книги / САПР изделий из композиционных материалов. Моделирование процессов деформирования и разрушения в среде ANSYS

вой зависимости спектральной плотности процесса от частоты, которая является статистической характеристикой энергии случайных возмущающих сил. Спектральная плотность может быть выражена через перемещения, скорости, ускорения, давления или усилия. Пользователь имеет возможность либо задать одну из разновидностей спектра и выполнить анализ для различных точек расчетной модели (однофакторный анализ), либо использовать несколько разных спектров плотности энергии и выполнить многофакторный анализ. Можно использовать как кинематическое возбуждение системы, так и силовое.

Предполагается нормальное распределение (распределение Гаусса) спектральной плотности; отклики системы, вычисленные с помощью программы ANSYS, также распределены по нормальному закону. Таким образом, имеется возможность вычислить вероятность, с какой фактический отклик будет превосходить расчетный.

Независимо от используемого типа спектральной плотности процесса в распоряжении пользователя имеются три варианта решения: в перемещениях (перемещения, напряжения, деформации и усилия), в скоростях (скорости перемещений, напряжений, усилий и т.д.) и в ускорениях (ускорения перемещений, напряжений, усилий и т.д.). Для данного анализа может быть получено любое нужное число этих решений.

Анализ случайных колебаний особенно актуален в аэрокосмической промышленности, где узлы и детали конструкций должны конструироваться так, чтобы выдерживать трудные условия полета. Например, данные об ускорениях, которые испытывает ракета в полете, можно преобразовать к спектральной плотности нагрузок, а затем использовать эти данные для определения отклика узлов ракеты на случайную вибрацию.

4.3. Анализ устойчивости конструкций

При анализе устойчивости конструкций решается одна из двух задач:

–определение уровня нагрузок, при котором конструкция теряет устойчивость;

–определение того, сохраняет ли конструкция устойчивость при заданном уровне нагрузок.

Этот тип анализа важен для определения стабильности состояния любых сооружений, несущих нагрузку, таких как башни или мосты.

81

В программе ANSYS имеется возможность выполнять два типа анализа устойчивости: в линейной и нелинейной постановке.

4.3.1.Линейный подход

Ñточки зрения линейного подхода или в рамках задачи на собственные значения выпучивание упругих систем определяется так называемой эффективной жесткостью (см. раздел «Конструктивные нелинейности»), т.е. эффектом изменения жесткости упругой системы с ростом напряжений, когда рост сжимающих напряжений приводит к снижению способности конструкции противостоять нагрузкам, действующим в поперечном направлении. По мере того как растут напряжения сжатия, уменьшается сопротивление боковым силам. При некотором уровне нагрузки этот нейтрализующий эффект превосходит влияние собственной линейной жесткости системы, приводя к выпучиванию.

В программе ANSYS при выполнении линейного анализа устойчи- вости решается задача на собственные значения. В такой формулировке определяются значения масштабных факторов (собственные значения) для матрицы эффективной жесткости, при которых компенсируется влияние матрицы жесткости системы. Разрешающее уравнение для линейного подхода имеет следующий вид:

ãäå [K] – матрица жесткости конструкции; [S] – матрица эффективной жесткости; λ – собственное значение (масштабный фактор); {u} – собственный вектор, определяющий форму выпучивания.

Точка на кривой «нагрузка–смещение», которая соответствует нача- лу выпучивания, называется точкой бифуркации, так как в этой точке происходит разветвление форм равновесия. За точкой бифуркации система теряет устойчивость или продолжает нести нагрузку в некотором новом равновесном состоянии (рис. 4.4).

Следует иметь в виду, что линейный подход не может учесть нелинейности любого рода и несовершенства системы. Эти факторы, если они присутствуют в реальной конструкции (а они обычно имеются), приводят к снижению критических нагрузок по сравнению с линейным рас- четом. Вместе с тем линейный анализ весьма эффективен, поскольку требует относительно немного компьютерного времени по сравнению

82

4.3.2. Нелинейный подход

Для более точного определения критических нагрузок следует использовать нелинейное решение. Нелинейный анализ устойчивости – это, в сущности, исследование влияния больших смещений. В разделе «Конструктивные нелинейности» описано, каким образом программа ANSYS корректирует ориентацию элементов конструкции, используя комбинированный способ решения на основе метода Ньютона−Рафсона в сочетании с техникой корректирующих дуг Рикса.

Подход, использующий процедуру последовательных приближений Ньютона−Рафсона, приводит к следующему соотношению, справедливому для некоторой равновесной итерации:

компонентами которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций;

ãäå {u}i – вектор перемещений, относящихся к текущей итерации; {F} – вектор приложенных к системе сил; {F el } i–1 – вектор упругих сил, соответствующих перемещениям предыдущей итерации с номером i − 1.

83

В программе ANSYS нелинейный анализ устойчивости выполняется за счет постоянного контроля за поведением приращений u в итерационном процессе. Обычно при решении задач с учетом больших смещений факт уменьшения прироста перемещений между итерациями свидетельствует о достижении системой стабильного, устойчивого состояния. Однако если конструкция нагружена выше критического уровня, то приращения u будут расти от итерации к итерации (т.е. решение расходится). Критической нагрузкой (нагрузкой, соответствующей потере устойчивости) является тот ее уровень, при котором решение начинает расходиться.

Величина критической нагрузки, полученной при нелинейном подходе, обычно ниже той, которая определяется точкой бифуркации линейного решения (см. рис. 4.4). Это различие обусловлено тем, что при нелинейном решении возможно учесть присущие реальным конструкциям начальные несовершенства и нелинейности (геометрические и физические).

Другим приложением нелинейного подхода к устойчивости является анализ систем, теряющих устойчивость с перескоком. Многие системы после достижения точки бифуркации могут переходить в новое устойчивое состояние при дальнейшем росте нагрузки. Примером такой системы может служить пологая арка с закрепленными шарнирно концами, которая нагружена сжимающей силой, приложенной в ее вершине. С ростом нагрузки арка будет прогибаться вниз, пока не достигнет критической точки и более не сможет противостоять растущей нагрузке. Затем арка прощелкнется в новую форму и вновь начнет сопротивляться нагрузке. Эта новая устойчивая форма может быть найдена, если продолжить процесс сходящихся итераций до критической точки или за нее.

Как при определении критической нагрузки, так и при анализе закритического поведения конструкций используется метод корректирующих дуг. Если использовать немодифицированный метод приращений Ньютона−Рафсона, то матрица жесткости системы может оказаться сингулярной в тех случаях, когда происходит полная потеря равновесной формы или перескок в новое устойчивое состояние. Метод корректирующих дуг вынуждает сходиться равновесные итерации Ньютона−Рафсона в пределах отрезков определенной длины на кривой «нагрузка – перемещение», что и позволяет осуществлять нелинейный анализ (рис. 4.5, 4.6). На рис. 4.5 показано, как нелинейный анализ, а именно учет боль-

84

Рис. 4.5. Поведение пологой балки при потере устойчивости

Рис. 4.6. Метод ограничивающих дуг

ших перемещений, позволяет моделировать устойчивые (Stable) и неустойчивое (Unstable) состояния при «прощелкивании» пологой балки при переходе из одной формы деформирования в другую. На рис. 4.6 отражен модифицированный итерационный алгоритм Ньютона−Рафсона на основе метода ограничивающих дуг, позволяющий обеспечить сходимость итерационной процедуры при постепенном возрастании нагрузки.

85

4.4. Конструктивные нелинейности

Конструктивные нелинейности вынуждают конструкцию или ее составные части реагировать не пропорционально приложенным нагрузкам. По существу, все конструкции неизбежно являются нелинейными, но не всегда до такой степени, чтобы это проявлялось при анализе. Однако если установлено, что нелинейные эффекты столь сильно сказываются на поведении системы, что ими нельзя пренебречь, то нужно решать нелинейную задачу.

Программу ANSYS можно применять как для решения статических, так и динамических нелинейных задач. Статический нелинейный анализ осуществляется посредством замены всей нагрузки серией ее небольших приращений и выполнением на каждом таком шаге по нагрузке последовательности линейных приближений до получения состояния равновесия. Каждое линейное приближение требует обращения к «решателю» уравнений системы, т.е. выполнения равновесной итерации. Подобным же образом нелинейный нестационарный анализ сводится к последовательности решений для нескольких нагрузок, зависящих от времени и возрастающих от шага к шагу; на каждом шаге выполняются равновесные итерации. Однако в этом случае для учета инерционных эффектов требуется еще интегрирование по времени.

При нелинейном анализе матрица жесткости системы и вектор нагрузок могут зависеть от результатов решения и, следовательно, неизвестны. Для преодоления этого затруднения в программе ANSYS используется итеративная процедура на основе метода Ньютона−Рафсона, которая состоит в том, что выполняется серия линейных приближений, обеспечи- вающих сходимость процесса к истинному решению. При статическом нелинейном анализе для управления процессом сходимости решения можно воспользоваться методом корректирующих дуг (см. рис. 4.6).

В методе Ньютона−Рафсона матрица жесткости и (или) вектор нагрузок модифицируются на каждой итерации. Используются соотношения

ãäå [K] i–1 – матрица коэффициентов тангенциальной жесткости для деформированной геометрии на i − 1 итерации; { u}i – вектор, компонентами которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций:

86

секция и адаптивный спуск позволяют остановить счет и выполнить рестарт, если обнаруживается, что решение отклоняется от верного.

Âкачестве альтернативы можно использовать решатель явного типа ANSYS/LS-DYNA, чтобы эффективно решать задачи при наличии сильных нелинейностей, включая численное моделирование динамических ударов и контактов при авариях, процессов штамповки металлов, глубокой вытяжки, сверхпластичного формования, экструзии и прокатки.

Программа ANSYS, решая задачи как статического, так и динамиче- ского анализа, может справиться с большим числом различных нелинейностей. Все эти нелинейности делятся на три категории: нелинейности поведения материала, геометрические нелинейности и собственное нелинейное поведение конечных элементов.

4.5.Нелинейные модели поведения материала

Âтех случаях, когда напряжения и деформации в материале не связаны линейной зависимостью, имеет место нелинейное поведение материала. В программе ANSYS могут воспроизводиться различные типы физической нелинейности. Для пластичного, нелинейно упругого и гиперупругого поведения материала характерна нелинейная связь напряжений и деформаций. Вязкопластичность, ползучесть и вязкоупругость представляют собой явления, в которых деформации зависят от таких факторов, как время, температура или напряжения. При наличии физиче-

ских нелинейностей используется метод решения Ньютона−Рафсона. Для полноценного учета пластического поведения материала при ана-

лизе требуется знание трех важных критериев: условия начала текучести, закона течения и закона упрочнения. Условие начала текучести позволяет свести трехмерное, объемное напряженное состояние к эквивалентному напряжению, которое сравнивается с пределом текучести, для того чтобы определить, происходит ли течение материала (рис. 4.7). Закон течения указывает направление, в котором происходит деформирование материала. Закон упрочнения, применимый к упрочняющимся материалам, описывает, как ведет себя поверхность текучести с ростом деформаций в материале.

В программе ANSYS имеется возможность использовать три условия начала текучести: Мизеса, Мизеса−Хилла и Друкера−Прагера. Условие текучести записывается в виде

88

Рис. 4.7. Диаграмма упругопластического деформирования

ãäå σeq – скаляр, эквивалентное напряжение, вычисленное по компонентам тензора напряжений; σy − справочная величина, предел текучести. Если наступление текучести не зависит от скорости деформаций, то при φ < 0 материал остается упругим, при φ = 0 в нем возникают пластиче- ские деформации. Для вязкопластичных материалов предел текучести может быть функцией скорости деформаций.

Эквивалентные напряжения по критерию Мизеса определяются формулой

ãäå σ1, σ2, σ3 – главные напряжения.

Текучесть начинается, когда выполняется условие σeq = σy , ãäå σy – предел текучести при одноосном напряжении.

Если установлено, что условие текучести выполняется, тогда направление и величина пластических деформаций будут определяться законом течения. Закон течения может быть записан следующим образом:

ãäå {dεp} – приращение пластической деформации; λ – согласующий множитель, определяющий величину деформаций; Q – пластический потенциал, скалярная функция напряжений, указывающая направление деформирования. Данный закон течения является ассоциированным (т.е. потенциал Q равен функции течения) для всех условий текучести,

89

используемых в программе ANSYS, кроме условия текучести Друкера−Прагера, для которого закон течения может быть ассоциированным, а может – не быть.

Закон упрочнения определяет поведение поверхности текучести при пластических деформациях материала. Для упрочняющихся материалов чередование нагрузки и разгрузки приводит к тому, что материал переходит в состояние текучести только в том случае, если нагрузка превышает достигнутый прежде уровень. В программе ANSYS используются два вида упрочнения: изотропное и кинематическое. При изотропном упрочнении поверхность текучести расширяется равномерно по всем направлениям; кроме того, предполагается, что пределы текучести на растяжение и на сжатие за счет упрочнения увеличиваются одинаково. При кинематическом упрочнении увеличение предела текучести на растяжение сопровождается соответствующим уменьшением предела текучести на сжатие, что представляет собой проявление эффекта Баушингера.

Комбинация конкретных соотношений для условия текучести, закона течения и закона упрочнения определяет ту или иную модель пласти- ческого поведения материала. В программе ANSYS моделируются следующие типы пластического поведения: классическое линейное кинематическое упрочнение, полигональное кинематическое упрочнение, линейное изотропное упрочнение, полигональное изотропное упрочнение, анизотропное поведение, модели материалов Друкера−Прагера и Ананда. Кроме того, пользователь может задать свой вариант пласти- ческой модели.

Модель классического линейного кинематического упрочнения

описывает поведение обычных металлических материалов, схематизированная диаграмма деформирования которых имеет упругий участок

èучасток линейного упрочнения. Применима к большинству обычных, начально изотропных конструкционных металлов в области малых деформаций. Используется модифицированное условие текучести Мизеса

èассоциированный закон течения. Проявлением кинематического упрочнения является эффект Баушингера.

Модель полигонального кинематического упрочнения также относится к металлам, но в большей степени применима к тем из них, диаграмма которых имеет более одного линейного участка упрочнения. Эта модель использует схему наложения или схему Бесселинга для описания

90