книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Посвящаю своей верной подруге и супруге Алле Гарегиновне, без постоянной поддержки и помо­ щи которой эта книга вряд ли была бы написана

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие прикладные задачи, с которыми приходится иметь дело на практике, связаны с рассмотрением систем дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений, обычно нестационар­ ных и имеющих нередко высокий порядок. Точное решение таких систем, даже линейных, удается получить лишь в исключительных случаях, поэтому приходится прибегать к приближенным методам интегрирования. Развитие теории в этой части идет по различным направлениям. Для линейных нестационарных систем многообеща­ ющим и плодотворным представляется применение методов асимп­ тотического интегрирования и преобразования уравнений в сочета­ нии с методами матричной алгебры.

В последние годы методы матричной алгебры, вслед за методами операционного исчисления, все в большей мере внедряются в при­ кладные науки. Это объясняется, во-первых, тем, что в матричной записи громоздкие выражения и сложные преобразования принима­ ют компактный и ясный вид, что способствует экономному и на­ глядному изложению; во-вторых, аппарат матричной алгебры хоро­ шо приспособлен для использования ЭВМ. Эти преимущества осо­ бенно заметны в случае линейных систем уравнений высокого порядка.

В принципе все те задачи, которые решаются методами матрич­ ной алгебры, могут быть решены и без использования аппарата матричного исчисления, но в последнем случае более вероятна та­ кая ситуация, когда из-за громоздкости и сложности получающихся выражений, необходимости проведения утомительных вычислений, трудности решения задачи становятся непреодолимыми.

Сейчас имеется немало монографий по теории матриц, и все же потребность в таких книгах, где методы матричной алгебры были бы представлены в действии, в приложениях, все еще велика.

В 1973 г. издательство «Наука» выпустило мою книгу «Матрич­ ные и асимптотические методы в теории линейных систем», посвя­ щенную описанию основных методов изучения систем, прежде все­ го линейных. Объектом рассмотрения в этой книге являлись те ти­ пы уравнений, которые обычно встречаются в механике, теории управления и в других прикладных науках.

ТЕОРИЯ МАТРИЦ

ГЛАВА I

МАТРИЦЫ

§ 1.1. Исходные определения и обозначения

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов (объектов) некоторого класса Ж. Матрицы могут быть набраны из объектов самой разной природы (чисел, векторов и т.п.). В этой книге почти всегда (кроме некоторых специально ого­ вариваемых случаев) под классом Ж подразумевается какое-нибудь числовое поле.

Объекты, из которых составлена матрица, называются ее эле­ ментами. Положение элементов в матрице обычно отмечается дву­ мя индексами; первый индекс указывает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых расположен данный эле­ мент. При этом матрица представляется в виде

Число строк и число столбцов матрицы характеризуют ее раз­ меры. Матрица, состоящая из т строк и п столбцов, называется прямоугольной матрицей с размерами т х п или т х «-матрицей.

Прямоугольные матрицы с размерами т х 1 и 1 х п называются соответственно столбцовой и строчной матрицами. Для столбцо­ вой А и строчной А' матриц можно ограничиться одноиндексным обозначением элементов:

(а '

Для компактности записи столбцовую матрицу принято представ­ лять и так:

А = col (а{ а2 ап).

Строчные и столбцовые матрицы иногда будем называть вектора­ ми. Сокращенно ш х «-матрицу будем обозначать (aik) mn или же

одной прописной (или строчной) буквой, например, А, имея в виду, что A — (alt)ra

Прямоугольная матрица, у которой число строк и число столб­ цов одинаковы, называется квадратной матрицей. Число п, равное числу строк (столбцов) квадратной матрицы, называется ее поряд­

Предполагается, что с основными свойствами определителей чита­ тель знаком.

Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), ес­ ли ее определитель равен нулю, и невырожденной (неособен­ ной) — в противном случае.

Определитель

ся главными. Если А — квадратная матрица, то, в частности, глав­ ным минором является ее определитель.

Если среди миноров прямоугольной матрицы А с размерами т х п имеется отличный от нуля минор порядка г, в то время как все миноры более высокого порядка равны нулю, то число г называется

рангом матрицы и записывается rank А = г. Очевидно, что г < т, п. Ранг невырожденной квадратной матрицы совпадает с ее порядком. Ранг вырожденной квадратной матицы меньше ее порядка.

§ 1.2. Сложение матриц и умножение матриц на число

Для матриц с одинаковыми размерами т х п вводится операция сложения матриц, определяющая сумму матриц. Суммой прямо­ угольных матриц А = (а^) и B = (b .j) одинаковых размеров

т х п называется т х л-матрица С = (с/у), элементы которой рав­ ны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

С = А + = аи + bi} (/= 1, 2, .... щ; j = 1, 2, ..., п).

Операция сложения матриц обладает переместительным и сочета­ тельным свойствами:

1) Л + В = В + Л \ 2) (А + В ) + С = ^А + (В + С).

Здесь А, Я, С — прямоугольные матрицы одинаковых размеров. Матрица, все элементы которой совпадают с нулем (поля Ж )}

называется нулевой матрицей. Если А — произвольная прямо­ угольная матрица с размерами т х п, а О — нулевая матрица с те­ ми же размерами, то

А + О — А.

Разность двух прямоугольных матриц с одинаковыми размера­ ми определяется равенством

А — В — А-\- (—В),

где (—В) — матрица, составленная из элементов матрицы В, взя­ тых с обратным знаком.

Две матрицы А и В равны друг другу тогда и только тогда, ког­ да они одних и тех же размеров и их соответствующие элементы равны меяеду собой, т.е.

А — В «=> aij — bi} (г'= 1, 2, ..., т\ ; = 1, 2,...., п).

Множество всех прямоугольных матриц с одинаковыми размерами, с операцией сложения, введенной выше, представляют собой аддитивную группу. Роль нуля в этой группе выполняет нулевая матрица, а роль элемента, противоположного данно­ му элементу В , играет матрица —В.

Произведением матрицы А = (<2iy) на число а из 3? называется матрица С — (ciy), элементы которой получаются из соответствую­ щих элементов матрицы А умножением на число а, т.е.

С = аА <=> с^ = аа^ (i = 1, 2 , т; j = 1, 2, ..., п).

Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

здесь А и В — прямоугольные матрицы одинаковых размеров, а а, {3 — числа из .ЯГ.

§ 1.3. Умножение прямоугольных матриц

Для двух матриц, между размерами которых имеет место определенное соотношение, указываемое ниже, вводится опера­ ция умножения матриц, определяющая произведение двух мат­ риц. Произведение матриц А и В обозначается либо АН, и в этом случае говорят, что матрица А справа умножается па В

же самое, матрица А слева умножается на В). Говоря «произ­ ведение матрицы А на В», мы будем иметь в виду результат умножения матрицы А справа на В (или, что то же самое, результат умножения матрицы В слева на Л), т.е. АВ.

Произведением АВ двух матриц А и В называется матрица С, у которой элемент ciy., стоящий на пересечении /-й строки и у-го

столбца, равен произведению г'-й строки матрицы А на у'-й столбец матрицы В. В свою очередь произведение строки на столбец опре­ деляется как сумма произведений соответствующих элементов строки и столбца, а именно:

Операция умножения строки на столбец, определяющая произ­ ведение строки на столбец, применима тогда и только тогда, когда число элементов строки (первого сомножителя) равно числу эле­ ментов столбца (второго сомножителя). Поэтому операция умноже­ ния матрицы А на матрицу В применима тогда и только тоща, ког­ да число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Итак, пусть

B = (b tJ) (i = 1, 2,..., т1; у = 1, 2,..., п')

и п = т . Тогда

АВ = С =