Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

36.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 553 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Кроме того, для квадратных матриц

(А -‘У = ( А ’Г ‘,

del АТ= del А,

det А* = det А.

Если матрица А совпадает со своей транспонированной (А = Ат), то матрица А называется симметрической. Если же совпадает со своей сопряженной ( А = Л*), то она называется эрмитовой. Симмет рическими и эрмитовыми матрицами могут быть только квадратные матрицы.

Одной из характеристик квадратной матрицы является ее след. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы А называется следом матрицы и обозначается через Sp А. След матрицы обладает свойствами:

1)Sp А = Sp А \

2)Sp (А + В) — Sp А + Sp В (А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка),

3)Sp (а А) = aSp А,

4)Sp (АВ) —Sp (ВА) (А и В — матрицы типа т х п и п х т соответственно).

Первые три свойства очевидны. Последнее свойство можно до казать так. Если А и В — матрицы с размерами соответственно т х п и л х т , то

п		)		1 m		^
АВ = 2	alkPki		; ВА =		S ^Ucaki
I*"1		J		\	k=i	/
В соответствии с этим			п	т
т	п		п	т
Sp ( Л В ) = 2	2	а А	/ - 2	2 ьи аи = Sp (ВА).
i=l	i =l		fc=1	i =1
§ 1.6. Присоединенная матрица
Пусть дана матрица
		аи	ап	аш
А =		а21 а22		а2п
		ап1 ^ц2		апп
Алгебраическим дополнением элемента						матрицы А называ

ется взятый с коэффициентом (—1), +у определитель матрицы, ко-

торая получается из А вычеркиванием i-й строки и /-го столбца, а именно

а п

а и - 1

a lj + l

^ ln

= ( - ! ) '+ ' а 1- 11	a i —lJ + l
a i + 11	a l + l j - l a i + lJ + l
а п\	a n J - 1 a nj + l

Присоединенной (союзной) называется матрица

4 i	^21	A	\
4 i	^21	Л п1
•^12	A 22	A I2
»	•	•
■	^2 n	nn^
u	^2 n	nn^

a t - l n a t + ln

“an

т.е. союзная матрица Ас есть матрица, полученная из матрицы, со

ставленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А путем ее транспонирования.

Из теории определителей известно, что сумма произведений всех элементов некоторого столбца (строки) определителя на алгебраиче ские дополнения соответственных элементов другого столбца (стро ки) равна нулю, а сумма произведений всех элементов столбца (стро ки) определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов того же столбца (строки) равна данному определителю:

2 alk^jk — &ij М I»	п	0,	i & j I\
	2 A k ia kj — £ f / M I
		1,	i - j	j
* = 1	Jfc-1

Учитывая это, легко устанавливаем основное свойство присоеди ненной матрицы:

ААС= АСА = \А \Е .

(1.6.1)

| 1.7. Обратная матрица

Квадратная матрица В называется обратной данной квадратной матрице А , если

ВА = АВ = Е,

(1.7.1)

где Е — единичная матрица соответствующего порядка. Матрица,

обратная матрице А, обозначается А~1. На основании свойства определителя произведения матриц

|л - ‘|М | = |л ц д - Ч =.1

(определитель единичной матрицы равен 1). Отсюда ясно, что, вопервых, обратную может иметь только матрица, определитель ко торой отличен от нуля; во-вторых, определитель обратной матрицы тоже отличен от нуля и, в-третьих, определитель матриц А и

А~1 — взаимно обратные числа: | А~11= 1 /1Л| , Итак, обратную может иметь только невырожденная матрица.

Всякая невырожденная матрица имеет обратную. В самом деле, как это следует из равенства (1.6.1), обратной для матрицы А яв ляется, например, матрица

А~1= —	А	(1.7.3)
\А\	с<	'

Каждая матрица может иметь только одну обратную. Действи

тельно, пусть матрица С удовлетворяет, как и матрица А~1, усло вию (1.7.1). Тогда

С = СЕ — С(АА~1) = (СА)А~1= ЕА~1= Л-1,

что и доказывает единственность обратной матрицы.

Матрица, обратная произведению двух невырожденных матриц

А и В, определяется равенством
(АВ)~1= В~1А~К	(1-7.4)
В самом деле, умножая обе части равенства	(АВ)~1А В — Е

справа на произведение обратных В~1А~1, сразу получаем (1.7.4).

§ 1.8. Блочные матрицы

Прямоугольную матрицу

'	а п	а 12	а \п ^
А =	а 21	а 22	а 2п
{а т 1		а т2	« т П)

горизонтальными и вертикальными линиями можно рассечь на пря моугольные клетки (блоки):

(А	А12	А Л
л и	А12	А Л
А = •^21	л 22	Al1 (s ^ m , tK п).
Аз1	*s2	Л ,\|

прямоугольную матрицу (и, в частности, число) с размерами т{х пр например,

*11	1213*М	Ми А\2
*21	2223*24	А22j
*31	3233*34^
Каждый из блоков (субматриц) Л-1- представляет собой некоторую
где		2223	*24^
A i 11» ^12 —(12 *13 а14)»		2223	*24^
A i 11» ^12 —(12 *13 а14)»		3233	*34у

В частности, матрица может быть рассечена только горизонтальны ми или только вертикальными линиями. При этом блочная матрица будет иметь соответственно вид

м и
А = А	или А =	А2	At).

Сокращенно блочную матрицу обозначают А = (i4ap)Jf.

Рассмотрим две матрицы А я В одинаковых размеров и с оди наковым разбиением на блоки, т.е.

( А

■^12

* и \

в 22

А =

А г 1 ^22

А г t

Я =

B 2i

B 2t

Л A S2

в “ ,

где

матрицы

Аар

и Ва^

имеют

одинаковые размеры та х лр

(а =

1, 2 ,..., s;

р =

1, 2

t).

Тогда в соответствии с правилом

сложения матриц

'А,1 + Ди

Ai2 + В12

Ан +

в и

А +

В —

*^21 +

^21

■^22

В22

л 21+

B2t

Asl + Bs2

Ast + Bst

Таким образом, операция сложения над блочными матрицами одинаковых размеров с одинаковым разбиением на блоки про изводится формально так, как если бы вместо блоков стояли скалярные элементы.

Для того, чтобы правило умножения матриц можно было бы пе ренести на блочные матрицы, необходимо, чтобы все горизонталь-

ные размеры блоков в первом сомножителе совпадали с соответст вующими вертикальными размерами блоков во втором сомножите ле. Иными словами, если

/ А	Ап	А ,]		(*11	*12	Ъ и)
Л11	Ап	А ,]		(*11	*12	Ъ и)
	А22	а 2(	II	*21	*22	*2«
•	9	•		*	9	• •
\ А«	As2	ч			*/2	/

и, кроме того, число столбцов блока Аар равно числу строк блока * &р (а = 1, 2 , s; ( 3 = 1 , 2 , и; 6 = 1 , 2 , t), то возможно

перемножение матриц А п В формально так, как если бы вместо бло ков стояли числовые элементы:

АВ = С = ( С вр),

где

Сар = ^ AQ^B^p (й = 1, 2 , s', (3 = 1, 2,..., и).

5=1

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные под (над) главной диагональю, равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Аналогичные понятия вводятся и для блочных матриц.

Блочная матрица

А	а 12	* , )
Л11
А = А21 А22		А2р

к- А. А п„

PPJ

называется верхней (нижней) квазитреугольной матрицей, если все диагональные блоки и сама матрица А — квадратные матрицы, а все недиагональные блоки, расположенные под (над) диагональ ными блоками — нулевые матрицы.

Блочная матрица А = (A-j) называется квазидиагональной, ес

ли все диагональные блоки и сама матрица А — квадратные мат рицы, а недиагональные матрицы — нулевые матрицы. Квазидиагональная матрица является частного вида квазитреугольной мат рицей.

Определитель квазитреугольной матрицы А = (А ^ )рр связан с

определителями диагональных блоков соотношением
р	det A.j.	(1.8.1)
det А = f]

Покажем это.

Рассмотрим сначала квазитреугольную матрицу

	/4 =	М п		А 121	А\2	0 5
			Ац	А22\ *	А\2	0 5
4 i	wlr		)		( ar + 11		« г + l /
	Д,		)
II					II
					Я я 1		flnn	^
Л *					nl		flnn	^
Л *
				+ lr + 1	аг + 1и
	^22“		апг +1		апг
			апг +1		апг	/
По определению						/
По определению
det А -	^		( - l ) '(V*a.....kJalk			а2к	£2пк_
	Л,... *я =1
	(/*/)
Так как А12 — 0, то из всех произведений aU\| а2к^								апк могут

быть не равны нулю только те, в которых индексы £,, кг, ..., кг

принадлежат множеству 1, 2 , г. В следствие этого остальные ин дексы &r +1, &г+2, ..., кп могут принимать значения только из мно

жества г + 1, г + 2 , п. В этих условиях число транспозиций элементов, необходимых для приведения перестановки 1, 2, п к расположению kv к2, ..., кп, равно сумме числа транспозиций эле

ментов, необходимых для приведения перестановки 1 , 2 к расположению ki%к2, ..., кг и числа транспозиций элементов, необ

ходимых для приведения перестановки г + 1 , г + 2, ...,л к распо ложению кг+ 1, кг+21..., кп:

1* ^2* •••»				^2*	Ю	^2^^г +1* ^г +2* •••» ^л)*
Учитывая это, находим
det^4 =	2)		2	(-1)'>(*«....		V + ......	*Jx
Aj«•.•. krж 1		\|.....	k^*	r 1
		x a.		агЛг ar +U,+l” 4ап*я ~
			‘U,	агЛг ar +U,+l” 4ап*я ~
- 2 ( - D	‘.(*......	ark,	2	( - 1 ) ^ - ......................			* " 4 +	• • •
.....C l................................................					kn = r+l

Отсюда					( 1.8.2)
det А — det Аи *det Л22					( 1.8.2)
Рассматривая в общем случае матрицу
		А	0	0 )
		Л 11	0	0 )
а	-	^21	■^22	0
а	-
как матрицу		>	Л р 2	р р J
		>
			Л ,	о
		А =	Л ,	о
где			Ац	а 22
где				(А
1А	\			(А	0 '
Л21				Л22
A2I —		7	■^22“	А 2	А„0
Ani				А 2	А„0
pl)				Р2	рр)

согласно (1.8.2) будем иметь det А = det .4udet Л22. Матрица -Л22 снова квазитреугольная. Проделав над ней ту же операцию, получим det А = det А{1 det Л22 det Л33<

После р — 1 таких шагов придем к соотношению (1,8.1).

Таким же путем может быть доказано равенство (1.8.1) приме нительно к верхней квазитреугольной матрице.

§ 1.9. Линейные преобразования и матрицы

Пусть т величин ур у2, ..., ут выражаются линейно и однород

но через п других величин		х2, ..., хп:
У\ = 111 +		122 +	*** +	1пп>
У1“	211 + 222 +		•♦♦ +	2пп»
				►
	«		♦	♦
Ут -	щ11 + m22 +			+ а тпх п‘

Преобразование величин х,, х2, ..., хп в величины ур у2, ♦*•» Ут п0"

средством равенств (1.9.1*) называется линейным преобразованием. Система равенств (1.9.1) эквивалентна одному матричному равен ству

( л ]

Уг	V________________
3	V________________
ч::

( *11	*12	*1п	(хЛ
*21	*22	*2п	ч
			• • •
^*ml	*га2	a mtij

в чем легко убедиться, выполнив умножение матриц в правой части этого равенства и приравняв друг другу соответствующие элементы матриц, расположенных слева и справа от знака равенства. Обоз начая

	N		< ап	«12	«1п '
У — Уг »	N		«21	«22	«2п
У — Уг »	* = *г ,	Л =	«21	«22	«2п
	Х„		Кат1	«m2	атп^
	п)
можно вместо (1.9.1) записать коротко
	у = А х .				(1*9.2)

Таким образом, линейное преобразование (1.9.1) однозначно определяет матрицу А и, обратно, всякая матрица А определяет некоторое линейное преобразование одного множества элементов (в частности — чисел ) в другое.

Допустим, что величины *р х2>...» х п в свою очередь выража ются через величины z,, z2, ...» zp посредством равенств

*1 =	^ llz l +	^12z 2 +		•••	+	b l p z p>
X2 — b2lZl +		b22Z2 +		••• +		b 2p Z p>	( 1 9 3 )
	•	i •	•		•	•
x n ~	bn lz l +	b n2z 2 +		- •	+	bnpz p ‘

Величины у,, y2, ..., ym можно непосредственно	выразить	через
z,, z2, ..., zp. Для этого нужно с помощью	равенств	(1.9.3)

исключить Хр х2, .... хп из равенств (1.9.1). В результате полу чим

^1	C11Z1	C12Z2 "Ь •••	“Ь	C\ p Zp'
Уг — C2lZl +		C22Z2 + —	+	c 2pz p>
				(1.9.4)

••

Ут = Cm lZl “l' C m 2Z 2 *** "l" C m p Z p 5

где

C|y ^ &ikbkj

" M

1, 2, ... , p).

(1.9.5)

В самом деле, учитывая, что (см. (1.9.1) и (1.9.3))

^ = 2 «****’	x k = 'Z bkjzj’
кш1	у =1

последовательно получаем

	п	р	п		р		=2			z j = 2
Vi =	2 a ik 2 h j z j =		2		2 a i t b k j z j		=2		2 ^ikbkj	z j = 2
	Jt=i	У-1	k = l		j = l			j = 1	k=\	У-1
откуда и следуют соотношения (1.9.4),								(1.9.5).
Эту операцию можно выполнить также, используя матричные
обозначения. Полагая
			Т N			^ 1 1		^12	Ь\р
			z l			^ 1 1		^12	Ь\р
		Z =	Z2	,	в =	Ь2\		Ь22	Ь2р
							•	♦	•
						^ n l		Ьп2	"* * Ьпр
вместо (1.9.3) будем иметь
					х =	Bz.				(1.9.6)
Подставляя (1.9.6) в (1.9.2), получим
					у — ABz =		Cz,			(1.9.7)
где	С	— матрица	с	размерами			т х р ,		элементы	которой, в

соответствии с правилом умножения матриц, определяются фор мулой (1.9.5).

Допустим, что квадратная матрица А порядка л, определяющая

линейное преобразование
У} =	^(2^2 “Ь ••• 4* ^in^n 0	2, ..., л), (1.9.8)

— невырожденная матрица. Тогда система алгебраических уравне ний (1.9.8) может быть разрешена относительно xlt х2, ...,' хп при

любых ур у2, ..., уп согласно правилу Крамера

	а п	Л1у - 1	fll/ +l	^i«
1	«2!	а2}—\	^2 а2/ + 1	fl2n
х ) M l
	*Д1	**nj —1 У» a nj + 1
Отсюда
1	П		( / == 1, 2, .. ■, п ) ,		(1.9.9)
1.	i=i		( / == 1, 2, .. ■, п ) ,		(1.9.9)
1.

где Atj — алгебраическое дополнение элемента alt матрицы. А. В матричной записи (1.9.9) принимает вид

1 .

или, если учитывать (1.7.3), х — А~1у. Этот же результат немед ленно следует из матричного равенства Ах — у после умножения обеих частей этого равенства слева на матрицу А-1.

§ 1.10. Задачи и упражнения

1. Доказать, что если произведение АВ матриц А и В существует, то

(АВ)Т-ДМТ.

2. Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей

			(I	0 0)
а)			б) 0	1 0 .
			0	0 2/
3. Найти все матрицы В, для которых ЛВ*=А, если
А
4, Дана матрица А ев(Ея —сосот), где а> — столбцовая матрица такая, что евкли
дова норма \|\|о>\|\|г к 1. Вычислить A*, coTto=			1.
5. Пусть
0	1	0	0	0
0	0	1	0	0
6	0	0	о	i
k 0	0	0	0	0

Определить а) #*; б) ВНп, если В — m хи-матрица; в) HJB, если В — и х т -м ат -

рица.

6. Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диаго нальных элементов.

7. Показать, что уравнение Р~1г^ Р имеет решение

0	0	\ \
0 0		0
i>= .	1	О
0	1	О
1	0	Ч

8. Доказать, что если А 1 существует, то (/Г 1)т = 0 4 т)~1.

9. Доказать, что если det Л =*=0,5 ^ 0 и АВ существует, то АВч*0.

10. Для невырожденной матрицы А показать, что det (/Г 1) = (det А)"1. И . Доказать, что (АДГ1- ^ 1/!-1.

12. Пусть А — квадратная матрица и А2+ 2 А + Е Л - 0 .

а) Показать, что А — невырожденная матрица, б) Как вычислить А“х?

13. Пусть D — невырожденная диагональная матрица, связанная с матрицей

А соотношением Х)«- (£_4-А)_1А. Доказать, что А — также диагональная

матрица.

<<< < Предыдущая 1 23 / 553 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202318.67 Mб1Материаловедение..pdf
#
12.11.202316.8 Mб3Материалы для сооружения газонефтепроводов и хранилищ..pdf
#
12.11.202315.41 Mб4Материалы кабельного производства..pdf
#
12.11.20236.51 Mб0Материалы Межрегиональной научно-практической конференции (юбилейные чтения), посвященный 50-летию методического объединения библиотек государственных вузов Пермского края и 65-лет..pdf
#
12.11.20238.28 Mб8Материалы на основе ненасыщенных полиэфиров..pdf
#
19.11.202336.1 Mб7Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем..pdf
#
12.11.20234.43 Mб2Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения..pdf
#
19.11.202326.59 Mб1Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем..pdf
#
12.11.202310.37 Mб1Матричный метод анализа электрических цепей..pdf
#
12.11.202312.84 Mб4Машинный анализ и моделирование электрических цепей..pdf
#
13.11.202322.92 Mб5Машины для монтажных работ и вертикального транспорта..pdf