книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdf
рядка (т = 1, 2, 3,...) с собственным значением Xs в жордановой матрице, побочной матрице U, связано с дефектами матриц
[As — XsEk ]v (v = 0, 1,2,...) |
соотношением |
= 2 |
— d[m ~ *) —d[m +*). |
(Здесь dty — дефект матрицы [Лу — XsEk ]'.)
Теперь рассмотрим вопрос о построении матрицы Т, преобразу ющей матрицу U к форме Жордана /.Мы здесь не будем приводить методы построения преобразующей матрицы Т, описанные в имею щейся литературе (см., например, [12]), а ограничимся указанием способа сведения задачи о построении преобразующей матрицы Т п-то порядка к определению некоторого числа квадратных матриц меньшего порядка.
Исходя из указанного в начале данного параграфа разбиения соб ственных значений матрицы U на группы, можно построить матрицу К = ( ^ , К2, ..., Кр), преобразующую матрицу U к квазидиагональ-
ному виду (5,6.5). При этом группе s (s = 1, 2,..., р), состоящей из ks равных собственных значений As, будет отвечать диагональный блок Л5 матрицы Л с Л5-кратным собственным значением Х5.
Итак, наряду с (5.6.2) имеет место легко реализуемое представ
ление |
|
U = КAM. |
(5.6.6) |
При этом блоки матриц Л и / с одинаковыми индексами подобны между собой, так что
\ = NsJs(K')N7l |
( S = l,2 ,...,p ) . |
(5.6.7) |
Сравнивая (5.6.2) с (5.6.6), находим |
|
|
Т ~ |
KN, |
(5.6.8) |
где A = diag (N it N2, ..., Np).
Таким образом, использование преобразования, приводящего данную матрицу U к квазидиагональному виду, позволяет свести задачу по построению преобразующей матрицы Г л-го порядка к более простой задаче: к построению удовлетворяющих равенствам (5.6.7) матриц Ns (s = 1, 2, ..., р) меньшего порядка.
Если кратность собственных значений \ s невелика (а это в при кладных задачах наиболее вероятный случай), то Ns можно по
строить путем непосредственного решения относительно элементов этой матрицы системы алгебраических уравнений, соответствую щей матричному равенству
л , * , = N ,j ,a s).
§ 5.7. Случай матрицы простой структуры
Из теорем предыдущего параграфа непосредственно следуют два результата. Если ^„-кратному собственному значению матрицы от
вечают в форме Жордана ка клеток Жордана 1-го порядка, то
ц(‘) = ci[l\ и обратно.
Если U-матрица простой структуры порядка п, то
2 ^ |
= 2 4 1’ = ". |
5=1 |
5=1 |
и обратно.
Приведем еще некоторые предложения, касающиеся матриц простой структуры.
Л е м м а 5.7.1. Пусть собственные значения матрицы U раз биты на р групп при условии (5.3.1) и )Sp — какое-нибудь из соб ственных значений,включенных в группу о. Если
(<У - |
Да((/) = О, |
(5.7.1) |
то
1)все собственные значения группы а равны между собой;
2)матрица А0 является диагональной матрицей.
До к а з а т е л ь с т в о .
1. Из (5.7.1) следует, что все ненулевые столбцы матрицы Да(£/) являются собственными векторами, соответствующими соб
ственному значению. Х^. Так как ранг матрицы Aa(U) равен ка, то собственному значению Х^ соответствуют ка линейно независимых собственных векторов. Это значит, что Х^ является по крайней ме ре £0-кратным собственным значением матрицы. Но кратность ХИ,
очевидно, не может быть больше, чем число собственных значений, включенных в группу о, т.е. больше, чем ка. Значит, кратность
собственного значения в точности равна ка. 2, Представим равенство (5.7.1) так:
( U - t f > E n) K 0M ac = о.
Отсюда,так как среди миноров матрицы М0а ранга ка имеется ми нор ранга ка, то
(U -\f> E „ )K a = 0. |
(5.7.2) |
Используя последнее соотношение, получим Л„ = MaUK„ = M „VfKa =
Лемма доказана. ■
Т е о р е м а 5.7.1. Пусть собственные значения матрицы U разбиты на р групп при условии (5.7.1.), причем в каждую группу включены только равные между собой собственные значения. Для того чтобы U была матрицей простой структуры, необходимо и достаточно, чтобы
(1/-Х</>£„)ДД1/)=0 ( s = 1,2.......р ) , (5.7.3)
где Яу* — собственное значение группы s.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь . Согласно лемме 5.7.1 все матрицы А у (s = 1, 2 ,..., р) имеют диагональную структуру.
Значит, матрица U приводится к диагональному виду (при этом, кстати, преобразующая матрица К в силу равенства (5.7.2) состоит из собственных векторов матрицы U). Следовательно, U как матрица, подобная диагональной, является матрицей простой структуры.
Н ео б х о д и м о сть . Пусть U — матрица простой структуры и подобна диагональной матрице Д. Эту матрицу для удобства предста вим в виде квазидиагональной матрицы A = diag (Ар Л2, ..., А р),
где A s — диагональная матрица, на главной диагонали которой рас
положены собственные значения матрицы U, включенные в группу s. Пусть К — матрица, преобразующая U к диагональному виду Л, и
М = К ~ 1: |
|
U = КАМ. |
(5.7.4) |
Рассмотрим произведение |
|
K ( U ) = П (I/ - |
Xs£„), |
5= 1 |
|
где Хр Xj,..., X — все различные собственные значения матрицы
U (Х5 = Х^ = ... = Х^). С учетом (5.7.4) имеем
Д(£/) = * П |
( Л - \ 5£„)М . |
|
5 =1 |
|
|
Здесь |
|
|
А = К Е п = diaS (Д 1“ |
К Е к> •••> д ~ |
К Е к )• |
|
1 |
Р |
Так как A s — XsEk (s= 1, ..., р), то 5-й диагональный блок матри цы A — \ sEn — нулевая матрица. В силу этого
П ( л - v ? „ ) = o , |
(5.7.5) |
S= J
л/
и поэтому Д(U) = 0 .
где Ua = К0А аМа. Квадратные матрицы Ua (cr = 1, 2, р) будем называть составляющими матрицы U. Каждая составляющая Ua матрицы U отвечает группе а собственных значений этой матри цы. Собственные значения матрицы U, включенные в группу о, яв ляются собственными значениями и для ее составляющей Ua\ ос тальные п — ка собственных значений матрицы U (ка — число соб
ственных значений матрицы U, включенных в группу о) равны нулю. Это следует из того, что матрица MUaK, подобная матрице и о, является диагональной матрицей, в которой диагональным бло ком с номером о, как и в матрице А, служит ка х £0-матрица А0,
а все остальные диагональные блоки — нулевые.
Составляющие матрицы £/, как нетрудно проверить, используя
(5.3.5), взаимно |
ортогональны: U0US = 0 |
( a ^ s ) , и, кроме того, |
удовлетворяют еще следующим соотношениям: |
||
и ? = |
(т = 1, 2 ....), |
и и , = и ои = 1/J. |
Как уже отмечалось, в выборе матриц Кд (о ~ 1, 2 ,..., р) при
данном разбиении собственных значений матрицы U на группы имеется определенная произвольность (см. § 5.5). Составляющие же Ua при данном разбиении собственных чисел на группы опреде
ляются однозначно, они инвариантны относительно произвола, имеющегося в выборе К а. Действительно, принимая вместо К а мат
рицу KaN0, будем иметь
0 а = КаАаМа = KaNaN~'AQNaN ? M a = К0А0М0 = U0.
Пусть /(А.) — многочлен скалярного аргумента А. Если две мат рицы А и В подобны и матрица Т преобразует А в Я, то матрицы
/(А ) |
и / ( В) также подобны, причем та же матрица Т преобразует |
|
/(А ) |
в /(Я ). |
|
Матрицы U и А подобны, и матрица К преобразует U в А. По |
||
этому |
/([/) и /(А ) подобны, и К преобразует f(U ) |
в /(А ), т.е. |
f(U ) = K f(A )M . Отсюда непосредственно вытекает |
следующее |
|
разложение матричного многочлена /(£/) на взаимно ортогональ ные составляющие:
п и ) = 2 K J (A a)M a. |
(5.8.2) |
as* 1 |
|
Разложение (5.8.2) справедливо при произвольном разбиении соб ственных значений матрицы U на группы согласно условию (5.3.1).
Посмотрим, какой вид приобретает формула (5.8.2) в том част ном случае, когда в каждую группу объединены только равные между собой собственные значения. Допустим сначала, что все соб ственные значения матрицы U порядка п — простые и эти собст венные значения разбиты на группы. В данном случае
М*/) =п -VU (®=1.2..п)
5 == 1
5*0
— матрицы ранга 1, и поэтому каждая из этих матриц расклады вается на произведение п х 1-матрицы Ка на 1 х «-матрицу М0б:
Д0№ = КоМ0а.
Преобразуем (5,8.2). Учитывая, что в данном случае А0 = Хст и, следовательно, /(Л с) = /(Х0) — скаляр, и используя (5.3.4), будем иметь
/(£/) = 2 K J C A J M ^ |
= 2 /(К )К а(м 0М |
- ' м 0а = 2 |
О=1 |
О=1 |
0=1 |
или |
|
|
о= 1
Вычислим М0аКа. Матрицу, присоединенную к характеристиче ской матрице kEn —U, обозначим через ^(Х). Имеем
F(X)(XEn - V) = (Х£„ - U)F(X) = Д(Х)Е„, |
(5.8.4) |
где
Д(Х) = П (Х -Х 5) 5=1
— характеристический многочлен матрицы U. Прежде всего пока жем, что
AQ(U) = ^(Х0). |
(5.8.5) |
|
Положим |
|
|
|
|
(5.8.6) |
В этом равенстве заменим X на U, а х |
— на ХЯН; тогда, так как |
|
Д (1/)= 0, |
|
|
(Xfi„ - £/)<p(t/, Х) = |
Д(Х)£„. |
|
Отсюда видно, что <р(£/, X) есть матрица, присоединенная к матри це Х£п — U.
С другой стороны, из равенства (5.8.6), если положить х = Х0, получаем
Ч>(ХЛ0) = ^ = Д а ( ^ ) ,
и, значит, ф(17, Х„) = Дa(U), что и доказывает справедливость ра венства (5.8.5).
Продифференцируем равенство (5.8.4) по X и в полученном со отношении положим X = Хс. Будем иметь
( К е п - t/)^p \х = |
х а + |
Н К ) |
= К ( К ) Е „ - |
||
Умножим последнее равенство |
слева |
на |
F (\0) |
и, учитывая, что |
|
* ( К ) ( К Е п “ |
— 0 (это следует из равенства |
(5.8.4)), получим |
|||
|
П Х 0) = Д0(Х0М Х0), |
|
|||
И Л И |
|
|
|
|
|
|
Д5({/) = |
Д0(Х0)Д0(и). |
(5.8.7) |
||
С другой стороны, так как в данном случае М0аКа — скаляр, то
д l ( U ) = К аМ 0сК „ М Ва = М0о* оД„(1/). |
(5.8.8) |
Сравнивая равенства (5.8.7) и (5.8.8), получаем Д0(Ха) = М0аКа.
С учетом полученного соотношения уравнение (5.8.3) приобре тает вид
/ w = 2 / a o ) |
А„С£/> |
(5.8.9) |
|
W |
|||
|
|||
о* 1 |
|
|
что представляет собой формулу Сильвестра для случая, когда все собственные значения матрицы U простые. Из соотношения (5.8.9) путем предельного перехода может быть получена общая формула Сильвестра, справедливая и при наличии у матрицы U равных друг другу собственных значений:
Н и ) |
р |
1 |
V . - 1 |
( / а ) п щ |
|
= ^ |
|||||
|
с/Х**"1 |
A„tt) j J х=х |
|||
|
|
|
о
Здесь Ха обозначает общее значение всех ка равных собственных значений матрицы U, включенных в группу а (Х0 =
/ — 1» 2, ..., Лд).
П р и м ер . Приведем к квазидиагональному виду и разложим на составляющие матрицу
|
|
|
|
|
|
|
|
( - 8 |
2 |
5 |
- 4 \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U = |
-15 |
5 |
6 |
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-12 4 9 -10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
2 5 |
- б ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Собственные значения этой матрицы |
X1= l . |
Х2= —1. Х3 = 2, |
|
Х4= —2 |
разо |
|||||||||||||||||||
бьем, например, на следующие две группы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
группа |
1: |
= 1, |
Х^*=*-1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
группа |
2: Х\2)= 2 , |
Xj2)= -2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ - 6 |
6 |
|
-3 0\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b l(U) = W - Xf>EA)(U- |
^>Е4) = |
-9 |
9 - 6 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
-12 |
12 |
|
-9 6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
6 - 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Примем |
0\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
O'! |
|
|
/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
6 - 3 |
о |
|
|
|
|||||
К, |
2 |
1 |
Д2Ш) - |
W - |
Х ^я4)W - Х ^£4) ■ |
-9 |
12 -6 |
3 |
, |
/с2*= |
2 |
1 |
||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1» |
ч |
|
Преобразующая матрица |
/1 |
0 |
1 0\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-2 |
1 |
0\ |
|
|
|
||||||
|
|
К - { К ХК2)> |
2 |
1 2 |
1 |
|
а |
|
М=КГ1 = |
-1 |
|
1 |
0 |
-1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
2 -1 |
0 |
|
|
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
I" 1 |
|
0 |
0 |
Ч |
|
|
|
||||
|
|
м = ( 2 -2 1 0\ |
|
|
w _ (-1 2 -1 0\ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(-1 |
|
1 |
0 |
- lj* |
|
|
М2- |
|-1 |
О |
О |
l) |
|
|
|
|
|
|
|||
и, далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L—(-1 !?)■ |
|
|
лг |
|
|
|
|
-г) |
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, матрица К преобразует матрицу U к виду |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
12 0 |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Л = |
-4 |
-7 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составляющие матрицы U: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(2 |
-2 |
|
7 |
-12^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г—10 |
4 |
-2 |
8 ' |
|
|
||
|
|
|
|
3 -3 |
|
10 -17 |
|
|
U2 |
K2/^2^2XSl |
-18 8 -4 14 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
-4 |
|
13 -22 « |
|
|
-16 |
8 |
-4 |
12 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
к2 |
-2 |
|
7 |
-12, |
|
|
|
|
|
|
|
I - 8 |
4 |
- 2 |
Ч |
|
|
|||
2. Приведем теперь матрицу U к диагональному виду. Для этого разобьем соб |
||||||||||||||||||||||||
ственные значения на четыре группы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Х{1)= 1, |
|
Х«>— 1, |
|
Х^ = 2, |
Х<4>= -2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-12 12 -24 36^ |
|
|
|||||||
|
Ax« 0 |
- (О - |
Х(2>£ 4)(U - |
Х<3,£ 4> W - |
Х<4)£ 4) = |
-18 |
18 |
-36 |
54 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-24 |
24 |
-48 |
72 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-12 |
12 |
-24 |
36) |
|
|
|||
Примем |
|
|
|
|
( 2) |
'о |
0 |
-18 |
36\ |
3 |
A2(i/) = (£/ - Xa)E4) ( U - № E A) ( U - \ W E a) = 0 |
0 |
-24 |
48 |
* 1 = 4 . |
||||
Л |
0 |
0 |
-30 |
60 |
10 0 |
-18 |
36, |
||
'3' |
|
|
|
|
|
-36 |
2 4 - 1 2 |
24\ |
||
4 |
; |
|
Д 3<£/) = (£/— Х(1)£ 4) Ш - |
Х<2)£ 4) ((/ - |
Х(4)Я 4) = |
-72 |
48 |
-24 |
48 |
|
*2 = 5 |
|
-72 |
48 |
-24 |
48 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Г 36 |
24 |
-12 |
24, |
|
Примем также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1] |
|
|
|
|
'-24 |
О |
0 |
24] |
|
*з = |
2 |
; |
Д4Ш) = (f/ — Х0)£4) W - |
\ {г)Е4)(U - |
Х(3)£ 4) = |
-36 |
0 |
0 |
36 |
|
2 |
-24 |
0 |
0 |
24 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
И 2 |
0 |
0 |
12, |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 4 = |
2 |
|
|
|
|
|
|
х1/
Преобразующая матрица
(2 3 1 2
3 4 2 3
К = (К } К 2К 3 К 4) = 4 5 2 2 2 3 11
а
|
|
|
|
|
1 |
- 1 |
2 |
- |
3' |
|
|
м=к~1= |
0 |
0 |
-1 |
|
2 |
||
|
|
- 3 |
2 |
- 1 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М х = (1 |
-2 2 -3). |
М2= (0 |
0 -1 |
2). |
Мэ= (-3 |
2 -1 2), Af4 = (i Q 0 |
|||
Без |
вычислений |
ясно, |
что |
|
— |
—1, |
A2 = )S ^ ~ -1 , Д3 = |
||
Л4 = Х^) = -2 . Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
/1 |
0 |
0 |
O'! |
|
|
|
|
|
Л** |
0 - 1 0 0 |
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
(о |
оо |
-г, |
|
|
|
Составляющие матрицы U: |
|
|
|
/0 0 3 |
-6] |
|||
|
(2 -2 4 |
'6 ' |
|
|||||
их= к{\ ум |
3 - 3 6 |
"9 |
и2=к2л 2м2= |
0 0 |
4 |
|
-8 |
|
|
4 -4 8 -12 1 |
|
0 0 5 -Ю |
|||||
|
,2 -2 4 -6; |
|
\0 0 3 |
-6, |
||||
|
(-6 4 -2 |
|
'“ 4 0 |
0 |
4] |
|||
г/3 = /С3ЛзА/з= |
-12 8 -4 8 |
£/4=Х4Л4А/4 = |
-6 |
0 |
0 |
6 |
||
-12 |
8 - 4 8 ’ |
-4 |
0 |
0 |
4 |
|||
|
-6 |
4 -2 |
|
\"2 |
0 0 2, |
|||