над числовым полем X и линейные операторы в нем. Если А — линейный опе
ратор в R, то АА = А2, ААА = А3, ...» А...А = А'" — тоже линей ные операторы в R. Будем считать, что нулевая степень любого ли нейного оператора в R равна единичному оператору Е: А0 = Е. Многочлен
/(А.) = aQXm+ а,Хт-1 + ... + ат_ (Х4* ат ,
где а- е Ж , после замены в нем скалярного аргумента линейным
оператором А тоже представляет собой некоторый линейный опера тор, а именно:
/(А) = а0Ат + а, А™ " 1+ ... 4- ат _ jA 4- ат Е.
З а м е ч а н и е 4.1.1. Пусть /(X) и g(X) — два многочлена отно сительно скалярного аргумента с коэффициентами из поля 5f. Тог да в силу того, что для любых целых неотрицательных р и q (а в случае невырожденного оператора для любых целых р и q)
А'А*» = АР + * = А«А*,
имеем
/(A)g(A) = #(А)/(А),
т.е. любые два многочлена с коэффициентами из поля 5? относи тельно одного и того же линейного оператора коммутативны. ■
Многочлен скалярного аргумента X со старшим коэффициентом, равным единице,
«р(Х) = Х^ + 0]ХЧ_ 1+ ... 4- ciq- jX 4* aq, |
а,, а2, . aq €Е |
называется аннулирующим многочленом вектора х, если
<р(А)х = 0.
Аннулирующий многочлен вектора х наименьшей степени называ ется минимальным аннулирующим многочленом вектора х или просто минимальным многочленом вектора х.
Допустим, что степень минимального многочлена вектора равна р, т.е.
<р(Х) = Хр + |
ctjXp“ 1+ ... + ар_ ,Х + ар. |
Тогда |
|
А^х + а {А р |
1х + + а р_ , Ах + а рх = 0. |
Отсюда вытекает, что векторы х, Ах, ..., Арх линейно зависимы. В
то же время векторы х, Ах,..., Ар~ 1х линейно независимы, так как нет многочлена степени р — 1, который был бы для вектора х аннулирующим.
Если степень минимального многочлена равна р, а тр(Х) — мно гочлен степени меньше, чем р, то из
гр(А)х = 0 |
(4.1.1) |
следует -ф(А) = 0. Действительно, если допустить, что ^(Х) ^ 0, то согласно (4.1.1) Ц>(Х) — аннулирующий многочлен для х, что не возможно, так как степень минимального аннулирующего много члена вектора больше, чем степень многочлена "ф(Х).
Каждому вектору х отвечает только один минимальный много член. В самом деле, пусть
<f>(X) = V’ + |
a,V,- , + |
+ ap |
и <f>(X) = A/’ + |
|31V’- 1+ ... + (Зр |
— два минимальных многочлена вектора х, |
т.е. ф(А)х = 0, |
|||
<р(А)х = 0. |
Тогда |
|
|
|
|
|
[ <р(А) - |
ф(А)] х = 0. |
(4.1.2) |
Но степень многочлена <р(Х) —<р(Х) во всяком случае меньше, чем р, поэтому в силу равенства (4.1.2)
<р(Х) - т(Х) - о
и, значит, а; = |
(£=1,2, ..., р). |
Пусть «р(Х) — произвольный аннулирующий многочлен вектора х, а <р(Х) — его минимальный многочлен. Тогда <р(Х) нацело де лится на <р(Х). Действительно, степень <р(Х) не меньше, чем сте пень »р(Х). Разделив <р(Х) на <р(Х), получим
<р(Х) = <р(Х)х(Х) + г(Х), |
(4.1.3) |
где г(А.) — остаток от деления. Из (4.1.3) находим г(А)х = 0. От сюда г(Х) = 0, так как степень многочлена г(Х) меньше, чем сте пень минимального многочлена «р(Х).
Многочлен гр(Л.), который является аннулирующим для любого
вектора х из R, называется аннулирующим многочленом простран ства R.
Пусть Г = (е, е2 ен) — базис пространства R, а <р(Х) — аннулирующий многочлен пространства R:
|
<J5(A)x = 0 |
(V xeR ). |
(4.1.4) |
|
В силу |
(4.1.4) |
|
|
|
|
Ш ) е ( = 0 |
(/= 1 ,2 ,..., |
п). |
(4.1.5) |
Пусть |
<Pi(A.), —, 4pf|(X.) — минимальные |
многочлены |
векторов |
|
ер .... ея. Из (4.1.5) следует, что tp(X) делится без остатка на наи
меньшее общее кратное многочленов |
Это наименьшее об |
||
щее кратное обозначим через гр(Х). Тогда |
|
|
|
•ф(А)ег- = 0 |
( /= 1 ,2 ,..., |
и) |
(4.1.6) |
и, следовательно,
яр(А)х = ip(A)£fx = (гр(А)е1... ip(A)e4)x = 0.
Таким образом, яр(Х) является аннулирующим многочленом пространства R. Из всех многочленов с равными единице старшими коэффициентами, удовлетворяющих соотношениям (4.1.6), ^(Х) является многочленом наименьшей степени. Этот многочлен назы вается минимальным многочленом пространства R.
Заданием линейного оператора минимальный многочлен про странства определяется единственным образом. Из единственности минимального многочлена всего пространства следует, что он не за висит от выбора базиса. Минимальный многочлен пространства R, яв ляясь аннулирующим многочленом для любого вектора из R, делится на минимальный многочлен любого вектора х е R без остатка.
Пусть Г = (ej е2 |
еп) — базис, а |
|
г|>(Х) = |
Хр + а,Хр-1 + ... + ар-1Х 4- ар |
|
— аннулирующий |
многочлен пространства R, т.е. для |
любого |
х е к |
|
|
|
•ф(А)х = 0. |
(4.1.7) |
Имеем (см. (3.1.2)) |
|
|
|
АГ = ГА, |
(4.1.8) |
где А — квадратная матрица, отвечающая оператору А в базисе Ш, Из (4.1.8) находим
А2Г = А%А = &А2,
и, вообще, Ак£ = &Ак, Вследствие этого ц>(А)1? = 8’т|>(Л), и из ра
венства (4.1.7) получаем |
|
Г-ф(А)х = 0. |
|
Отсюда, так как векторы е,, е2,..., еп линейно |
независимы, |
\р(А)х = 0, и, поскольку х — произвольный вектор из R, то |
|
£ty(A) = 0. |
(4.1.9) |
Многочлен тр(Х) называется аннулирующим многочленом мат рицы А, если выполняется равенство (4.1.9).
Как видим, аннулирующий многочлен пространства R, в кото ром введен линейный оператор А, является аннулирующим много членом матрицы, отвечающей этому оператору. Минимальный ан нулирующий многочлен пространства R является минимальным аннулирующим многочленом матрицы, отвечающей линейному оператору А.
§ 4.2. Инвариантные подпространства векторного пространства
Подпространство R, пространства R называется инвариантным относительно линейного оператора А, если ARj С R,, т.е. Ах Е R, (Vx Е R,).
Если R1 — инвариантное относительно А подпространство, то
оно |
будет инвариантным и относительно оператора /(А ), |
где |
/(X) |
— любой многочлен. Действительно, из х € R, и Ах Е |
сле |
дует, что А ^ Е R,, и вообще А*х £ R, и, значит, /(А )х Е Rx для
любого многочлена /(X) с коэффициентами из поля ЛГ. В частно сти, подпространство, инвариантное относительно оператора А, ин
вариантно |
и |
относительно оператора А — Х£. |
Для оператора |
А — Х£ имеет |
место и обратное утверждение, |
а именно, если |
|
х Е R, и (А — Х£)х £ Rj, то |
|
||
|
|
Ах = (А — \Е )х + Хх Е Rj. |
|
Л ем м а |
4.2.1. Пусть I — подпространство пространства R |
||
и Р — проекционный оператор, осуществляющий проецирование R на I, т.е. PR = I. Для того, чтобы подпространство I было ин
Л е м м а 4,2,2, Пусть пространство R расщепляется на два под пространства It и I2:R = Ij + 12, причем It — подпространство, ин вариантное относительно линейного оператора А. Для того что бы дополнительное подпространство 12 было также инвариантным относительно оператора А, необходимо и достаточно, чтобы
АР,Х = PjAx (VxER),
где Р, — оператор, осуществляющий проектирование простран ства R на подпространство I, параллельно подпространству 12.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н ео б х о д и м о с ть . |
Пусть 12 — также |
инвариантное подпространство, так что (согласно лемме 4.2.1) |
|
АР2х2 ” Р2Ах2 (х2 Е 12), |
(4.2.4) |
где Р2 — проекционный оператор, осуществляющий проектирова ние R на 12 параллельно подпространству It. Имеем
Р2х = (Е — Рх)х (х Е R).
Для произвольного вектора х = х, + х2 из R |
(х, Е 1() |
А Р ^ = АР:х, + APJX2 = АР1х1= PjAx, |
= Р, Ах — Р,Ах2. |
Но, учитывая (4.2.4), имеем
Р1Ах2 = (Е—Р2)Ах2 = Ах2—Р2Ах2 = Ах2—АР2х2 — Ах2—Ах2 = 0.
Поэтому АРхх = РхАх |
(х Е R). |
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть АРАх = PjАх (VxER); тогда |
А(Е - Р2)х = (Е - Р2)Ах.
Отсюда АР2х = Р2Ах (х Е R), и подавно
АР2х = Р2Ах (х Е 12).
Поэтому, в соответствии с леммой 4.2.1, подпространство Т2 инва риантно относительно оператора А. ■
$ 4.3. Расщепление векторного пространства на инвариантные подпространства
с взаимно простыми минимальными многочленами
Т е о р е м а 4.3.1. Пусть минимальный многочлен 'ф(Х) про странства R представляется в поле Ж в виде произведения двух взаимно простых многочленов (со старшими коэффициентами, равными единице):
4»(*) = 4>|(*)Ч>2(*).