книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Здесь т1> т2 > > mt, причем каждый многочлен я|к(Я) есть де­ литель предыдущего. Пусть е,, е2, ..., ef — порождающие векторы подпространств I,, 12, ...»1Г Составим базис всего пространства R из

Здесь afy — элементы р-го столбца матрицы Аи.

Про квазидиагональную матрицу, диагональные блоки которой являются матрицами типа (4.6.4), говорят, что она имеет первую естественную нормальную форму.

Если принять расщепление пространства согласно теореме 4.5.6, то в соответствующем базисе матрица оператора также будет квазидиагональной матрицей с диагональными блоками вида (4.6.4), только в данном случае характеристический многочлен каждого ди­ агонального блока будет степенью неприводимого в поле Э? много­

множителем минор (/ — 1)-го порядка и потому делится без остат­ ка на D j _ [(X). Следовательно, любой минор /-го порядка, а значит

к-го порядка матрицы ХЕ — А, где А — матрица оператора А в каком-нибудь базисе, не зависит от выбора базиса.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А и А — две матрицы оператора А в разных базисах. Соответствующие характеристические матри­ цы связаны друг с другом соотношением

Х Е - А = Т ~ 1(ХЕ — А)Т.

Покажем сначала, что общие наибольшие делители матрицы ХЕ — А и С ( \ Е — А), где С — произвольная невырожденная мат­ рица, совпадают. Пусть С ~ А = (aiy). Тогда /-я строка мат­

рицы С(ХЕ— А) имеет вид

т.е. является линейной комбинацией строк матрицы ХЕ — А с не зависящими от X коэффициентами с.,, сп, ..., cin. Поэтому минор

С ~1[С(ХЯ— А)] = ХЕ — А. Это означает, что у матриц ХЕ — А и С(ХЕ — А) общие делители миноров к-го порядка (к = 1, 2, ..., п) совпадают.

Аналогичным образом устанавливается, что у матриц ХЕ — А и С{ХЕ — А), где С — произвольная невырожденная матрица, общие делители миноров к-то порядка совпадают.

Применяя полученный результат к матрицам ХЕ— А и Т ~ 1(ХЕ— А), а затем к матрицам Т ^ ^ Х Е — А) и Т ~ 1(ХЕ— А)Т,

приходим к заключению, что у матриц ХЕ — А и Т~'(ХЕ — А)Т об­ щие делители (в том числе и общие наибольшие делители) миноров Х-го порядка {к = 1, 2 , п) совпадают. Теорема доказана. ■

Итак, Dk{\) (к = 1, 2,..., п) являются инвариантами линейно­

го оператора и не зависят от выбора базиса в R. Разделив каждый член ряда (4.7.1) на последующий, получим другую группу инва­ риантов оператора А:

многочленами. Произведение всех инвариантных многочленов рав­ но характеристическому многочлену:

Д(Х) = |Х Я - А | = D„(X) = П ip(X).

p - i

Разложим инвариантный многочлен i (X) на неприводимые в поле Ж многочлены:

отличные от постоянной, называются элементарными делителями характеристической матрицы \Е — А или просто матрицы А.

Возьмем теперь в качестве матрицы оператора А матрицу, име­ ющую первую естественную нормальную форму:

А = diag (Ajj, А22>

где Ац (i — 1, 2, ..., t) — матрицы вида (4.6.4) с минимальными многочленами

как легко видеть, совпадает с ее минимальным многочленом:

Определитель квазидиагональной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков. Поэтому, учитывая (4.7.2), будем иметь

Вычислим далее Dn_ ДХ). Минор (л — 1)-го порядка элемента матрицы diag (ХЕт — Аи , Х Е т — At(), расположенного вне ди­

агональных клеток, равен нулю. Действительно, для получения этого минора нужно вычеркнуть из определителя | ХЕ — А | строку и столбец, на пересечении которых расположен рассматриваемый элемент. Эти линии пересекают два разных диагональных блока. Пусть, например, вычеркнута строка, которая пересекает блок ХЕ — А--. Тогда вертикальная полоса, содержащая остаток блока

/У/

вертикальной полосы, убеждаемся, что он равен нулю (каждое сла­ гаемое в этом разложении содержит определитель, у которого одна строка состоит из нулей).

Рассмотрим теперь минор элемента, принадлежащего одному из диагональных блоков, например, блоку ХЕт — Л/у.. Такой минор

где х(Х) — определитель блока, полученного из блока ХЕт — AJJ

после исключения строки и столбца, на пересечении которых рас­ положен данный элемент. В частности, минор элемента aim равен

является общим наибольщим делителем миноров (л — 1)-го порядка, отвечающих элементам матрицы ХЕт — АГ}. Так как ч|)ДХ) делится

4>ДХ). Значит,

(4.7.5)

отличными от единицы инвариантными многочленами оператора

элементарными делителями оператора А (и соответствующей мат­ рицы А). Отсюда следует единственность (с точностью до порядка расположения диагональных блоков) как первой и второй естест­ венных нормальных форм, так и нормальной жордановой формы матрицы оператора А, так как минимальные многочлены 4>Г-(Х) (i = 1, 2, ..., t) с точностью до порядка расположения диаго­

нальных блоков однозначно определяют все эти нормальные фор­ мы.

З а м е ч а н и е . Выше мы видели, что две подобные матрицы имеют одни и те же инвариантные многочлены. Но тогда эти мат­ рицы подобны одной и той же нормальной (например, жордановой) матрице и потому подобны друг другу. Таким образом, справедлива следующая

Т е о р е м а 4.7.2. Для того чтобы две матрицы с элементами из поля Ж были подобны, необходимо и достаточно, чтобы они обладали одними и теми же инвариантными многочленами.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ К КВАЗИДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ И РАЗЛОЖЕНИЕ ЕЕ НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ

§ 5.1. Дефект, матричного многочлена

Если в многочлене

/(X ) = а0Хт + а,Х™- 1 + ... + а т _,Х + ат ( а , € Ж )

скалярный аргумент заменить квадратной матрицей А, то получит­ ся матричный многочлен

/( А ) — а0Ат + а {А т~ 1+ ... + а т _ И + а тЕ п.

Вычислим дефект этого матричного многочлена. Будем считать, что 5Z — поле комплексных чисел. Пусть

/— diag {/^(Xj), / 2(^2)» •••»

—жорданова матрица, подобная матрице А, где

•W = К Е,, +

г. — степень элементарного делителя, отвечающего жордановой

клетке / у-(Яу.) (порядок блока Уу(Ау-)). Тогда вследствие того, что

Здесь / ( / ) = diag {/(/,), / ( / , ) ......./(У,)).

Согласно (5.1.1) дефект матрицы /(А ) равен дефекту матрицы / ( / ) . Дефект же квазидиагональной матрицы / ( / ) равен сумме де­ фектов диагональных блоков. Поэтому, обозначив через dj дефект

блока /(/у), будем иметь следующее выражение для дефекта мат­ рицы /(А):