книги / Основы автоматики
..pdfления широко приценяются переходная функция и функция веса.* Еоли на вход звена поступает ступенчатый сигнал 1(t) , где
ОО
Hi) =
t > о
то выходная величина будет определенный образом стремиться во времени к новому установившемуся значению.
Переходной функцией звена называется отношение реакции звена на отупенчатое воздействие хг ( t ) к величине входного воздействия х° (рис.7 .1):
(7.3)
О
Рио.7.1. Переходная функция
Переходная функция звена может быть получена эксперимен тальным путем и аналитически.
Экспериментальный путь используется большей частью для звеньев, математическое описание которых в силу определенных причин затруднительно. Очевидно, что переходная функция звена может быть получена по осциллограмме выходной величины изме
нением масштаба по оои ординат в х° |
раз, где xf - величина |
|||
ступенчатого воздействия. |
|
|
|
|
Для аналитического определения переходной функции звена |
||||
необходимо |
решить дифференциальное |
уравнение звена при xf(t)= |
||
= X, / ( t ) , |
нулевых начальных уоловиях и возмущающих воздей |
|||
ствиях, равных нулю. Тогда |
переходная |
функция звена |
||
|
H(f) = |
- ^ й |
, |
|
где хг ( t ) - решение дифференциального уравнения звена.
|
|
|
|
Функцией веоа |
эвена |
w(t) |
||
|
|
|
|
называется реакция эвена на вход |
||||
X,(t) |
Ф ) |
|
|
ное воздействие в |
виде |
единичной |
||
|
|
импульсной функции |
|
x,(t)= 6 (t) |
||||
& t |
|
|
|
|
||||
w ( t ) |
|
|
при нулевых начальных условиях |
|||||
|
t |
|
t |
(ри с.7 .2 ). Единичная |
иыпульоная |
|||
|
|
функция |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.7.2.Функция |
веса |
|
О |
при |
t |
* |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
6(t)=\
при
при этоы
О II
= /
Функция веоа может быть получена экспериментально (по осциллограмме выходной величины) и аналитически (реоением диф ференциального уравнения звена при xf(tj = 5 (t) и нулевых на чальных уоловиях).
Функцию веса звена можно определить по его переходной функ ции. Для определения связи между функцией веса и переходной
функцией звена |
представим |
|
|
|
||||
импульсное воздействие |
в ви |
JC,(t) |
|
N / ft) |
||||
де |
единичного |
прямоугольно |
|
|
||||
го |
инпульоа, |
образованного |
N |
Ь |
t |
|||
двумя ступенчатыми функциями |
||||||||
|
|
|
||||||
N / ( t ) |
и N / ( t - т ) |
при |
|
___________ |
||||
<Г ~ 0 |
(рис.7 .3 ): |
|
|
' |
Ш(Ъ-%) |
|||
6 ( t) 4 im N [l(t)-f(t-r)l. |
Рио.7 .3 . |
Импульсное |
воздействие |
|||||
|
Т - 0 |
|
|
(7 .4 ) |
|
|
|
|
|
При стремлении Т |
к нулю величину ступеньки увеличиваем |
||||||
так, чтобы Nт = I . Тогда реакцию звена на импульсное воздей |
||||||||
ствие можно представить в виде |
|
|
||||||
г |
г |
L |
|
J «-.л |
т |
at |
||
|
|
|
|
т |
- 0 |
|
|
|
где Н ( t ) - переходная функция звена. |
|
|
||||||
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
||
Ш(t) = |
dH(t) |
(7 .5 ) |
d t |
Функции веоа звена и его передаточная функция овязаны пре
образованием Лапласа
ер
w(p) = | w(t) е ptdt
о
Чаототвые характеристики звена определят зависимость меж ду входной и выходной величинами в установившемся режиме при гармоничеокон входном сигнале:
xf = Х1тsin со t , 0 |
$а)<°° |
(7 .6) |
XfX^sinW't |
g»=:^mS |
|
|
|
/ |
|
|
|
Звено |
ш |
|
|
|
||
|
|
\ |
|
/ |
ь |
||
|
|
|
V |
|
|
/ |
|
Рис.7 .4 .К определению частотных характеристик |
эвена |
|
|||||
Бели |
на входе |
эвена действует |
гармонический |
сигнал |
с ча |
||
стотой |
и амплитудой Х ш , то в |
установившемся режиме на |
|||||
выходе звена имеет |
место гармонический сигнал той же частоты |
||||||
, но в общем случае с амплитудой |
4 X f#n |
, |
сдвину |
||||
тый по фазе на угол |
относительно |
входного |
сигнала |
(рис.7 .4 ). |
|||
Изменяя частоту входного сигнала, можно проследить зависи мость амплитуды Xim выходного сигнала от частоты или, как это
принято в ТАУ, зависимость А(о>)= |
\ |
и фазового сдвига |
|
У ( 0)). Зависимость |
1т (со) |
|
|
|
а(ш )= |
|
(7 .7 ) |
определяет |
амплитудную частотную |
характеристику ( а . ч . х . ) , а |
|
У (со) - |
фазовую частотную характеристику |
звена ( ф . ч . х . ) . |
|
А мплитудно-частотная характеристика А (со) |
характери зует спо |
||
собность эвена пропускать сигналы |
разных частот по амплитуде. |
||
По фаиовой частотной характеристике определяет фазовые сдвиги, вносимые эвеном на разных частотах.
Чаототные характеристики звеньев получает эксперименталь но или аналитически. Экспериментальный споооб предполагает на-' личие генератора входных гармоничэоких колебаний, датчиков для преобразования входных и выходных величин в электрический сиг-
нал |
и устройства с |
целью фиксации амплитудных |
значе |
||
ний |
ос, и |
и фазового угла У . |
|
|
|
|
Следует |
отметить, |
что экспериментальный |
способ |
определения |
частотных характеристик возможен только для |
уотойчивых звеньев. |
||||
В уотойчивых звеньях при ограниченном изменении входной вели чины выходная величина стремитоя к определенному установив шемуся значению. Об устойчивости звена можно судить по виду корней характеристического уравнения эвена (знаменателя пере даточной функции звена, приравненного нулю). Если корни харак теристического уравнения эвена имеет отрицательную веществен ную часть, то звено устойчиво. Так, звено, описываемое уравне нием (7 .4 ), является устойчивым, так как корень характеристи ческого уравнения 7р+ I = 0 отрицателен: р 1=- у-
В неустойчивых звеньях незначительное изменение входной величины приводит к неограниченному возрастанию выходной вели чины, для них не существует установившегося режима. Можно по казать, что звено неустойчиво, еоли в характеристическом урав нении звена еоть хотя бы один корень с положительной веществен" ной частью. Например, звено, описываемое дифференциальным урав нением
(тр-1)хг = кх,
является неустойчивым, так как корень характеристического урав" нения Тр - 1 = 0 положителен: = + у .
Аналитический способ получения частотных характеристик рассмотрим на примере звена, описываемого уравнением
(7.8)
и передаточной функцией
(7.9)
На вход эвена подается сигнал
Jett
Xr * , me - * ,„ cos +A »> 5i'n - *une ( 7-10)
Согласно принципу суперпозиции выходной сигнал звена в Установившейся релине будет соотоять из двух гарионичесвих ооставляющих о амплитудой X , сдвинутых по фаве на угол у относительно входного сигнала:
|
|
2 = X?mCOS2m |
(ш * + Y) +i Х г т sin (ш * +у) |
|
||||||||
или в |
показательной |
форме |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/(wt + Y) |
|
|
(7 .II) |
|
|
|
|
|
|
хг= Х ,гте |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив |
|
выражения (7.10) |
и (7 .II) |
в уравнение звена |
||||||||
(7 .8 ), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ г |
г |
|
|
|
\ |
/' |
+ V) . |
j<ot |
(7.12) |
||
|
( \ р |
* |
Т, р * ' ) х г»е |
|
- ‘ fo>+' ) |
v |
||||||
|
|
|
||||||||||
Вычислим производные |
от |
х; и |
х£ |
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
y(»t* У) |
|
y(o>t+Y) |
|
|
|
||||
|
/>*«.' |
|
s У"V |
j(<ot*v) |
|
|
|
|||||
|
|
|
УМ+Y ) Л |
^ _ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
И v |
|
|
|
|
(7.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
/ a t |
• |
V |
- / |
w t |
|
|
|
|
|
|
’//пw |
|
|
J |
|
1т |
|
|
|
|
|
|
|
я 1 » » |
|
= •/“ * » ,« |
|
|
|
|
|
||||
Раскрывая |
соотношение (7.12) |
с учетом |
(7 .13). получим |
|||||||||
|
г ,. |
>г„ |
Jut |
jV |
|
v |
/ojt УУ |
|
||||
|
Tz W |
XZme |
|
е |
+ W |
m e |
* |
+ |
|
|||
|
|
j<ot j V |
|
|
|
j u t |
|
|
jcut |
|
||
|
+Х ше‘ |
e |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После элементапе рных преобразований имеем |
|
|||||||||||
|
|
|
Х . е ' |
|
k(<cj(0+1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
гт |
|
|
М П III] •*> Г I |
|
|
(7.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1т |
|
|
? ( / “ ) * + r , y W |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полученное соотношение есть частотная передаточная функция рас сматриваемого эвена. Как следует ив (7 .1 4 ), чаототная переда точная функция эвена есть комплексное чиоло
Х,т(а) J VM
(7.15)
w(yw, =CM
нодуль которого равен отношению анплитуд выходного и входного сигнала, а аргумент - одвигу фае выходного и входного оигналов.
Таким образом, модуль
mod W (уо) =| W(jc o ) J = |
Я(М |
определяет амплитудную частотную характеристику звена,а аргу мент W (Jсо) - фазовую частотную характеристику звена ¥ (со). Сравнение выражений (7.9) и (7.14) показывает, что частотная передаточная функция W (/со) может быть получена подстанов кой р = J со в выражение для передаточной функции эвена W(p):
В соответствии с правилами дейотвяй над комплексными числа
ми а .ч .х . звена А (со ) определяется |
как |
отношение модулей |
чи- |
|||||
олителя |
и знаменателя, |
а ф .ч.х. - |
как |
разнооть аргументов |
чи |
|||
слителя |
и знаменателя. Для |
рассматриваемого эвена |
|
|||||
|
|
А(оо) = |
|
к у/ тгоиг+/' |
(7.16) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v |
F |
? |
7 ) |
|
|
|
|
|
У (ш) = ore tg<cсо- a rc tg |
|
(7.17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
В теории автоматического управления используют три формы |
||||||||
записи |
частотной передаточной |
функции: |
|
|
||||
а) |
алгебраическую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vr(j(o) |
= V(w)+jV(<») ; |
(7.18а) |
||||
б) |
показательную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W(jco) = A(CJ) е УГМ |
(7.186) |
|||||
в) тригонометрическую |
|
|
|
|
|||||
|
W(jw) = A (to) cosV(a)) + j |
А (со) sin Ч*" (со) |
(7.18в) |
||||||
При алгебраической форме запиои в чаототной передаточной |
|||||||||
функции выделяютоя |
вещественная |
Lf (со) |
и мнимая V ( со) |
части. |
|||||
Нахождение У (ш ) |
и V (со) |
|
|
|
|
||||
Осуществляется |
умножением |
|
|
|
|
||||
Числителя |
и |
знаменателя |
|
|
|
|
|||
W ( у со ) |
на комплекс, |
со |
|
|
|
|
|||
пряженный знаменателю, |
о |
|
|
|
|
||||
Целью освободиться от мни- |
|
|
|
|
|||||
кооти в знаменателе. |
|
|
|
|
|
||||
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|||
_ а (?-Г,У+?;<гсо) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
•v |
Рис.7.5.Амплитудно-фазовая |
харак |
|||||
лн ь к[гч){1-Т?шг)-Тш] |
|
теристика |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
На комплексной плоскости У - j V |
частотная передаточная |
||||||||
функция W (jсо ) |
при фиксированном значении частоты (о1 |
изобра |
|||||||
жается вектором, |
длина |
которого |
А ( ш( ) , а аргумент |
- |
¥ ( 10,) |
||||
(ри с.7 .5 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При изменении частоты от нуля до бесконечности конец век тора W ( jco) опишет кривую (годограф), которая называется ам плитудно-фазовой характеристикой (а .ф .х .) звена. Амплитудно фазовая характеристика отроится по точкам, при этом в случае
простых выражений |
для W |
(/со) |
обычно определяют и вычисляют |
|||||
значения |
У ( со. ) |
и V ( ц); ) |
в соответствии с |
табл.7 .1 . |
||||
|
|
I |
|
I |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.1 |
|
т а |
б л и ц а 7.2 |
||
и |
ч |
|
• . |
оо |
со |
ч |
|
ОО |
и |
v , |
Uz |
|
|
Л (со) |
А, |
Az |
• • • |
|
|
|
|
|
||||
V |
Уг |
¥(си) |
Vz |
• • • |
|
|
|
Для гвенвев оо сложными передаточными функциями этот спо соб построения а .ф .х . громоздок, поэтому их отроят в полярных координатах А ( ш ) - У ( о ) ) (табл.7 .2 ). При этом вещественная и мнимая ч ас т и в ( jco ) определяются очевидными соотношениями
У (со) = А (со) сое V (<о) ;
У(со) = А(ш)sinУ(ш)
По данным табл.7 .2 . могут быть поотроены отдельно ампли тудная частотная характеристика и фазовая частотная характе ристика звена (рио .7 .6).
Для оценки динамических свойств звеньев в ТАУ широко по пользуются логарифмические частотные характеристики: ампли тудная (л .а .х .) и фазовая (л .ф .х .). Логарифмические амплитуд ные характеристики определяются из выражения
i.(со) = 20Lg |W(jiu)| = Z0lgА(ш)
и выражаются в децибелах (дб).
Л .а.х . |
и л.ф .х. отроят в |
системе координат L ( ш ) - lgo> |
и Y ((о ) - |
Igfo соответственно |
(рис.7 .7 ). |
Рис.7 .б. Амплитудная и фазовая частотные характеристики
Угловая частота в логарифмическом масштабе откладывается по оси абоцисс (оси чаотот).
Для нанеоения масштабных меток используется какая-либо шкала логарифмической линейки. Возле меток оси частот, соот
ветствующих |
IgO), пишется истинное значение угловой частоты. |
|||
По оси ординат наносится равномерный |
маоштаб в децибелах, при |
|||
этом начало отсчета (нуль децибел) соответствует |
A |
(to ) = I , |
||
так как ig 1 = |
0. Начало отсчета по оси |
частот может |
соответ |
|
ствовать любому положительному значении чаототы |
о>>0. Точка |
|||
ш = 0 находится слева от оси ординат |
в бесконечности, так как |
|||
Рио.7 .7 . Плоскооти для построения |
л .а .х . и л .ф .х. |
||
1д 0 s-oo . Обычно |
ось децибел |
проводят |
так, чтобы справа от |
нее полно было показать всп л .а .х . |
|
||
При поотроенин |
л.ф .х. используетоя |
та хе ось чаотот, что |
|
и при построении л .а .х . По оси |
ординат |
в равномерной маоита- |
|
бе нанооятоя значения фазы в градуоах. Для удобства раочетов целесообразно проводить ооь чаотот л .а .х . и л.ф .х. через точ ку Y ® -180° (рис.7 .7 ).
Ооновныы достоинством логарифмических частотных характе ристик являетоя возможность их построения во Многих случаях практически без вычислительной работы.
§7 .3 . СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ
Всистемах автоматического управления наиболее чаото встре чаются соединения звеньев следующих типов: последовательное соединение, параллельное соединение и соединение типа "обрат
ная овязь" (рис.7 .8 ).
Для анализа системы автоматического управления (СА7) и их
расчета требуется знать результирующую передаточную функцию группы овязанных между собой звеньев.
Результирующая |
передаточная функция |
п о е л е д |
о в а- |
т е л ь н о г о |
с о е д и н е н и я |
з в е н ь е в |
(рио.7.8,а) |
равна произведению передаточных функций |
этих звеньев: |
||
7 /7-2 Л-f V / W f c 7-I9>
Результирующая передаточная функция не зависит от взаимного расположения звеньев.
|
|
Рис.7 .8 .Соединения звеньев |
|||
Результирующая |
передаточная |
функция |
п а р а л л е л ь н о |
||
г о |
с о е д и н е н и я |
з в е н ь е в |
(рио.7.8,б) равна |
||
суш е |
передаточных |
функций этих |
звеньев: |
|
|
1 ф ) = J r = УЛУ£"4Уп Л Л + „ |
+ &шц(р)+угг(Р)*..мп(Рр .го) |
||||
С о е д и н е н и е |
т и п а " о б р а т н а я |
с в я з ь " |
||
показано |
на ри о .7 |
.8,в. Знак плюс соответствует положительной |
||
обратной |
связи ( Н |
= х + у #с ) , знак минус - отрицательной об |
||
ратной овяэи ( Н = х - уос).
Для определения результирующей передаточной функции составим три уравнения:
y0c =Woc(p)y |
* * х ± Уос |