книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

§ 5.9. Матрицы ортогонального проектирования

Введем в рассмотрение матрицы

где Ка, Ма — матрицы, фигурирующие в разложении (5.8.1). Мат­ рицы Ра инвариантны относительно Ка. Действительно,

Непосредственной подстановкой выражения (5.9.1) в (5.8.1) полу­ чаем

Как видно, с помощью матрицы Рд можно выделить ортогональ­ ную составляющую £/„ матрицы U, соответствующую изолирован­ ной группе о собственных значений этой матрицы.

Отметим еще следующие равенства, справедливость которых ус­ танавливается без труда:

Ра (сг= 1,2,..., р) — проекционные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

Вышеизложенное позволяет чисто алгебраическим путем по­ строить проекционные матрицы Ра (сг = 1, 2,.... р). Хорошо изве­

стно другое представление проекционных матриц, а именно, матри­ ца, ортогонально проектирующая л-мерное векторное пространство R на £0-мерное инвариантное подпространство R a, соответствую­

щее изолированной группе собственных значений

а

матрицы U, равна (см., например, [41])

где у0 — спрямляемая замкнутая дуга, проходящая в комплексной плоскости на положительном расстоянии от собственных значений

0"р

—квазидиагональная матрица, приводящая квазидиагональную

Матрицы Js являются квазидиагональными матрицами, диагональ­

а через у ^ — контур, который не содержит внутри себя собствен­ ных значений матрицы J\s^ и проходит на положительном расстоя­ нии от них. Покажем, что

(ХЕк -

*

ф ( \Е к - Л * ) ) - Ч \ = 0.

&"

Действительно, обозначая общее значение равных собственных значений матрицы УФ через ХФ, будем иметь

Щ , - A s> =

Здесь Ял — квадратная матрица порядка к -, все элементы кото- *31

рой равны нулю, кроме элементов первого после главной диагонали косого ряда, которые равны единице (матрица сдвига).

Проинтегрируем обе части равенства (5.9.9) по некоторому зам­ кнутому контуру у. Получим

Если у = у^, то контурный интеграл в правой части равенства (5.9.10) равен 2лУ, и мы получаем соотношение (5.9.7). Если же у = уФ, то этот интеграл равен нулю, и, значит, справедливо и другое соотношение — (5.9.8),

Наконец, используя равенства (5.9.5), (5.9.11) и (5:9.12), будем иметь

Таким образом, соотношение (5.9.4) доказано.

В заключение этого параграфа укажем способ преобразования матрицы U к квазидиагональному виду в случае, когда собственные значения какой-нибудь изолированной группы неизвестны. Пусть, например, неизвестны собственные значения, включенные в по­

следнюю группу (группу р). Мы можем построить матрицу Д JU ),

г

поскольку остальные собственные значения матрицы U предполага­ ются известными, а значит, можем построить и Рр. Из последнего

равенства (5.9.2) находим

p - i

Ъ Ро ш Р - Р~ К - Р , -

рицу (К_р Кр), преобразующую матрицу U к квазидиагональному виду

причем собственными значениями матрицы А_р являются извест­

квазидиагональному виду в соответствии с разбиением собственных значений на р групп сводится к задаче по приведению к квазидиа­ гональному виду матрицы А_р в соответствии с разбиением собст­

венных значений (известных) на р — 1 группу.

§ 5.10. О приведении к квазидиагональному виду и разложении на составляющие одной матрицы специального вида

Рассмотрим квадратную матрицу и и матрицу U, определенную равенством

Такое соотношение, в частности, встречается при переходе от сис­ темы дифференциальных уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка. Будем предполагать, что и — матрица простой структуры порядка п. Заметим, что отсюда не следует, что U также будет матрицей простой структуры.

Выясним прежде всего, в каком соотношении находятся собст­ венные векторы и собственные значения матриц и и U. Пусть Vj, v2, ..., vn — собственные значения, а хр щ , ..., х„ — соответст­

вующие собственные векторы матицы и. Введем следующие обозна­ чения:

х = (Xj щ ... хп), Ц =

\ / где р. = х-1. В соответствии с этим будем иметь

Допустим, что Kj — собственный вектор матрицы U, отвечаю­ щий собственному значению Ху, Представим К в виде

KJ =

Равенство (5.10.3), очевидно, будет удовлетворяться, если

Таким образом, каждому собственному значению v. матрицы и

соответствуют два собственных значения матрицы U, которые да­ ются формулами

где i — V—1 — мнимая единица. Из (5.10.2) находим

xjO = ЦЯхр

так что собственным значениям (5.10.4) матрицы £/ отвечают соот­ ветственно два собственных вектора

линейно независимых при любом vy.=/= 0.

Аналогичным путем для транспонированных собственных векто­ ров транспонированной матрицы U' получим следующие выраже­ ния:

рица порядка 2л, составленная из 2л собственных векторов (5.10.5), преобразует матрицу U к диагональному виду.

При наличии нулевого собственного значения матрица U уже не может быть приведена к диагональному виду, ибо векторы (5.10.5) становятся линейно зависимыми. В этом случае U может быть пре-

образована к квазидиагональному виду. С этой целью введем в рас­ смотрение прямоугольные матрицы

(5.10.7)

Очевидно,

M.Kj

ГЕ2> i —/, |0 , i 5^ /.

Далее, нетрудно проверить, что MiUKi = Ai (i = 1, 2, ..., п), где

В соответствии с этим разложение U на составляющие имеет

вид

§ 5.11. Аналитические функции от матриц

Мы видели, что квадратную матрицу, собственные значения ко­ торой можно разбить на р пересекающихся групп, можно предста­ вить в виде

Отсюда следует, что

Оч

для любого целого к. Следовательно, для всякой аналитической функции /(z) мы можем определить матричную функцию /(А ) следующим образом:

рица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А , отвечающими собственным значениям Хр Х2, ..., Xrt. В соответст­

вии с этим соотношение (5.11.2) приобретает вид

Показательная функция /(z) = а2, где a — некоторое постоянное число, в функции от матрицы примет вид

В случае матрицы простой структуры (см. (5.11.4)) будем иметь

Выражения для матричной показательной функции легко полу­ чить и непосредственно. В самом деле, разлагая az в ряд Тейлора,

Подставляя в приведенных рядах вместо z матрицу Л, будем иметь, соответственно,