книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

ГЛАВА 3

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В /2-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ 3.1. Кольцо линейных операторов

Линейный оператор, который каждому вектору х из многомерного векторного пространства R соотносит некоторый вектор у из того же пространства R, будем называть линейным оператором в R.

Рассмотрим совокупность всех линейных операторов в R. В этой совокупности операции сложения и умножения естественно ввести так. Пусть А и В — операторы, соотносящие вектору х векторы У1 = Ах, у2 = Вх. Тогда суммой операторов А и В назовем опера­

тор С = А + В такой, что

У1 + у2= (А + В)х = Сх.

Далее, пусть А — оператор, соотносящий вектору у вектор 2 , а В — оператор, соотносящий вектору х вектор у:

Тогда произведением АВ операторов назовем оператор С = АВ, соотносящий вектору х вектор z:

z = АВх = Сх.

Эти операции сложения и умножения, как легко проверить, об­ ладают следующими свойствами:

В рассматриваемой совокупности, наряду с оператором А, име­ ется также обратный (противоположный) оператор (—А).

В силу свойств (3.1.1) и последнего замечания совокупность всех линейных опе­ раторов в «-мерном пространстве R образует некоммутативное кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор Е, который каждому вектору xER соотносит тот же самый вектор: Ех=х.

Пусть у = Ах (х, у G R). Через х и у обозначим столбцовые матрицы, элементами которых служат координаты векторов х и у в базисе ер е2, ...» еп. Тогда у = А х, где А — квадратная матрица

порядка га, отвечающая в данном базисе оператору А. Линейный оператор А, матрица базисных векторов Г и матрица А связаны друг с другом равенством (см. (2.6.9))

Выбором базиса устанавливается изоморфное соответствие между кольцом ли­ нейных операторов и кольцом квадратных матриц п-го порядка. В самом деле, сум­ ме и произведению двух операторов А и В соответствуют, как это следует из (3.1.2), сумма и произведение квадратных матриц А и В, а произведению числа а из на линейный оператор А отвечает произведение того же числа на матрицу А. Наконец, единичному оператору Е отвечает единичная матрица Е = (6fj).

s 3.2. Матрицы линейного оператора в разных базисах

где Т — неособенная квадратная матрица порядка п, и линейный оператор А, который произвольному вектору х G R соотносит неко­ торый вектор у G R . Пусть А и А, — матрицы линейного операто­

ра А в базисах Г и Г 2 соответственно. Тогда согласно (3.1.2)

Умножая второе равенство (3.2.2) справа наГ”1, получим с учетом (3.2.1)

АГ = %>ТАуТ~1.

Сравнивая последнее соотношение с первым равенством (3.2.2), на­ ходим

Разрешая (3.2.3) относительно Ар получим

Две матрицы А и В, связанные друг с другом соотношением ви­ да (3.2.3) или (3.2.4) называются подобными.

Таким образом, одному и тому же линейному оператору в раз­ личных базисах отвечают матрицы, подобные между собой.' Матри­ ца Т, связывающая эти матрицы, является матрицей преобразова­ ния координат при переходе от первого базиса ко второму.

З а м е ч а н и е 3.2.1. Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, поскольку каждая из подобных матриц получается из другой путем умножения слева и справа на неособенные матрицы.

Определители подобных матриц равны друг другу. Это следует из свойства определителя произведения матриц.

§ 3.3. Обратный оператор

Принимая во внимание, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса в R, можно ввести понятие

определителя линейного оператора, подразумевая под этим опре­ делитель матрицы линейного оператора в каком-нибудь базисе. Определитель линейного оператора, как и определитель матрицы, обозначается символами (А| и det А.

Оператор А называется особенным (неособенным), если |А | = 0 (соответственно | А | ^ 0 ). Если оператор неособенный, то

1)из Ах=0 следует х = 0;

2)AR = R, т.е. векторы Ах (Vx € R) заполняют все простран­ ство R.

В самом деле, если Ах = 0 , то в некотором базисе %

Ах = 0,

откуда, так как |А | ^ 0 , х = 0. Далее, пусть у — произвольный вектор пространства R, у — столбцовая матрица, составленная из координат вектора у в базисе а А — матрица линейного опера­ тора А в этом базисе. Так как А — невырожденная матрица, то для любой столбцовой матрицы у существует столбцовая матрица х, определяемая равенством

Отсюда у = Ах.

Полученному матричному соотношению соответствует вектор­ ное равенство

У — Ах ( x . y e R ) ,

т.е. рассматриваемый (произвольный) вектор у G R есть вектор ви­ да Ах (х G R). Значит, действительно, векторы Ах (Vx £ R) за­ полняют все пространство R.

Матрицу А-1 линейного преобразования (3.3.1) можно рассмат­ ривать как матрицу, соответствующую обратному оператору А-1 в

данном базисе пространства R. Оператор А-1 также является ли­ нейным в R и

АА"1 = А_1А = Е,

что немедленно следует из равенств:

у = Ах, х = А-1у.

§ 3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и квадратной матрицы

Вектор х G R называется собственным вектором линейного оператора А, а число X е X — его собственным значением, если

матрица, элементами которой служат координаты вектора х в этом базисе. Имеем, учитывая (3.1.2),

Ах = Alfjc = ЖАх, Хх = = 2>\х.

Отсюда, в силу (3.4.1),

&Ах = &\х,

и, значит,

Матричное равенство (3.4.2) в свою очередь эквивалентно системе алгебраических уравнений

Для того чтобы система линейных однородных уравнений (3.4.3) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был бы равен нулю:

Уравнение (3.4.4) представляет собой алгебраическое уравнение л-й степени относительно X и называется характеристическим уравне­ нием, Многочлен | А — Х£| называется характеристическим много­ членом.

Каждое собственное значение X линейного оператора А является корнем характеристического уравнения (3.4.4). И наоборот, каждо­

Допустим противное, а именно что в условиях леммы собственные

Пусть, например, ак Ф 0.

Равенство (3.4.6) умножим слева на А. Получим, учитывая

Теперь равенство (3,4.8) умножим слева на А. Придем к равенству

Из равенства (3.4.9) вычтем равенство (3.4.8), умноженное на Х2. Получим

Повторяя этот прием, в конце концов придем к равенству

Однако последнее соотношение не может выполняться, так как в левой части, согласно условиям леммы и сделанному предположе­ нию о существовании не равного нулю коэффициента а А, все со­

множители отличны от нуля. Полученное противоречие доказывает лемму. ■

| 3.5. Линейные операторы и матрицы простой структуры

Линейный оператор А в л-мерном пространстве R может иметь не более чем л линейно независимых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет п различных корней, то one-

ратор А имеет точно п линейно независимых собственных векторов. Если характеристическое уравнение имеет к различных корней (к< п), то число линейно независимых собственных векторов мо­ жет быть и больше, чем к, и даже равно п.

Линейный оператор А в п-мерном векторном пространстве на­ зывается оператором простой структуры, если А имеет п линей­ но независимых собственных векторов.

Пусть А — оператор простой структуры и gp g2, ..., g„ — ли­

где

( V i

У =

Хих„

п п

— столбцовая матрица, элементами которой служат координаты вектора Ах в базисе Таким образом, воздействие оператора про­ стой структуры А на вектор х сводится к «растяжению» составляю­ щих этого вектора по собственным направлениям, порожденным

Соотношения (3.5.1) эквивалентны одному матричному равен­ ству

A& = &At

где

О

V

Значит, оператору простой структуры А в «собственном» базисе g,, g2, ..., g#J соответствует диагональная матрица.

В произвольном базисе оператору простой структуры А соответ­ ствует матрица А, подобная диагональной матрице:

А = КЛК~1.

Матрица, подобная диагональной матрице, называется матрицей простой структуры.

Итак, оператору простой структуры во всяком базисе отве­ чает матрица простой структуры, и наоборот.

§ 3.6. Расщепление «-мерного пространства

Пусть R, и R2 — подпространства «-мерного пространства R. Если Rj и R2 не имеют общих векторов, кроме нуля, и любой век­ тор х из R представляется в виде

то говорят, что пространство R расщепляется на два подпростран­ ства R: и R2 или что пространство R разлагается в прямую сумму

пространств RLи R2. Это разложение записывают так:

Представление вектора х в форме (3.6,1) единственно. Действи­ тельно, допуская, что возможно еще другое представление

после вычитания (3.6.3) из (3.6.1) придем к равенству двух векто­ ров: Xj — iij е Rx и х2 — х2 е R2, что невозможно, ибо у Rx и R2 нет

общего ненулевого вектора.

Т е о р е м а 3 . 6 . 1 . Если п-мерное пространство R расщеп­ ляется на два подпространства Rx и R2, т.е.

R = Rx + Rj»

то сумма размерностей Rj и R2 равна п.

торы fp f2, ..., fk, gA, g2, .... g/ линейно независимы. Действитель­ но, пусть

Левая часть последнего равенства есть вектор из Rlt а правая часть — из Rj. Поскольку у непересекающихся подпространств R, и R2 общим является только нулевой вектор, то

е,, е2, ...» еп пространства R. Каждый из этих векторов может быть представлен как сумма двух векторов из Rj и R2 и, значит, как ли­

Применяя к системе векторов ер е2, ...» еп и fp ..., g/ лемму 2.2.2, будем иметь

§ 3.7. Проекционные операторы и матрицы

Пусть дано произвольное расщепление линейного пространства R на два подпространства S и Т: R = S + Т. Тогда любой вектор х G R раскладывается, и притом единственным образом (см. § 3.6), на сумму двух векторов из S и Т:

Вектор x s называется проекцией вектора х на подпространст­ во S, параллельной подпространству Т. Аналогично, хг называет­

ся проекцией вектора х на подпространство Т, параллельной под­ пространству S.

Пусть Р — оператор, осуществляющий проектирование про­ странства R параллельно подпространству Т. Этот оператор опреде­ ляется равенством Рх = х5, где х — произвольный вектор из R, а

xs — его проекция на S. Очевидно, что Р является линейным опе­ ратором. Равенство (3,7.1) можно записать так: