книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfгде Е — единичная матрица. С другой стороны, принимая во вни мание (6.3.9) и (6.3.10), имеем
uirg5- иши*= a w , |
= и*Г£/ = $и'и. |
Следовательно, |
|
UU' = U'U = Е. |
(6.3.11) |
Матрица V , обладающая свойством(6.3.11), называется уни тарной матрицей. Таким образом, унитарному оператору в ортонормированном базисе отвечает унитарная матрица.
Пусть U — унитарный оператор в R, а £Г = (е,,е2, |
еи) — |
|
ортонормированный базис в R. Оператор U переводит систему век |
||
торов ер е2, ..., е;1 в новую систему |
g,, g2, .... g„, так |
что если |
& = (gp g2. —. g„)> то |
|
|
& = |
|
(6.3.12) |
Принимая во внимание (6.3.9), из (6.3.12) находим |
|
|
= |
|
(6.3.13) |
В силу ортонормированности базиса |
= Е. Учитывая также |
|
и соотношение U*U = Е, получаем |
= Е. Значит, унитарный |
|
оператор переводит ортонормированный базис снова в ортонор мированный базис. Из (6.3.13) видно, что справедливо и обрат ное утверждение: оператор, переводящий ортонормированный базис & = Е) в ортонормированный базис 2? (S?x8? = Е), унитарен: £/*£/=£.
Итак, для того чтобы оператор U был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный базис.
Так как матрица унитарного оператора в ортонормированном ба зисе является унитарной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совершается унитарным преоб разованием, то матрица перехода от одного ортонормированного ба зиса к другому ортонормированному базису является унитарной.
З а м е ч а н и е 6.3.1. Пусть W и & — заданные ортонормированные базисы. Тогда матрица перехода от базиса I? к базису 2? в со ответствии с равенством 2? — 2>U определяется формулой
( (8р ец |
(В„> в|) \ |
U = |
(6.3.14) |
tei. е„) |
(&п’ |
6.3.4. Преобразование эрмитовой матрицы к диагональному виду с помощью унитарной матрицы. Рассмотрим эрмитову мат рицу Н порядка л. Будем рассматривать Н как матрицу эрмитова
оператора Н в ортонормированном базисе 2? — (g, g2 ... g„) л-мер- нога унитарного пространства R, так что
|
|
Н ^ = ^Я . |
(6.3.15) |
В |
пространстве R существует ортонормированный |
базис |
|
= |
(ер е2, |
еи), в котором матрица оператора Н диагональна и |
|
вещественна (см. п. 6.3.2). Обозначим эту матрицу через А. Тогда
НГ = ГА. |
(6.3.16) |
Далее, существует унитарная матрица U, которая преобразует ортонормированный базис £ в ортонормированный базис &\
& = |
(6.3.17) |
Подставляя (6.3.17) в (6.3.15), получаем Н& = %UHU~{. Отсюда, сравнивая с (6.3.16), находим А = UHU~Xили А = UHU*, так как в силу унитарности матрицы U имеем U* = U~1. Разрешая полу ченные соотношения относительно матрицы Я, имеем
Н = U~ [A if = U*A(J.
§6.4. Линейные операторы в евклидовом пространстве
6.4.1.Транспонированный оператор. Симметрический опе ратор. Рассмотрим л-мерное евклидово пространство R и линейный
оператор А в нем. Оператор Ат называется транспонированным по
отношению к А, если |
(Ах, у) = (х, Ату) для любых векторов х и |
у из R. |
|
Аналогично тому, |
как это было сделано в п. 6.3.1. для сопря |
женного оператора, устанавливается существование и единствен ность транспонированного оператора Ат. Если е,, е2, ..., е„ — орто
гональный базис, то транспонированный оператор можно опреде лить формулой (см. (3.3))
Ату = £ (у, Ае*)е*, * =i
где у — произвольный вектор из R. Далее, в ортонормированном
базисе транспонированным операторам А и Ат отвечают транспони рованные матрицы Л и А'. Заметим, что матрица линейного опера тора в евклидовом пространстве вещественна. Линейный оператор А называется симметрическим, если Ат = А.
Исследуем свойства собственных векторов и собственных значе ний симметрического оператора А. При исследовании свойств соб ственных векторов и собственных значений эрмитова оператора в п. 6.3.2 была использована лемма 6.3.1. В случае векторного про странства над полем вещественных чисел, вообще говоря, нельзя утверждать, что любой линейный оператор в соответствующем ин вариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный век тор. Однако в отношении симметрического оператора в евклидовом пространстве такое утверждение справедливо. Докажем это.
Л е м м а 6.4.1. Пусть А — симметрический оператор в евкли довом пространстве R, а I — инвариантное подпространство пространства R. Тогда оператор А имеет в подпространстве хо тя бы один собственный вектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть размерность подпространства I рав на k, а & = (£j g2 ... £„) — ортонормированный базис этого под пространства. Произвольный вектор х из I представляется в виде
х = *,g, 4" *282 4” ••• 4" xkgk.
Так как I — инвариантное подпространство, то Ag^ 6 1, и поэтому
Ag, = clfg, 4“ ^2/82 4“ • ••■ 4" Cjfc/gjt |
(* ~ |
I*2, *• •» X). |
(6.4.1) |
|||
Учитывая это, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
А |
|
|
|
|
Ах = 2 |
xtcji |
g;* |
|
|
|
|
|
}=1Vi—1 |
|
|
|
|
Условие того, что х является собственным вектором оператора, |
||||||
отвечающим собственному значению X |
(Ах = Хх), приводит к од |
|||||
нородной системе алгебраических уравнений |
|
|
||||
CH^L4 -cJ2x2 4- |
4- clkxk = Ххр |
|
||||
c2i*i 4~ с22х24" |
4" с2кхк — Хх2, |
(6.4.2) |
||||
ск\Х\ 4- ck2x24" ••• 4“ сккХк |
^Xk’ |
|
||||
Условием существования ненулевого решения однородной систе |
||||||
мы (6.4.2) является равенство нулю ее определителя: |
|
|||||
c iX |
X |
С \2 |
|
С\ к |
|
|
|
|
|
|
|
||
С21 |
|
С22 ^ |
|
С2к |
= 0. |
(6.4.3) |
|
|
|
|
|
|
|
Ck i |
|
Ск2 |
Ск к ~~ ^ |
|
|
|
Для доказательства леммы нужно показать, что уравнение (6.4.3) (к-степени относительно X) имеет вещественный корень XQ и что
этому корню отвечает вещественное решение xf, х§,... ,х° системы (6.4.2).
Покажем сначала, что |
(*» J=* Ь 2»— »*)• |
|
си = сл |
(6.4.4) |
|
Согласно (6.4.1) |
|
|
Agy= ciyg, + c2Jg2 + ... + |
c^.g*, Ag. = cug! + c2ig2 + |
... + ckigk. |
Умножим первое равенство на вектор g;, а второе на вектор g .. По лучим, учитывая, что векторы gp g2, ..., нормированы и попарно ортогональны: ci} — (gp Agy), c}i = (gy, Ag^. Но так как A — симметрический оператор, то
(g/> Agf) = (Agy, gf) = (g., Agy)
и cyi = c/y, что доказывает соотношение (6.4.4).
Алгебраическое уравнение степени к с вещественными коэффи циентами имеет к корней, среди которых могут быть как вещест венные, так и комплексные числа, причем комплексные корни, ес ли таковые имеются, выступают в виде пар комплексно-сопряжен ных чисел. Покажем, что алгебраическое уравнение (6.4.3) имеет только вещественные корни. Допустим противное, а именно — пусть уравнение (6.4.3) имеет комплексный корень Х0. Тогда среди
корней этого уравнения имеется и корень XQ, комплексно-сопря женный корню XQ.
Систему (6.4.2) для удобства последующего изложения предста вим в матричной записи:
Сх = Хх ( С = ( с |у)). |
(6.4.5) |
Пусть х0 = — решение системы (6.4.5) при X = Х^ так что
С*0 \}хо' |
(6.4.6) |
Тогда решение системы (6.4.5) при Х — Х0 представится столбцовой матрицей
f~zo\
Из (6.4.7) следует: | О | 2= 1, |
т. е. | 0 | = |
±1. Если |0 | = 1, то |
О называется ортогональным |
оператором |
1 -го рода; если же |
Ю | = - 1 , то — ортогональным оператором 2-го рода.
Свойства ортогональных операторов в евклидовом пространстве аналогичны свойствам унитарных операторов в унитарном про странстве (см. § 6.3). Приведем некоторые из них.
Ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение
векторов: (О х, О у) = |
(х, у) (х, у G R). |
|
|
|
Ортогональный |
оператор |
сохраняет |
длину |
векторов: |
(О х, О х) = (х, х ). |
|
|
|
|
Если О — матрица ортогонального оператора в ортонормиро- |
||||
ванном базисе, то |
ООт = |
ОгО = Е. |
|
(6.4.8) |
|
|
|||
Матрица О, обладающая свойством (6.4.8), называется ортого нальной матрицей. Значит, ортогональному оператору в ортонормированном базисе отвечает ортогональная матрица.
Для того чтобы оператор О был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил какой-нибудь ортонормированный базис в R снова ортонормированный базис.
Так как матрица ортогонального оператора в ортонормирован ием базисе является ортогональной, а переход от ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису совершается ор тогональным преобразованием, то матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.
6.4.3. П реобразование симметрической матрицы к диаго нальному виду с помощью ортогональной матрицы. Пусть А —
симметрическая матрица порядка п. Будем рассматривать А как матрицу симметрического оператора в ортонормированном базисе 9 = (gj g2 ... g„) я-мерного евклидова пространства R, так что
А 9 = 9 А. |
(6.4.9) |
Согласно теореме 6.4.2 в пространстве R существует ортонормиро ванный базис ^ = (е 1 е2 ... е п), в котором матрица оператора А ди-
агональна и вещественна. Обозначим эту матрицу Л. Тогда
А 9 = 9А . |
(6.4.10) |
Далее, существует ортогональная матрица О, которая |
преобра |
зует ортонормированный базис 9 в ортонормированный базис 9:
9 = 9 0 . (6.4.11)
Подставляя (6.4.11)в (6.4.9), получаемА9 = 9 0 А О '1.Сравнивая последнее соотношение с (6.4.10), находим
А = О АО '1= ОАО'.
В соответствии с этим имеем также
А = О-'АО = ОАО.
Из подобия матриц Л и Л следует, что диагональными элементами матрицы Л служат собственные значения матрицы А.
§ 6.5. Квадратичные формы
Пусть А — симметрический оператор в n-мерном евклидовом пространстве R, а А — матрица этого оператора в некотором ортонормированном б а з и с е = (е, е2 ... е„). Матрица симметрического опе ратора в ортонормированном базисе симметрична (А = А').
Скалярное произведение векторов Ах и у, где х, у е R, удов летворяет тождеству (Ах, у) = (х, Ау). Учитывая, что х = 2?х, у = &у, где х и у — столбцовые матрицы, составленные из коорди нат векторов х и у соответственно, получаем
f П |
П |
У |
П |
(Ах, у) = (А £х, 9у) = 2 А е ^ , 2 |
екук |
= 2 (Аер е*)*/ у*- |
|
|
|
|
i, к—1 |
Обозначим (Ае;, ек) = aik (i, к = 1, 2,.... п). Тогда |
|||
(Ах, у) = 2 |
aikxtyk |
(6.5.1) |
|
I, |
=1 |
|
|
и, в частности, |
|
|
|
п |
|
|
(6.5.2) |
(Ах, х) = 2 |
в***,**- |
||
i, * =1 |
|
|
|
Так как А — симметрический оператор в евклидовом пространстве, то
^ ik A ®/t) ^ki"
Квадратичной формой называется однородный многочлен 2-й степени над полем вещественных чисел относительно переменных jcp лг2, ..., х п. Любую квадратичную форму от п переменных xt мож
но представить в виде
п
2
где aik = aki (ir к = 1, 2, ..., п), а в соответствии с (6.5.2) эту квад ратичную форму можно рассматривать как скалярное произведение
векторов Ах и х, где |
А — некоторый симметрический оператор в |
n-мерном евклидовом |
пространстве. |
Л |
а1кх1 Ук можно трактовать как скалярное |
|||
Билинейную форму ^ |
||||
i,k=1 |
|
|
|
|
произведение векторов Ах и у. |
|
|
|
|
Формы (6.5.1) и (6.5.2), которые принято обозначать через |
||||
А (х у у) и А(х, х )у коротко записываются в виде |
|
|||
А(Ху у) = |
хтАу = у'Ах {А — (aik))> |
(6.5.3) |
||
|
А(х, х) = |
хтАх. |
|
(6-5.4) |
Матрица А является |
матрицей |
оператора |
А в |
базисе & = |
= (е, е2 ... е„), ибо, как |
нетрудно |
проверить, |
АЖ = 2?А. Опреде |
|
литель det А матрицы А называется дискриминантом квадратич ной формы А(х, л). Если дискриминант равен нулю, то форма на зывается сингулярной.
6.5.1. Замена переменных. В формах (6.5.3) и (6.5.4) произве
дем замену переменных: |
|
|
||
|
х = П , |
У= |
(6.5.5) |
|
где | и |
т] — столбцовые матрицы, составленные из |
координат |
||
| j , ..., |
и rip ..., т]и соответственно. Получим |
|
||
где |
А(х> у) = фАи\, |
А(х, х) = | тД , |
|
|
А = Г А Т . |
(6.5.6) |
|||
|
||||
|
(6.5.6) связывает матрицу A = (a ik) формы |
п |
||
Формула |
^ аи ^%к с |
|||
i,k=1
п
матрицей первоначальной формы ^ aikx-txk. Матрица А преобразо- /,*=1
ванной формы также является симметрической матрицей.
Если Т — невырожденная матрица, то ранг матрицы формы при замене переменных (6.5.5), как это видно из (6.5.6), не меня
ется. |
л/ |
Две симметрические матрицы А н А, связанные друг с другом ра |
|
венством (6.5.6), в котором det Т ^ |
0, называются конгруэнтными. С |
каждой квадратичной формой связан целый класс конгруэнтных мат риц. Все матрицы данного класса имеют один и тот же ранг, которому равен по определению ранг соответствующей формы.
6.5.2. Закон инерции. Допустим, что квадратичная форма
А(х, х) = х1Ах |
(6.5.7) |
каким-нибудь способом приведена к виду |
|
|
||||
|
|
Л(х, х) = 2 к £ , |
|
(6.5.8) |
||
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
где X,. ф 0 |
(/ = 1, 2, ..., |
г) |
и |
|
|
|
|
= 2 |
dttxk |
(г = 1, 2...... г ) |
|
(6.5.9) |
|
|
к—1 |
|
|
|
|
|
— независимые линейные формы от переменных |
хр х25 |
|
||||
(элементов столбцовой матрицы х). Обозначим |
|
|
||||
*♦• , |
п = * * • , |
|
|
|
|
O ' |
|
|
( ^ J p d i2> • • • * d in ) ’ A |
• |
• |
||
Ы |
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
x r |
|
Тогда замену переменных (6.5.9) можно записать так: | = Dx. |
||||||
Перейдем к матричной записи и в соотношении (6.5.8): |
|
|||||
|
А(х, х) = |
2 Х,хт*/]с^х = xTD1ADx. |
(6.5.10) |
|||
|
|
|
t=i |
|
|
|
Вычитая из (6.5.10) равенство (6.5.7), получаем
xr(DTAD — А) х = 0.
Но последнее равенство при любых значениях хр х2, ..., хп спра ведливо лишь тоща, когда
A = DJAD. |
(6.5.11) |
Ранг матрицы D типа г х п равен г (матрица D набрана из г линейно независимых строк dv d2, ...» dr). Ранг диагональной мат
рицы Л типа г х г также равен г (так как все диагональные эле менты Xf отличны от нуля). В этих условиях ранг матрицы DTAD
равен г. Отсюда в силу равенства (6.5.11) может быть сформулиро ван следующий вывод: число квадратов в представлении (6.5.8) всегда равно рангу формы. Более того, имеет место следующая
Т е о р е м а 6.5.1 (закон и нер ц ии к в а д р а т и ч н ы х форм). При представлении вещественной квадратичной формы А(х, х) в виде суммы квадратов
М х, х) = 2
[=1
где X,. ^ 0 ( / = 1 , 2 , г), а 3*2, £г “ линейно независимые линейные формы от переменных хр х2, ..., х п, число положитель ных квадратов и число отрицательных квадратов не зависит от
способа приведения формы к указанному виду. |
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть имеет место и другое представле |
||||||
ние формы А (х , х) в виде суммы квадратов: |
|
|
|||||
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
ж * . *) = 2 |
|
|
|
|
|
где ц. =*=0 (i = 1, 2, |
|
п |
cikx k ~ независимые линей- |
||||
г), а |
Л/ = 2 |
||||||
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
ные формы от переменных х,, х2, ..., хп. Пусть |
|
|
|||||
ХА>0, |
^ > 0 , |
Хл >0, |
X/l+J <0, |
Хг <0, |
|
||
р.1>0, |
^ > 0 , |
ty > 0 , |
ц/ +1<0, |
..., м-г <0. |
|
||
Предположим, что А < /, например, |
А < /. |
|
|
||||
Переменным х,, х2, ..., х п дадим |
значения, |
удовлетворяющие |
|||||
системе г — (/ — А) уравнений |
|
|
|
|
|
||
1,. = 0 ( / = 1 , 2 , . . . , |
А), |
т|у = |
0 |
(/ = / + |
1, ..., г) |
(6.5.12) |
|
и не обращающие в нуль хотя бы одну из форм £/1 + 1, £й + 2, •*•» 1г*
Такие значения существуют, |
так |
как |
в противном |
случае |
из |
||||||
£л + 1= 0, ..., £г = 0 следовало |
бы, |
что |
все |
г уравнений |
^ |
= 0 |
|||||
( / = |
1,..., |
г) |
являются следствием г — (/ — А) уравнений (6.5.12), |
||||||||
но |
это |
невозможно |
в силу |
линейной |
независимости |
форм |
|||||
(jp | 2, ..., | г. |
При |
таким |
образом |
выбранных |
значениях |
||||||
хр х2, .... хп в тождестве |
|
|
|
|
|
|
|
||||
/=1 |
/= 1 |
Г |
I |
левая часть равна V ХД? < 0, а правая равна Y \nkrfk > 0. Предпо- |=Л+1 *=1
ложение А ^ I привело к противоречию. Теорема доказана. ■ 6.5.3. Приведение квадратичной формы к главным осям.
Рассмотрим произвольную вещественную квадратичную форму
П
Л(х, х) = ^ aikxix k = хМх (Л = АТ). i. к= 1