книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

— биномиальные коэффициенты. Сложив равенства (5.1.3), умно­

+ a,(m — l)(m — 2)...(m — yOXj1-1*-1 + ... + ат -цИ-(М-— 1)... IX5,

или

С учетом (5.1.5) равенство (5.1.4) принимает вид

Ti~i /Wn )

f(JJ)^J(\i)Er +2

Обозначим через vy. кратность Ху как корня многочлена /(X) (в частности, может быть vy-= 0). Тогда

Поэтому дефект матрицы /(/у) (см. (5.1.6)) равен vy, если Vy ? гу., и равен гу., если vy.> г.. Итак,

dj = min (Vy, гу.),

и, принимая во внимание (5.1.2), приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 5.1.1. Дефект матричного многочлена f(A), где

А — матрица с элементарными делителями

( Х - Х ^ , (Х - Х 2) Ч ... , (Х - Х 5Г.,

определяется формулой

(Здесь Vy — кратность Ху как корня /(X).)

§ 5.2. Теорема Гамильтона—Кэли

Пусть А(Х) — характеристический многочлен матрицы И по­ рядка п. Кратность vy. корня Ху характеристического многочлена не

меньше, чем степень любого элементарного делителя матрицы А вида (X — Ху)г/. Учитывая это, согласно (5.1.7) будем иметь

/=1

Но сумма степеней элементарных делителей квадратной матрицы порядка п равна п. Поэтому d = л, а это означает, что А(Л) — ну­ левая матрица, т.е.

Т е о р е м а Гам ил ь то н а — Кэли. Всякая квадратная мат­ рица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Эта теорема непосредственно следует и из соотношения (4.7.3). В самом деле, характеристический многочлен Д(Х) оператора А в R , которому в некотором базисе отвечает рассматриваемая матрица А, содержит в качестве множителя минимальный многочлен всего пространства -ф,(Х). Поэтому из равенства ^ ( ^ = 0 немедленно

вытекает равенство Д(Л) = 0 и, значит, — равенство (5.2.1)..

кратность kj). Поэтому дефект матрицы Аа(1/) равен сумме

степеней элементарных делителей, соответствующих всем собст­ венным значениям, не включенным в группу сг, или, учитывая, что сумма элементарных делителей, соответствующих данному kj, равна кратности kj как собственного значения матрицы U, получим, что дефект матрицы Aa(U) равен п — ка. Отсюда ранг матрицы А„(£/) в точности равняется ка — числу собственных

значений матрицы U (с учетом их кратностей), включенных в группу о.

При возведении матрицы Aa(U) в целую степень ненулевые числа Vj увеличиваются, в то время как все гуостаются без

изменения. Поэтому ранг любой целой степени этой матрицы также равен ка.

Матрицу Aa(U) как матрицу ранга ка можно представить в виде произведения матрицы Ка (типа п х ка с ка линейно независимыми столбцами) на матрицу М0а (типа ка х п с к0 линейно независимы­

Поскольку ранг матрицы AJ(t/) равен ка, то из равенства

Дl(U) =

следует, что квадратная матрица М0аКа порядка ка является невы­

рожденной матрицей.

Введем в рассмотрение матрицу

Матрицы Ка и М s (or, s = 1, ..., р) связаны следующими соотно­ шениями:

Первое из этих равенств сразу получается умножением (5.3.4) справа на Кд. Для доказательства второго равенства заметим, что

так как из произведения AaAs при а Ф s можно выделить множитель

рk»

П П ( U - \ y E n) = A ( U j , v » l у - 1

построенная матрица К преобразует матрицу U к квазидиагональному виду А.

§ 5.4. Собственные значения субматрицы преобразованной квазидиагональной матрицы

Матрицы U и А, как подобные матрицы, имеют одни и те же собственные значения. Покажем, что собственные значения субмат­ рицы Аа матрицы А суть собственные значения матрицы U, вклю­

ченные в группу а.

Пусть Xj — собственные значения матрицы Аа. Тогда А0 — XjEk — вырожденная матрица. Предположим, что Ху. не при­ надлежит группе о. Тогда U — XjEn является множителем Д0(Г/). Имея в виду, что, как нетрудно проверить с помощью равенств

представим матрицу МаАдКа в виде

МаАаКа = MoKaM0sKo = M0gKa,

причем, как было показано в § 5.3, М0 Ка — невырожденная мат-

о

рица. Полученное противоречие доказывает, что любое собственное значение матрицы Ла есть собственное значение матрицы U, вклю­

ченное в группу а.

Пусть теперь Xj — собственное значение матрицы Г/, включенное в группу а. Предположим, что Xj не является собственным значением матрицы Л0. Тогда Xj должно быть собственным значением хотя бы одной из остальных матриц (г = 1, ..., р; i Фа). Пусть это будет

т.е. Ка представляется как произведение матрицы Ка на матрицу

к = М ьЛоФ с, К г '

О

типа ках ка.

Остается доказать, что N — невырожденная матрица. Для этого достаточно показать, что М0аК — невырожденная матрица. Что это так, видно из равенства

Aa(U)Aa(U) = KQM0aKaM0a.

J левой части этого равенства стоит матрица ранга кф поэтому

ранг каждого сомножителя в правой части не может быть меньше, чем ка. В частности, не меньше, чем ка, ранг матрицы М0аКи, а

так как ее порядок равен ka, то ранг этой матрицы в точности ра­ вен ка.

Теперь о М0а — втором сомножителе в разложении матрицы Д0((/). Если Ка = KaNa, то, как было отмечено выше, матрица

N ^lM0a удовлетворяет условиям разложения матрицы A„(£/) (см.

(5.5.3)). Покажем, что это единственная матрица, удовлетворяю­ щая соотношению (5.5.3) при выбранном первом сомножителе Ка.

Действительно, пусть Д„(С0 = КоМ0с и Д„(£/) = КаМ%,.

Вычитая из первого равенства второе, получим

к а(М0а- М ° 0а) = 0.

Отсюда, учитывая, что Кд есть матрица с ка линейно независимы­ ми столбцами, имеем М0а = М%а.

Итак, выражения (5.5.2) определяют общий вид сомножителей матрицы Aa(U) в разложении (5.3.3). Выясним далее, в каком со­

отношении находятся матрицы

Мо = (М0аКа) - 'М 0а и Мд = (М0аКа)~1М0а.

Подставляя в правую-часть второго равенства соотношения (5.5.2) и сравнивая с первым равенством, находим Ма = N~iMa. Наконец, сравнение друг с другом матриц Л0 = MaUKa и А0 = MaUKa даст

Л, =

Таким образом, матрицы KaNa, N^lMa, ^ 1Л0ЛГ0, где Ка, Мф Аа — какая-нибудь тройка матриц, удовлетворяющая соотношени-

ям (5.3.3), (5.3.4), (5.3.8), a Na — произвольная невырожденная матрица порядка ка, можно рассматривать как общий вид отвеча­ ющих группе а собственных значений матрицы U блоков преобра­ зующей матрицы, матрицы, обратной преобразующей, и соответст­ вующей квазидиагональной матрицы.

В соответствии с вышеизложенным множество всех матриц, преобразующих квадратную матрицу к квазидиагональному виду при данном разбиении собственных значений матрицы U на неко­

торое число р групп, исчерпывается выражением К = KN, где К — какая-нибудь матрица, приводящая U к квазидиагональному виду А, а N — квазидиагональная матрица, у которой j -я диагональная клетка (/ = 1, 2 ,..., р) занята произвольной невырожденной мат­ рицей того же порядка, что и /-й диагональный блок матрицы А.

§ 5.6. Построение жордановой формы матрицы

Вопрос о построении жордановой матрицы, подобной данной, и соответствующей преобразующей матрицы может быть решен раз­ личными путями. Мы здесь приводим один простой способ решения этих задач, в котором используется алгоритм преобразования мат­ рицы к квазидиагональному виду, изложенный в предшествующих параграфах.

Пусть дана квадратная матрица U порядка п. Собственные значения этой матрицы, которые предполагаются известными, разобьем на группы в соответствии с условием (5.3.1) при дополнительном требовании, чтобы в каждую группу были включены только равные между собой собственные значения. Итак, если U имеет р различных собственных значений X,, Х2, ..., Хр, то при указанном разбиении собственных значений

на группы будем иметь р групп, причем в первой группе окажутся, например, все собственные значения матрицы £/, равные X,, во второй группе — все собственные значения,

совпадающие с Х2, и т.д. Как и прежде, число собственных значений, включенных в группу а, будем обозначать через ка.

Рассмотрим какую-нибудь группу, например, группу s, объеди­ няющую ks равных собственных значений матрицы U. Этой группе

в жордановой форме матрицы будет отвечать одна или несколько клеток Жордана, сумма порядков которых равна ks. Для построе­

ния жордановой формы матрицы нужно знать, сколько клеток Жордана отвечают данной группе, и порядок этих клеток. Ответ на указанные вопросы может быть получен с помощью теоремы, кото­ рая приводится ниже.