книги / Основы автоматики
..pdf§ 7 .6 . ДИФФЕРЕНЦИРУВДИЕ ЗВЕНЬЯ
Идеальным дифференцирующим звеном называется авено, уравнедвижения которого имеет вид
|
|
|
ь |
|
(7.124) |
|
|
|
|
У ’ к й Г |
|
||
в |
операторной форме |
|
|
|||
|
|
|
у = крх |
(7.125) |
||
Передаточная |
функция звена |
|
|
|||
|
|
|
W(p) * кр |
(7.126) |
||
Примерок идеального дифференцирующего звена является га |
||||||
зогенератор (рис.7 .44). |
|
|
||||
Переходная функция зве |
|
|
||||
на еоть |
б -функция, или |
£=<р |
|
|||
функция Дирака (ряо .7 .4 5 ,а). |
|
|
||||
Практически входную ко |
|
У и тг |
||||
ординату |
нельзя |
изменить |
|
|
||
скачком. |
Поэтому при подаче |
|
|
|||
на вход |
эвена |
реального |
Рис.7.44. Пример идеального |
|||
скачка |
выходная координата |
|||||
дифференцирующего звена |
||||||
имеет |
форму импульса, вели |
|||||
|
|
|||||
чина которого определяется скоростью нарастания входного сиг
нала. |
|
|
|
Чаототная |
передаточная функция, |
л .а .х . и л.ф .х. |
звена опре |
деляются выражениями |
|
|
|
|
W(/0)) = k(oj |
; |
(7.127) |
|
= ZOlgAo) = 20lgA+20t9a) ; |
(7.128) |
|
|
У(со) = +90° |
|
(7.129) |
Л .а .х ., |
л.ф .х. и а .ф .х . идеального дифференцирующего явена |
||
изображены на рис.7.45. |
|
|
|
При увеличении частоты входных колебаний амплитуда выход |
|||
ных колебаний |
звена увеличивается. |
|
|
V lou-'-oo
0 и
6 II CD
8)
Рио.7.45. Характеристики идеального дифференцирующего звена:
а) переходная функция; <0 л .а .х . и л .ф .х .; в) а.ф .х .
В отличие от позиционных и интегрирующих звеньев колеба ния выходной координаты звена по фаве на воех частотах опере ж ал колебания входной координаты.
2. Дифференцирующее звано с замедлением
Дифференцирующим звеном о замедлением называется звено, дифференциальное уравнение движения которого имеет вид
Ту + у =к х |
(7.130) |
или в операторной форме |
|
{jp + t ) y = k p x |
(7 .I3 I) |
Передаточная функция звена |
|
Щр ) - Т Т гр |
(7Л 32) |
Примеры дифференцирующих звеньев показаны на рио.7.46. Для примера определим передаточную функцию дифференцирую
щей цепочки /? , С .
--------- |
lb |
|
^ГЦ-*г |
|
*=«. |
» ( W , |
«% . j l j |
||
|
||||
0 ------------ |
-1— 0 |
0 ---- Г L— |
0 |
|
|
<9 |
9 |
9 |
Рио.7 .46 .Примеры дифференцирующих ивеиьев о замедлением
В соответствии о формулой (2.46) получаем
W(p)« |
М Р ) |
в,(р) + гг(р) |
|
Тр |
(7.133) |
|
Л - + ц |
/ + гр |
||
|
где Т = В С .
Звено может быть предотавлено в виде последовательного сое динения апериодического эвена и идеального дифференцирующего звена (рио.7.47). В соответствии с этим дня определения пере ходной функции авена достаточно продиф ференцировать переходную функцию апериоДичеокого 8вена:
ч ж |
н я |
/+гр |
р |
|
|
|
|
|
») |
|
|
|
|
|
|||
<9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7.47. Изображение дифференцирую |
|
Рио.7.48 . Переходная |
||||||
щего звена о замедлением на структур |
|
функция дифференцирую— |
||||||
|
ных схемах |
|
|
|
цего |
звена о |
замедле |
|
|
|
|
|
|
|
|
нием |
|
|
|
_ |
d [ k ( i - e ' * ) |
к |
t |
|
(7.134) |
|
|
|
H(t)- |
d t |
= |
Т |
е |
Т |
|
При |
£ — <*» «( t |
) — 0 (рио.7.48). |
|
|
||||
При подаче |
на вход |
эвена |
постоянного сигнала по |
окончании |
||||
переходного процесса выходная координата равна нулю. Например, еоли на вход дифференцируют цепочки В , С подать постоянное напряжение, то о течением времени конденсатор зарядится до величины входного напряжения и не пропустит его на выход.
Чаогсиная передаточная функция, л .а .х . и л.ф .х. эвена опре деляются выражениями
W (/'со) - |
4 е0 |
; |
(7.135) |
|
w |
' |
1+juT |
* |
|
L(a)) =20lg |
- |
|
(7.136) |
|
|
3 |
V 1+согТт |
|
|
¥(ш) = 90° - |
arctg со Т |
(7.137) |
||
Аоимптотнчеокая л .а .х ,, |
л.ф .х. и а .ф .х . |
звена изображены |
||
на рио.7.49.
Аоимптотнчеокая л .а .х . звена поотроена по приближенному выражению для L (со ):
20l<jAco = 20L<j/c + ZOLgco при |
; |
M t 9 j f M l 9T "р« |
(7.138) |
С увеличением чаототы отношение амплитуды выходных колеба ний к амплитуде входных колебаний увеличивается, отремяоь в пределе к величине .
По фазе выходные колебания опережают входные. С увеличе нием чаототы фазовый одвиг уменьшается.
|
3. Общие овойотва дифференцирующих эвеньев |
|
|
X* |
При постоянном входном оигнале любой величины по окон |
||
ч е н |
переходного процесоа выходная координата звеньев |
равна |
|
НУ^Ю/ |
|
|
|
2. |
При входном оигнале, |
изменяющемся о постоянной скоро- |
|
0Пю |
, установившееся значение выходной координаты хеотко |
||
связано оо окороотью изменения входной координаты: |
|
||
|
У И - V |
, "*i‘ |
|
?. |
Звенья вносят положительный фазовый сдвиг. |
|
|
4. |
Звенья плохо "пропускают" колебания низкой |
частоты.От |
|
носительная амплитуда выходных колебаний звена уменьшается прщ снижении частоты входных колебаний. При увеличении чаототН входных колебаний относительная амплитуда выходных ко лебаний увеличивается. Звенья "подчеркивают" высокочастотные коде&ния.
Г л а в а УШ
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 8 .1 .ЗАДАЧИ, РЕШАЕКЫЕ ТЕОРИЕЙ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Втеории автоматического управления решаются оледущие основные задачи.
1. Разработка методов оинтеза, позволяющих обоснованно по дойти н выбору схемы сиотемы в целом, а также параметров и ха рактеристик ее элементов, чтобы автоматическая оиотема удов летворяла заданным качественным показателям (точность, быстро действие, помехозащищенность и т . д . ) .
2. Разработка методов анализа, позволяющих определить«удов летворяет ли спроектированная автоматическая оиотема предъяв ляемым к ней требованиям, и указывающих пути улучшения ее ка чественных показателей.
3. Разработка методов коррекции, указывающих пути и сред ства улучшения или изменения статических и динамических овойотв автоматических оистем.
4 . Разработка методов экспериментального исследования спроектированных и построенных автоматических оиотем, позволя ющих учеоть все особенности дейотвий этих сиотем в реальных условиях.
Вдальнейшем ооновное внимание уделяетоя рассмотрению наи более эффективных методов анализа и коррекции автоматических сиотем. Попутно отмечаютоя трудности, возникающие при решении этих задач.
$ 8 .2 . ОВЦИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Переходные и установившиеся процессы в линейных автомати ческих оиотемах могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Общий метод составления этих уравнений ооотоит в
сведущем.
1. На основании общих законов механики, гидравлики, электРотехники, теплотехники и т.д . составляются дифференциальные уравнения для каждого элемента автоматической онотемы (см.гла вы ш-У1). Эти уравнения могут быть линейными и нелинейными.
2. Производится линеаризация дифференциальных уравнений по методу, изложенному в § 2.2 (если, конечно, подобная линеа ризация вообще допустима).
3. Линеаризованные дифференциальные уравнения предотавляютоя в операторной форме запиои. Вообще говоря, это делать не обязательно, но "алгебраизация" дифференциальных уравнений существенно облегчает дальнейшие операции о ними.
4 . Совокупность уравнений отдельных элементов решаетоя оовнеотно относительно интереоупщей нас величины (обычно относи тельно управляемой величины или ошибки).
В результате этих операций получаем линейное дифференциаль ное уравнение всей автоматической оиотемы в целом.
Решение системы дифференциальных уравнений методом исклю чения промежуточных переменных при наличии в автоматической си стеме большого числа элементов является трудоемкой задачей. Во многих олучаях дифференциальное уравнение всей автоматической сиотемы составляется быотрее, проще и нагляднее при использо вании передаточных функций отдельных звеньев (см.§ 2 .3) и воей системы в целом.
§ 8 .3 . ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим блок-схему автоматической сиотемы (рис,8 .1 ). В отличие от рассмотренной в § I . I общей охемы замкнутой сиотемы (см.рио.1.5) здеоь формирующий, уоилительный и исполнительный элементы представлены в виде одного управляющего элемента (УЭ), в чзнерительный элемент уоловно отнесен к управляемому объекту (УО). На схеме (рис.8.1) для упрощения показано лишь одно воз мущающее воздействие f ( t ).
|
Hi) |
u ft) |
Ц(Ь) |
а э |
а о |
b ( t )
Рис.8 .1 . Блок-схема автоматической сиотемы
В линейных оиотемах справедлив принцип суперпозиции.По этому реакция оистемн на задающее воздействие g i t ) и воз мущающее воздействие f (£ ) могут рассматриваться независимо.
I . Реакция оистеиы на задающее воздействие
Поломи в автоматической сиотеме (рио.8.1) f i t ) = О. Пуоть
W y ( p ) = l F |
вАр) |
.1) |
(8 |
||
|
с,(Р) |
|
- передаточная функция управляющего элемента ( и - управляю-
щее воздействие, х= а - |
у |
- ошибка системы). |
||||
Ч |
(р) |
= |
7Г |
Во(р) |
(8.2) |
|
Со(Р) |
||||||
|
||||||
|
|
|
f~o |
|
||
- передаточная функция управляемого |
объекта |
по управляющему |
||||
воздействию и( у - |
управляемая величина). |
|
||||
Перейден от блок-схемы (рио.8.1) к структурной схеме авто |
||||||
матической системы |
(ри о .8 .2). На этой схеме |
элементы сиотемы |
||||
показаны в виде прямоугольников, внутри которых записаны пе редаточные функции элементов.
Передаточная функция последовательно соединенных управляю щего элемента и управляемого объекта
w ( p ) = W y ( p ) w 0(p) |
Ш |
в,(р) __ в (р) |
(8 .3) |
||
W |
W |
С(Р> |
|||
|
|||||
|
|
||||
представляющая собой отношение |
управляемой величины |
у |
к Ошиб |
||
ке системы |
х , называется п е |
р е д а т о ч н о й |
ф у н к |
||
ц и е й |
р а з о м к н у т о й |
с и о т е м ы . Такое |
наава- |
||
вне выбрано не олучайно. При обрыве |
обратной овязи (например, |
в точке О на рис.8.2) передаточная |
функция W (р ) полноотью |
определяет овязь между задающим воздействием £ ( t ) и управля
емой величиной y ( t ) * |
|
|
|||
По передаточной функцииW(p ) |
(8.3) можно ораву найти диф |
||||
ференциальное уравнение разомкнутой сиотеиы |
|
||||
|
|
|
С ( р ) y ( t ) ~ |
B ( p ) x ( t ) |
(8 .4) |
Полином С ( р ) , огоящий |
V (р) |
|
|||
в левой |
части дифференциаль |
|
|||
ного уравнения (8 .4) |
и пред |
|
|
||
ставляющий ообой полином зна |
|
|
|||
менателя |
|
передаточной функции |
|
|
|
разомкнутой системы W ( p ) .на |
|
|
|||
вивается |
|
х а р а к т е р и |
Рис.8 .2 . Структурная |
охема |
|
с т и ч е с к и м |
п о л и |
автоматической оистемн |
|||
н о м о м |
р а з о м к н у |
|
|
||
т о й |
с и о т е м ы . |
|
|
||
По отруктурвой схеме (рис.8.2) ооглаоно формуле (7.22) для передаточной функции соединения звеньев о единичной отрицательной обратной овязью находим
|
Щ р ) |
|
|
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
_ w <p ) |
в ( р ) |
в ( р ) |
|
|
Р |
l + W ( p ) ~ С ( р ) * 8 ( р ) ~ |
Щ р ) |
(8-6) |
||
называется п е р е д а т о ч н о й |
ф у н к ц и е й |
з а м к |
|||
н у т о й с и о т е м ы . |
Она представляет |
ообой отношение |
|||
управляемой величины к задающему воздействию при отсутствии |
|||||
возмущающего воздействия. |
|
|
|
|
|
Из выражений |
(8,5) и (8.6) сразу |
же определяется |
дифферен |
||
циальное уравнение замкнутой системы |
|
|
|||
|
Щр ) у ( * ) = B(p) cj (t ) , |
|
(8 .7) |
||
где Ж / > ) = £ ( / > ) + £ ( / > ) |
- ж а р а |
к т е р и о т и ч е о к и й |
|||
п о л и н о м |
з а м к н у т о й |
с и о т е м ы . Он предотав— |
|||
ляет ообой оумму полиномов чиолителя и знаменателя передаточ ной функции разомкнутой оиотемы W( p ) (8.3) или, что то же оаное, полином знаменателя передаточной функции замкнутой ои отемы Ф ( р ) (8 .6 ).
Характериотичеокие полиномы замкнутой |
оиотемы D ( р) ъ |
разомкнутой оиотемы С( р ) отличаются друг |
от друга, поэтому |
и процессы в этих системах будут разными. |
|
Рио.8.3. Преобразованная |
Рис.8 .4 . Структурная схема ои- |
|
отруктурная |
схема автона- |
стемы при наличии возмуцащего |
тической |
системы |
воздействия |
Найдем выражение для ошибки оиотемы, используя понятие пе редаточной функции разомкнутой оиотемы. Для этого отруктурнуш охему (рис.8.2) преобразуем к виду рис.8 .3 . Очевидно, что обе эти схемы полностьш эквивалентны.
Для схемы (рис.8.4) ооглаоно формуле (7.21) имеем
|
х = |
1+ Щр) 9 = Ф. |
( Р ) 9 |
|
(8.8) |
||
|
|
|
|||||
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
$ х ( р ) = 1+W(p) |
с ( р ) |
_ |
с(р) |
(8 .9) |
|||
С(р)+В(р) |
В{р) |
||||||
|
|||||||
называется |
п е р е д а т о ч н о й |
ф у н к ц и е й з а м к |
|||||
н у т о й |
о и о т е м ы |
п о о ш и б к е . |
|
|
|||
Аналогично можно найти передаточнуш функцию замкнутой си стемы и по любой другой переменной (координате) оиотемы.
2. Реакция оиотемы на возмужавшее воздействие
Пуоть теперь задающее воздействие ^ (£ ) = 0, а возмущаю щее воздействие f ( t ) 4 0. Возмущающее воздействие может быть приложено в любой точке оиотемы. Обычно для удоботва его при-