книги / Основы автоматики
..pdfИсключив из этих уравнений переменные ъ и удс |
получим |
|
Wfp) = |
К * ( р ) |
(7.21) |
|
||
В формуле (7.21) знак плюо соответствует отрицательной об ратной связи, знак минус - положительной обратной связи.
г ~$+у |
г =х~у |
г^Х-у |
г- х- у |
Рис.7 .9 . Изображение на структурных схемах суммирования
ивычитания оитналов
Вавтоматических оистемах часто используется единичная отрицательная обратная овязь (рис.7 .8 ,г ) . Результирующую пе редаточную функцию такого соединения звеньев легко получить,
положив в формуле (7.21) WK- |
I и |
W (p): |
|
Ф(р) = |
w rp) |
(7.22) |
|
1+ W(p) |
|||
|
На рис.7.9 показано обозначение на структурных охемах опе раций суммирования и вычитания.
При определении результирующей передаточной функции соеди нений звеньев мы предполагали, что последующее звено не влия ет на предыдущее. Боли при соединении физических звеньев име ется влияние звеньев друг на друга, изменяющее их дифферен циальные уравнения, то такое соединение звеньев нужно рассма тривать как самостоятельное динамическое явено оо овоей пере даточной функцией.
§ 7А. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
I . Безынерционное звено
Безынерционным звеном называется звено, уравнение движения которого имеет вид
|
Рио.7.10. Примеры 60®* |
|
нерционнных звеньев |
Передаточная функция эвена |
|
W (p ) = к |
(7.24) |
Примерами безынерционного звена являютоя редуктор, делителъ напряжения, датчики угла, безынерционный уоилитель и др. (ри с.7.10). Инерционное запаздывание многих измерительных эле ментов автоматических сиотем (датчиков угла рассогласования»
|
фотоэлектрических датчиков, магнитоэлек |
|
Х„ |
трических датчиков и др.) мало, поэтому их |
|
очитают безынерционными звеньями. |
||
|
||
|
Пример изображения безынерционного зве |
|
|
на на структурных схемах показан на рис.7.11, |
|
ние * безынерционного |
Выходная координата безынерционного |
|
звена на структур- |
звена повторяет о точностью до козффици- |
|
ных охемах |
ента передачи к закон изменения входной |
координаты (рио.7.12).
Переходная функция безынерционного звена (ри о .7 .П )
H(t)=M l |
, , ft] |
|
(7.25) |
Частотная передаточная функция, логарифмические,амплитуд ная и фазовая,чаототные характеристики звена определяются вырахенияии
W(ju))=k |
|
(7.26) |
(J(O>) = 20lg W(j(y)=Z0l^A |
; |
(7.27) |
У (ш)= orvjW(/<«))=00 |
; |
(7.28) |
H(t)
и
К
-г 1 t
а
а)
Рис.7 .12 .Временная характерногига безынерционного звена:
а) при входном оигнале типа единичного окачка; й) при произ вольном входном оигнале
Логарифмическая амплитудная чаототная характеристика про
ходит выше оои частот при |
к >1 , ниже при к< 1 и совпада |
ет о ооью частот При к - I |
(рис.7 .12). |
Из графиков логарифмических чаототных характеристик видно, что звено равномерно пропускает колебания воех частот.
Вещественная и мнимая частотная характеристики равны соот ветственно
и(ш) = Re Щ и ) “ Яек =к
(7.29)
V(a)) =ImW(/cu) = Im А= 0 .
А .ф .х ., построенная по соотношению (7.29),вырокдаетоя в точку (рис.7 .13).
2. Апериодическое эвено 1-го порядка
Апериодическим звеном 1-го порядка называется звено, диф ференциальное уравнение движения которого имеет вид
Ту + у = кх |
(7.30) |
иля в операторной форме записи
(Тр + 1)у = к х
|
V |
|
//сек |
__■ М |
U |
|
|
* )
Рис.7.13. Частотные характеристики безынерционного звена: а) л .а .х .и л .ф .х .; б) а .ф .х .
Передаточная функция |
звена |
|
" V |
■ 7 Щ |
(7.32) |
|
Апериодическое звено 1-го порядка иногда называют аперио дическим звеном или инерционным эвеном. Пример изображения эве на на структурных схемах показав на рис.7.14.
Примерами апериодических звеньев являются двигатели по стоянного тока и двухфазные аоинхронные двигатели, тепловой
|
|
двигатель, усилители при учете инерционного |
|||||
U L |
запаздывания, |
цепочки |
И, С и И , |
L , мао- |
|||
|
|
|
если входной величиной |
считать |
|||
<+ Тр |
|
количество поступающего в единицу времени |
|||||
|
|
тепла |
Q |
, а |
выходной - |
температуру |
в какой- |
м п е 'а п ё р и о п ч в - |
либ° точкв ВНУ*РИ тела й Д Р - ( рис.7.15), |
||||||
ского эвена 1-го |
Для получения переходной функции звена |
||||||
туршхасхемахРУК~ необходимо решить дифференциальное уравне |
|||||||
|
|
ние (7.30) при уоловии, |
что входная |
коорди |
|||
ната х = х° |
и |
у (0) |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
01 - |
- е г ) |
|
(7.33) |
|
|
y ( t ) - h x ° [ l |
|
|
|||
Переходная |
функция (рис.7 .16,а) |
|
|
||||
М и
Тепловой
|
двигатель |
Д -Г7о-Р |
А |
|
Топливо |
а) |
*) |
|
ку \
а
>
U
в)
Рио.7.15. Примеры апериодических звеньев 1-го порядка
Рис.7.16. Переходная функция апериодического звена 1-го порядка
Постоянная времени звена Т характеризует инерционное за паздывание. Чем больше постоянная времени Т , тем больше инер ционное запаздывание в изменении выходной координаты по срав нению с изменением входной координаты (рис.7 .1 6 ,б).
При подаче на вход эвена постоянного оигнала по окончании переходного процеооа выходная координата звена у жестко связа на о входной:
(7.35)
Например, установившееся значение окорооти вращения электродви гателя постоянного тока при отоутотвии момента нагрузки опре деляется величиной поданного на двигатель напряжения.
Чаототная передаточная функция, л .а .х . и л .ф .х. звена определяютоя выражениями
|
|
/ +JCD Г |
|
|
(7.36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф П 0 1 д 1 Щ ш )1 =20tg f r +k- i Ti |
i |
(7.37) |
|
|
|
|
|||
|
|
Y(a») = ong'W(/ci))=orgA - a r g |
(/+jcor) |
= |
(7.38) |
|
|
= 0°-aPctgwT=-aPctgQ)T . |
|
||
|
|
|
|
||
|
Построение |
точного графика л .а .х . требует больших вычисле- |
|||
ний. Поэтому при расчетах САУ обычно строят асимптотические |
|||||
л .а .х . . |
|
|
|
|
|
|
Найдем выражения для низкочастотной и высокочастотной аоим- |
||||
птот л .а .х . . |
f |
_______ |
|
||
|
При чаототах с с « у - в выражении |
у f1 +ц)гТг' |
слагае |
||
мым |
и>гТг |
можно пренебречь по сравнению с единицей и Z.(co) |
|||
считать равным |
|
|
|
||
|
|
Z, (со) = 20 IgA |
|
|
(7.39) |
Низкочастотная аоимптота апериодического звена 1-го по рядка представляет ообой пряную линию, параллельную оои частот и отстоящую от нее на расстоянии 20 IgA . При частотах <v»~
L(u) = 20lg |
= 2 0tg -£• - 20 lg со |
(7.ад) |
Напомним, что шкала оси частот равномерна относительно Igco Из выражения для высокочастотной аоиыптоты л .а .х . видно, что она представляет собойпрямую линию с наклоном -20 дб/дек.
Рис.7.17. Л .а.х . и л.ф .х. апериодического звена 1-го порядка
В точке переоечения высокочастотной аоинптоты о осьв чаотот
|
2 0 1 9 ^ = 0 , J j . l |
(7 .И ) |
||
Отсюда |
находик, что высокочастотная аогашюта переоекает |
|||
ось частот |
на чаототе |
|
|
|
|
* |
к_ |
|
(7.42) |
|
w |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
Высокочастотная и низкочастотная асимптоты пересекается при |
||||
частоте (рис.7.17) |
|
|
|
|
|
ш |
|
|
(7.43) |
|
|
|
|
|
Построение асимптотической л .а .х . |
звена проще всего выпол |
|||
нить следуиции образом. На оси частот отмечают точку излома |
||||
асимптотической л . а . х . , |
звена соц = у- |
и через |
нее проводят вер |
|
тикальную линию. Правее этой вертикальной линии приводится пря
мая, |
проходящая через точку на оси частот |
с наклоном |
|
-20 |
дб/дек, |
левее - параллельно оси частот. |
|
|
Наибольшее отклонение действительной л.а.х* (пунктир на |
||
рис.7.17) от |
асимптотической имеет место на частоте |
(0и= у |
|
и равно |
|
|
|
20 IgA - 20 lg |
|
T |
» 2 0 lg y T |
* Здб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.ф.х. не |
зависит |
от |
коэффициента |
передачи |
звена. На |
||
частоте излома |
CJU = J - |
f(jj~ |
-45е. Л.ф.х. звеньев |
с |
различ- |
||
ны11И постоянными времени |
Tj |
и Т2 имеют |
одно и то же |
очерта |
|||
ние и лишь сдвинуты друг относительно друга по оои частот на величину ig -Ь- (ри с.7.18). Поэтому для построения л.ф .х. удоб
но пользоваться иаблонаыи, изготовленными для звена с постоян ной времени Г = I сек.
Рис.7.18. Л.ф.х. апериодических звеньев 1-го порядка о различ ными постоянными времени
Ия графиков л .а .х . и л .ф .х . видно, что о увеличением ча стоты входного сигнала звена увеличивается отрицательный фазо вый одвиг и уменьшается амплитуда колебаний выходной координа ты звена. Апериодическое звено 1-го порядка является фильтром низких частот. Оно хорошо пропускает колебания входной коорди наты низкой частоты и плохо - колебания высокой частоты.
Л.ф.х. звена можно по строить по амплитудной ча стотной характеристике
U |
А(ш) = |
г -J T iI |
(7.44) |
О |
|
у / + о ) Г |
|
|
и фазовой |
частотной |
харак |
|
теристике |
|
|
Рис.7.19. А.ф.х.апериодического |
У(ш) = - anctgcoT |
(7.45) |
|
|
|
|
|
звена 1-го порядка
тп по вещ ественной частотной характеристике
V(<o)* #etf(/u)-Be f+j ^ y = 1+ ц1Тг |
(7Л6> |
и ишшой ч^сторвой характеристике
ЦАшГ
V(cu)= ImW(ju>)=Im7T^ : = ~
Можно показать, что л.ф .х. звена имеет вид полуокружности (ри с.7.19).
3. Апериодическое звено 2-го порядка
Апериодическим звеном 2-го порядка называется звено, диф ференциальное уравнение движения которого имеет вид
Тг 'У+ТЛ + У = кх; |
(7Л 8) |
|
ищи в операторной форме |
|
|
(rty + fy > |
+ i ) y * x ; \ > \ |
( ? • « ) |
Передаточная функция звена |
|
|
" М |
- |
<7-50' |
Пример изображения апериодическогозвена 2-го порядка на структурной схеме приведен на рис.7.20,а.
Примерами апериодических звеньев 2-го порядка являются элек тродвигатель постоянного тока при учете индуктивности якоря, электрическая цепочка, гидроусилитель и др. (рис.7.21).
При условии ~ s. тг корни характеоистического полинома
звена |
D (р ) = Т*рг+ т^р +1 |
вещественные |
и он может |
быть |
представлен в виде |
|
|
|
|
где |
^ р ) =(ГуР + ' Ж |
я + / ) |
(7 |
.51) |
h I
С учетом выражения (7.51) передаточная функция
эвена может быть записана в виде
<+T,P+Vpl
<9 |
|
|
или в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
i |
л |
|
н т- т |
г,-т„ |
||
<+ЪР |
1+Т„р |
|
|
||||
|
w(p) = - 1-rjL |
||||||
5) |
|
|
р |
' +гзр |
|
' Ч |
/ 0 |
|
|
|
|
|
|
(7.54) |
|
|
|
|
|
В соответствии |
о выра |
||
|
|
|
жениями (7.53) |
и (7.54) апе |
|||
|
|
|
риодическое звено 2-го по |
||||
|
|
|
рядка может |
быть представ |
|||
|
|
|
лено |
в виде |
последователь |
||
|
|
|
ного |
или параллельного сое |
|||
|
|
|
динения двух апериодических |
||||
|
|
|
звеньев 1-го порядка о по |
||||
Рио.7 .20 .Изображения апериоди- |
стоянными времени Т? и Т^. |
||||||
|
Из отруктурного |
пред |
|||||
чеокого звена 2-го порядка на |
|
||||||
структурных охемах |
|
ставления апериодического |
|||||
звена 2-го порядка |
(рис.7.20,в) |
видно, |
что его |
переходная |
|||
функция равна разности переходных функций апериодического вве-
ва |
о коэффициентом передачи |
к |
T„ |
и постоянной |
времени |
|
Tj |
и апериодического эвена |
„ |
|
' |
j |
|
г коэффициентом передачи |
к - |
-4-. |
||||
и постоянной времени Т^: |
|
|
|
з |
|
|
|
( , - Л) |
|
ь |
^к |
(1 |
г |
|
г[1е |
1 |
Т,-\ Г |
|
||||
к |
|
|
|
|
|||
|
, |
|
_ |
L |
_ . |
. - l |
h |
|
* |
Нh |
|||||
i |
г г |
|
1 |
|
г |
|
|
(7.55)
График Н ( t ) эвена показан на рис.7.22. При подаче на вход звена постоянного оигнала х = х° по окончании переходного