книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Строчная матрица 9 набрана из линейно независимых векторов gj, g2, ...» gm. Поэтому из (2.6.7) вытекает равенство

Таким образом, линейному оператору А при выбранных базисах в R и S отвечает некоторая матрица А, которая является матрицей

линейного преобразования координат исходного вектора х в коор­ динаты преобразованного вектора у = Ах. И обратно, т х л-матри- ца А при выбранных базисах Ши & соответственно в «-мерном про­ странстве R и /«-мерном пространстве S представляет некоторый оператор А, который каждому вектору х = &х е R соотносит неко­ торый вектор у = Ах = S y G S. Связь оператора А с соответствую­ щей матрицей А при выбранных базисах £ и & в пространствах R и S представляется равенствами (2.6.6), которые можно более ком­ пактно записать в виде

Пусть оператору А в базисах & и & в пространствах R и S от­ вечает матрица А. Выясним, как изменится матрица оператора А при изменении базисов. Наряду с % и & рассмотрим новые базисы и в R и S соответственно, связанные со старыми базисами

соотношениями

(2.6. 10)

Здесь Т и N — невырожденные матрицы порядков соответственно п и т . Пусть в базисах 8? и & оператору А отвечает матрица А , а в базисах %х и & х — матрица Av так что

Таким образом, один и тот же линейный оператор А, отобража­ ющий R в S, в зависимости от выбора базисов в R и S представля­ ется разными матрицами, общий вид которых дается формулой

(2.6.12).

§ 2.7. Матрица как линейный оператор в численных пространствах

Пусть А — оператор, который каждому вектору х из л-мернош векторного пространства R соотносит вектор у из m-мерного век­ торного пространства S:

Число линейно независимых векторов z, определенных равенст­ вом (2.8.1) или (2.8.6), равно, как указывалось выше, гс.

В подпространстве BR, размерность которого равна гв , имеются dx линейно независимых решений уравнения (2.8.3). Значит, в этом подпространстве имеются гв — <1Хлинейно независимых век­

торов, которые уже не являются решениями уравнения (2.8.3). Эти векторы образуют некоторое подпространство S{ размерности

гв — d {. Учитывая это, всю совокупность векторов z, удовлетворя­

пространства Т. Векторы (2.8.7) линейно независимы. В самом де­ ле, допуская их линейную зависимость, будем иметь

начало бы, что векторы у,, у2, ..., у{ линейно зависимы), но тогда

равенство (2.8.8) противоречит тому условию, что векторы подпро­ странства £, не являются решениями уравнения (2.8.3). Значит,

(гс > /). Поэтому имеются такие числа а,, а2, .... аг^ , не все рав-

ные нулю, что

Но тогда

alzl 4* a2z2 + ... + arczrc =

что означает линейную зависимость векторов zp z2, ..., zr . Остает-

*г>

С

ся одна возможность, а именно:

Объединяя неравенства (2.8.2), (2.8.10) и (2.8.11), получаем нера­ венства Сильвестра

( 2.8. 12)

определяющие соотношение между рангами матриц А и В с разме­ рами <7 х и и л х т соответственно и рангом их произведения А В.

С л е д с т в и е . При умножении матрицы ранга г в любом порядке на неособенную матрицу ранг произведения остается равным г.

Пусть А — неособенная матрица порядка л, а В — матрица размеров п х т и ранга г (г ^ т> п). Применяя неравенства Силь­ вестра к произведению С = АВ, получим

Г + П — П < Гс «а Г , Л .

Отсюда гс — г.

Точно так же, если А — неособенная матрица порядка т , то для произведения С = ВА будем иметь

т + г — т ^ гс ^ г, т.

Отсюда снова гс = г.

§ 2.9. Разложение матрицы на прямоугольные множители

Пусть дана прямоугольная матрица с размерами т х л, т.е. мат­ рица вида С = (с, с2 сп), где ct — столбцовые матрицы-векто­

ры /л-мерного численного пространства R. Пусть ранг матрицы С равен г.

Столбцы матрицы С порождают г-мерное подпространство R{про­ странства R. Выберем произвольную систему г линейно независимых

векторов а1Уаъ ..., аг е и составим матрицу А — (ах а2 яг), имеющую размеры тХг .

Для любой, таким образом построенной матрицы А, существует такая прямоугольная матрица В размеров г х п и ранга г, что

Разложение(2.9.1) принято называть скелетнымразложением прямоугольной матрицы. Для существования соотношения (2.9.1) необходимо, чтобы столбцы матрицы В = (At Ъг Ьп) удовлетво­ ряли уравнениям

г + гв - г §**г^г, гв.

Отсюда гв — г.

§2.10. Задачи и упражнения

1.Найти координаты многочлена

/(дс)= а0+ а 1д:+ а2х2 + ... + а лхя

3.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: а) поме­ нять местами два вектора первого базиса? б) поменять местами два вектора второго базиса? в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

4.Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного про­ странства.

5.Доказать, что все n-мерные векторы, у которых первая и последняя коорди­

наты одинаковы, образуют линейное подпространств^; найти размерность и базис этого подпространства.

6. Доказать, что все квадратные матрицы порядка п с вещественными элементами (или элементами из любого поля Р) образуют векторное пространство над полем веще­ ственных чисел (соответственно над полем Р), если за операции взять сложение и ум­ ножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

7. Доказать, что следующие множества являются линейными пространствами по указанным операциям сложения и умножения.

1) Поле: вещественные числа; множество: вещественные числа. С л о ж е н и е : сложение вещественных чисел. У м н о ж е н и е на число: умножение веществен­ ного числа на вещественное число.

2) Поле: рациональные числа; множество: вещественные числа. С л о ж е н и е : сложение вещественных чисел. У м н о ж е н и е на число: умножение веществен­ ного числа на рациональное число.

3) Поле: любое число; множество: один вектор. С л о ж е н и е : определяется ра­ венством а + а —а. У м н о ж е н и е на число: умножение вектора а на любое чис­ ло а определяется правилом а а = а .

4) Поле: вещественные числа; множество: многочлены с действительными ко­ эффициентами от одной переменной, в том числе константы. С л о ж е н и е : сложе­ ние многочленов. У м н о ж е н и е на число: умножение многочлена на вещест­

венными коэффициентами (или с коэффициентами от любого поля Р) образуют век­ торное пространство, если за операции взять обычные правила сложения многочленов и умножения многочлена на число. Определить базис и размерность этого про­ странства.

9. Доказать, что все симметрические матрицы образуют линейное подпростран­ ство пространства всех квадратных матриц порядка п. Найти базис и размерность этого подпространства.

10. Доказать, что кососимметрические матрицы образуют линейное подпростран­ ство пространства всех квадратных матриц порядка п. Найти базис и размерность этого

подпространства. (Матрица А называется кососимметрической, если АТ— —А.)

11. Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства L про­ странства Rп, если L задано уравнением х х + х 2+ • • • + х п=0 .

12.Доказать, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов линейно независима.

13.Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств про­

странства Rn на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение — с другим.

14. Бели произведение матриц АВ определено, то доказать

rank {АВ) <min {rank А , rank В}.

15. Пусть А — неособенная матрица, произведения АВ и СА определены. До­ казать, что

rank (АВ) = rank В; rank (СД) =rank С.

16. Пусть сумма матриц А + В определена. Доказать, что

rank (А+ В) * rank А + rank В.

17. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени <п от одного неизвестного с вещественными коэффициентами. 'Найти матрицу этого преобразования в базисе

19. Доказать, что матрицы одного и того же линейного преобразования в двух базисах тогда и только тогда совпадают, когда матрица перехода от одного из этих базисов к другому перестановочна с матрицей этого линейного преобразования в од­ ном из этих базисов.