книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем
..pdfТак как матрица квадратичной формы А является вещественной симметрической, то существует такая вещественная ортогональная матрица О, что
|
0~lA 0 = А = diag (kv Л2, |
Хп). |
|
Здесь Xlt Л2, |
Хп — собственные значения матрицы А. Учитывая, |
||
что О-1 = О1, при замене переменных |
|
|
|
|
х = 0 \ |
|
(6.5.13) |
получаем следующее выражение для квадратичной формы: |
|
||
|
Л(х, х) = |'Л | = £ Л #. |
(6.5.14) |
|
|
Ы1 |
|
|
Таким образом, справедлива следующая |
квадратичная |
форма |
|
Т е о р е м а |
6.5.2. Вещественная |
||
А (х, дс) = хТАх всегда может быть приведена посредством орто гонального преобразования координат к канонической форме (6.5.14), где Лр Л2, ..., Хп — собственные значения матрицы А.
Рассмотрим гиперповерхность. 2-го порядка, заданную с по
мощью квадратичной формы: |
|
|
П |
|
|
xrAx = ^ aikxixk = с |
(с = const Ф 0). |
(6.5.15) |
I, к = \
При ортогональном преобразовании координат (6.5.13) уравнение (6.5.15) принимает вид
6? |
|
f=i |
|
где |
|
е(-= sign у (е^ = 0 при |
= 0). |
Будем рассматривать матрицу А как матрицу некоторого симмет рического оператора А в некотором ортонормированном базисе & = (gx g2 ... g„) евклидова пространства R; при этом xL>х2, ..., хп
представляют собой координаты вектора х в базисе Тогда Л = diag (ЯА, ..., А.„) есть матрица оператора А в новом ортонормиро
ванном базисе Ш= |
(е15 е2, ..., еп), а |
£2, ..., £и — координаты век |
тора х в базисе |
Векторы базиса определяют направления осей ко |
|
ординат в пространстве R. Поворот осей координат определяется ор тогональным преобразованием: % — &0.
Новые оси являются осями симметрии центральной поверхности (6.5.15). Оси симметрии поверхности обычно называются главными осями. В связи с этим приведение квадратичной формы А (х, х) по средством ортогонального преобразования к канонической форме (6.5.14) называется приведением к главным осям.
Из (6.5.14) следует, что ранг г формы А(х, х) равен числу не равных нулю собственных значений матрицы А.
Вещественная квадратичная форма А(х, х) называется неотри цательной (положительно-определенной), если при любых значе ниях переменных
Л(х, х) > О (А(х, х) > 0, х Ф 0).
Аналогичным образом определяются неположительные (отрица тельно-определенные) квадратичные формы.
Из (6.5.14) видно, что вещественная квадратичная форма А(х, х) является неотрицательной (положительно-определенной) в том и только в том случае, когда все собственные значения матри цы неотрицательны (положительны).
Нак'онец, соотношение (6.5.14) позволяет получить следующие важные неравенства. Обозначим через АП1ах и Xrain соответственно
максимальное и минимальное собственные значения матрицы А квадратичной формы А(х, х). Тогда
£ |
4 1 * £ |
К 4 1 = |
1?. 4£1 * |
£ |
К41 = 4 .2 |
$ |
i=l |
i=l |
i |
/=1 |
1=1 |
i |
|
Но так как О — ортогональная матрица, то |
|
|
||||
|
|
£ у = W = хтООтх = * ' * = £ x l |
|
|||
|
|
i= 1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
п |
х} есть не чт0 иное, как квадрат ев- |
|||
Поэтому, учитывая еще, что ^ |
||||||
|
|
1 = |
1 |
|
|
|
клидовой нормы столбцовой матрицы х, из (6.5.14) получаем |
||||||
|
|
*miJWI2 < Х'АХ «S Хтах||х||2. |
(6.5.16) |
|||
$ 6.6. Эрмитовы формы
Все результаты § 6.5, установленные для вещественных квадра тичных форм, могут быть перенесены на эрмитовы формы
/2
Эрмитовой форме (6.6.1) соответствует билинейная эрмитова форма
Ж *. У) = £ |
(6-6-2) |
/, к = 1
Формы (6.6.1) и (6.6.2) можно представить в матричной записи так:
# ( х, х) = хтНх = хЧГх, |
(6.6.3) |
Я(х, у) = хтЯу = у*Н*х. |
(6.6.4) |
Здесь Я — эрмитова матрица, составленная из комплексных чисел Л/jt О"» “ 1) 2, ..., л).
Если f f рассматривать как матрицу некоторого эрмитова опе
ратора Нт в унитарном пространстве R в некотором ортонормированном базисе %= (е, е2 ... еп), так что Н'ё’= д>Н’, то
|
hik — (/Ре,, ek) |
(i, к = 1, 2, ..., |
л), |
|
H(x, у) — (fPx, у) = (х, IT у). |
|
|
6.6.1. |
Замена переменных. При замене |
переменных х = Т%, |
|
у — Тч\ билинейная форма (6.6.4) приводится к виду |
|||
|
Н(х, у) — |
Нт\ = Т]*Я£, |
|
где Й = Т^НТ, Н1= ТЧГТ. Если Т — невырожденная матрица, то Я и Я имеют один и тот же ранг. Ранг г матрицы Я называется
рангом эрмитовой формы.
Определитель матрицы Я называется дискриминантом формы. Эрмитова форма с вырожденной матрицей называется сингулярной.
6.6.2. Закон инерции. Если эрмитова форма приведена к виду
Г
Щх, х) = 2
i=J
где |
0 (i = 1,2, ..., г) — вещественные числа, а |
П
\i = ^ d i k xk (* = 2, ..., п) fc-i
— независимые комплексные линейные формы от переменных хр х2, х п, то, как и для квадратичных форм, число г равно ран
гу формы Я(х, х). Для эрмитовых форм справедлива следующая теорема, доказательство которой совершенно аналогично доказа тельству теоремы 6.5.1.
Т е о р е м а 6.6.1 ( з а к он и н е р ц и и э р м и т о в ы х форм).
При представлении эрмитовой формы Н(х, лс) в виде суммы квад
ратов |
|5f| 2) |
|
|
|
Н(х, х) = 2 |
*&5,. |
|
|
/ = |
1 |
|
где Я, ^ |
О (* = 1,2, ..., г) — вещественные числа, а |
£г — |
|
линейно независимые комплексные линейные формы от перемен ных лс,, х 2, ..., х п, число положительных квадратов и число отри
цательных квадратов не зависит от способа приведения формы к указанному виду.
6.6.3. Привидение эрмитовой формы к главным осям. Т е о р е м а 6.6.2. Эрмитова форма
П
Н (х, х) = ^ hikxix k — хтЯх = х*Н*х
всегда может быть приведена посредством унитарного преобразо вания координат x — U\ (UU* — Е) к канонической форме
н ( х , х ) = Л (|, !) = 2 Ц ,1 , |
(6.6.5) |
X=1 |
|
где Яр Я2, ...» Яч — собственные значения матрицы Н.
Справедливость теоремы следует из того, что (см. п. 6.3.4) эрмитова матрица Я' унитарно подобна диагональной матрице Л', по диагонали которой расположены собственные значения матрицы Я:
Н' = UMU~{ = UК 'U*.
В самом деле,
Я(х, х) = х*Я*х = x'U A W x = 5*ЛТ5 (5 = U~lx = СГх).
Эрмитова форма Я(х, х) называется неотрицательной (неполо жительной) , если при любых значениях переменных Я(х, х) > О (соответственно Н(х, х) «£0). Эрмитова форма Я(х, х) называется
положительно-определенной (отрицательно определенной), если при х Ф 0 Я(х, х) > 0 (соответственно Н(х, х) < 0). Из (6.6.5) вид но, что эрмитова форма неотрицательна (положительно-опреде ленная) в том и только в том случае, когда все собственные значения эрмитовой матрицы Я неотрицательны (положительны).
Наконец, из (6.6.5) непосредственно следуют неравенства
К ,, i |
1& « хЧГх « К,* £ |
1,1/. |
I = 1 |
г = |
1 |
где Xmin и Хтак — соответственно минимальное и максимальное соб ственные значения матрицы Я. Отсюда, так как
П
2 «Д, = l 'i = * 'W * = Х'х (VU- = £),
Г— 1
ах ' х представляет в свою очередь квадрат эрмитовой нормы стол бцовой матрицы .V,.получаем
WMI2< |
^ XnuJI*ll2- |
(6.6.6) |
М А Т Р И Ц Ы И Л И Н Е Й Н Ы Е Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я
ГЛАВА 7
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
§ 7.1. Производная и интеграл матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу, элементы которой явля ются некоторыми функциями от i:
A ( O e («/y(0) ( i = 1, 2,.... m; / = 1, 2, .... л).
Пусть aij(t) С С1(а, Ь)* Тогда под производной матрицы A (t) бу дем понимать матрицу, полученную из исходной матрицы путем
замены элементов |
на производные d a .j(t)/d t, т.е. |
|
d t ~ |
dt |
( i 1, 2, . . . , м , j — 1, 2, . . . , л ) . |
|
||
Производная матрицы обладает следующими легко доказывае мыми свойствами:
1) если С -г- постоянная матрица,** то
dC |
п |
d[CA{t)] |
_ |
r d M t ) |
d[A{t)C\ _ |
dA(t) _ |
dt ~ |
' |
dt |
~ |
dt ’ |
d t |
dt |
|
d|yl(/) + ДШ] _ |
rfA(f) |
d/Kf). |
|
Z) |
d t |
dt |
' dt |
* |
з) |
d [ A ( t ) B U )I _ |
dt &{t) + |
MO dt |
|
dt |
||||
и, вообще, |
|
|
|
|
|
|
d[A(t)B(t)] |
d № t ) A j t ) ] |
|
|
|
|
d t |
d t |
Под интегралом матрицы будем понимать матрицу, элемента ми которой служат интегралы от соответствующих элементов ис-
* С 1 {а, Ь) — общепринятое обозначение для класса функций, по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемых на промежутке (а, Ь), * * Мы будем называть матрицу постоянной, если ее элементами являются постоян ные функции.
ходной матрицы, т.е. |
|
|
|
|
|
||
\ |
A(t)dt = |
ft |
|
(i = 1, 2, |
m; / = 1, 2, |
n). |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
Предполагается, конечно, что все интегралы J а^(1)(11 существуют. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
Отметим следующие свойства интеграла матрицы: |
|
||||||
1) |
если A(t) = d B (t)ldf, то |
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
5 A(t)dt = B(l) - |
B(toy, |
|
|||
|
|
'o |
|
|
|
|
|
2) |
если C — постоянная матрица, то |
|
|
||||
|
t |
t |
|
t |
|
t |
|
|
J CA(t)dt = C$ A(t)dt, |
J A(t)Cdt = $ |
|
||||
|
i |
|
£ |
|
I |
|
|
3) |
5 [л (0 + |
5 ( 0 ] ^ = |
S Л ( 0 ^ + |
J я(*)Л; |
|
||
4) |
формула интегрирования по частям: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
<Ы<7) |
|
|
$ A ( i ) i ^ - u = л « ) Д ( ( ) - л ( г „ ) я « 0) - J ^ в ( 0 Л |
|
|||||
§ 7.2. Векторно-матричная запись линейных дифференциальных уравнений
Запишем в векторно-матричной форме различным образом представленные линейные дифференциальные уравнения.
1. Система линейных дифференциальных уравнений 1-го по рядка. Имеем
2 ai / 0 ^ ;=i
Обозначим
4 i
Л =
= i V '> * y + A (0
у- i |
|
|
и |
(*u |
|
|
• |
|
|
[*- |
^пп^ |
|
|
(''“ I. 2....... |
л). |
(7.2.1) |
X = • • • |
9 / = * * « |
n) |
/ ny |
Тогда система (7.2.1) запишется так: |
|
Bx + f. |
(7.2.2) |
Если А — невырожденная матрица, то по умножении (7.2.2)
слева на А~1 получим дифференциальную систему в нормальном виде (в форме Коши):
dx |
= U(t)x + h, |
(7,2.3) |
dt |
|
дде U = A ~ l B, h = A ~ lf .
2. Система линейных дифференциальных уравнений 2-го по рядка. Имеем
d2q.
2 434') y =lL
Обозначив
/ |
45 |
4‘>1 |
4? |
||
ч- |
43 |
4& |
|
|
|
« а |
4Й |
4?», |
d q ,
+ W » * + ф ) я J = V, (О
(г = 1, 2,..., т).
а = о , 1, 2), |
Ф = • • • |
систему (7.2.4) можем представить в виде
II
(7.2.4)
Ч '
• • t
Й
Lo({) ^ + L\(0 + Lz(t) (l = Ф(0- (7.2.5)
dt
Систему (7.2.5) легко привести к виду (7.2.2). С этой целью введем в рассмотрение блочные матрицы:
О Lc |
В = |
(L0 О |
/ = Фг |
х = |
'dq> |
А = LQ Ll |
о - и |
Ы |
|||
|
|
|
|
|
dt . |
Нетрудно проверить, что система (7.2.5) эквивалентна системе (7.2.2), если предположить, что матрицы А, В, f и х определены в соответствии с последними соотношениями. Действительно, под ставляя указанные выражения в (7.2.2), имеем
О L0\ |
(<М |
0 ^ |
/ |
|
|
dt2 |
—L, |
+ |
Ф |
|
dg_ |
|||
|
dt |
2/ U J |
V |
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем тождество
т =йя.= Т..42-
и систему
L(W + L1л ”= ~ L*q + 'Р’
которая совпадает с системой (7.2.5).
Е с л и L0 — невырожденная матрица, то система (7.2.5) может
быть приведена также к нормальному виду (7.2.3). В самом деле, пусть det L0 =&0. Из очевидного соотношения
|
|
|
А = |
(А> 0 \ |
0 |
Еm\ |
||
|
|
|
К ч ~ iL> ч |
Е,п |
о |
у |
||
находим |
|
|
||||||
|
|
m |
|
|||||
|
|
|
det А = det |
|
|
|
|
|
Но |
|
|
|
0 |
Б,т |
|
|
|
det |
/А» |
0 |
|
= (—1)” del Е = (—1)т |
||||
Lj |
L0 |
= (delLo) ’ det Ет |
0 |
|||||
Поэтому
det А = (—l)rn (det L0)2.
Из полученного равенства видно, что если L0 — невырожденная
матрица, то Л — также невырожденная, и поэтому система (7.2.2) приводима к виду (7.2.3). При этом
|
|
/_г-I г г- 1 / -Л |
(Ц> |
0 |
|
||
U= А~1В — |
|
0 |
о |
- и |
|
||
( f ~l f — I ~l- I /I \ |
|
J |
I |
\ |
|||
|
|
||||||
Ч) |
*->1 |
-*J0-' ^2 |
h = |
V*> |
|
||
|
m |
|
0 |
|
|
о |
/ |
3. Линейное дифференциальное уравнение. Рассмотрим диф |
|||||||
ференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
||
dn~lz |
|
|
dn 2z |
+ ...+ a n(t)z = b(t). (7.2.6) |
|||
|
+ a2 ( 0 ^ p f |
||||||
Положив |
|
|
|
|
d"~*z _ r |
|
|
Z = X . , |
|
dz |
— Xo, • • «1 |
|
|||
|
dr |
dtn~i |
*»* |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение (7.2.6) можем записать в виде системы уравнений |
|||||||
dx. |
|
dx. |
|
dx |
|
|
|
Ясно, что.эта система в векторно-матричной записи предстанет в виде (7.2.3), только в данном случае матрицы U и h будут иметь специфическую структуру, а именно:
0 |
1 |
0 |
0 |
' |
-----1 о о |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
и = |
|
|
|
» |
Л = |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
’о |
|
~ а п - 1 “ *«-2 |
- а , |
|
ь |
|
|
|
|
|||
4. Общий случай. Система вида
|
jk-i |
2 [ m d- % + + - + 4 |
|
|
(L = 1, ..., |
Обозначим |
|
Lv(0 = |
-6 |
/б») |
/(и) |
l m[ |
Lmm |
Будем иметь
? *
т).
.11 |
• ♦ f |
? т1
/ ] |
= ь ( о |
(7.2.7) |
|
|
ч'
,Q— • • •
L °1 % + L '7 F $ + + М = ч>(0. |
(7.2.8) |
Дальнейшее преобразование (7.2.8) можно выполнить следующими путями.
а) П е р в ы й |
способ. Положив |
|
|
||||
|
|
'0 |
0 |
|
0 |
А> |
|
|
|
0 |
0 |
|
А> |
0 |
|
|
|
А = • |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Li |
|
^ к - 2 |
^ - 1 |
|
0 |
0 |
L0 |
0 |
' |
|
> _1«? |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
df*-L |
|
^0 |
, |
* = |
/ = * * • |
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
9 |
о |
0 |
0 |
0 |
-- ч |
|
|
<р |
|
|
|
|
|||||
можем представить (7.2.8) в виде