Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

972.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Если непериодическая функция y = f (x) задана на отрезке [0;l], то её можно доопределить на отрезок [−l;0] :

а) четным образом f (−x) = f (x) ; б) нечётным образом f (−x) = − f (x) ; в) f (x) = 0 при −l ≤ x ≤ 0 ;

г) каким-либо произвольным образом.

Непериодическую функцию можно доопределить разными способами, в зависимости от поставленной задачи.

Контрольные вопросы

Числовые ряды

1.Какое выражение называется числовым рядом? Что называется общим членом ряда? Какими способами можно задать общий член ряда?

2.Когда ряд считается заданным?

3.Написать соответствующие ряды в развернутом виде, если даны формулы их общих членов:

sin

(

−1

2n + 1

а) a =

; б) a =

; в) a

; г) a =

)

2n + 1

(2n − 1)!

4. Написать формулу общего члена для следующих рядов:

а) 1+ 14 + 19 + 161 + …; б) 13 + 16 + 19 + 121 + …;

в) 1−	1	+	1	−	1	+ …; г) 1+	1 3	+		2 4	+		3 5	+ … .
	3		5		7		1 2		1 2 3			1 2 3 4

5. Что называется n-й частичной суммой ряда? Что называется суммой ряда?

6.Какие ряды называются сходящимися? Расходящимися? Привести примеры.

7.Доказать сходимость следующих рядов, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

			1				1			1
	а)					+			+ … +						+ …;
				1 3			3 5				(2n − 1) (2n + 1)
б)			1			+	1			+ … +				1		+ …;
		1 2 3						2 3 4				n(n + 1) (n + 2)
					в)		5 +		13	+ … +			3n + 2n	+ … .
									36				6n
							6

8.Каковы свойства сходящихся и расходящихся рядов?

9.В чем состоит необходимый признак сходимости? Привести пример, показывающий, что он не является достаточным.

10.Указать простейший достаточный признак расходимости ряда. Используя его, доказать, что ряд расходится:

∞ 3n − 1n=1 4n − 1.

11.В чем состоят признаки сравнения двух рядов с положительными членами? В каких случаях эти признаки неприменимы?

12.В чем состоят признаки Даламбера и Коши? В каком случае эти признаки неприменимы?

13.В чем состоит интегральный признак сходимости? Доказать сходимость обобщенного гармонического ряда:

∞ 1 , 1.

n=1 nα α >

14. Какой ряд называется знакопеременным? Знакочередующимся?

15.В чем состоит признак Лейбница для знакочередующегося ряда? Как оценивается остаток знакочередующегося ряда?

16.Какой ряд называется абсолютно сходящимся? Условно сходящимся? Привести примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

Функциональные и степенные ряды

1.Какой ряд называется функциональным? Что называется областью сходимости функционального ряда?

2.Какой ряд называется степенным?

3.Что называется интервалом и радиусом сходимости степенного ряда?

4.Как находится радиус сходимости?

5.Привести примеры степенных рядов, радиусы сходимости которых равны: а) нулю; б) бесконечности; в) конечному числу, отличному от нуля.

6.Каковы свойства степенных рядов?

7. В чем заключается задача разложения функции f (x) в степенной ряд?

8.Какой ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты ряда Тейлора? Какой ряд называется рядом Маклорена?

9.При каких условиях ряд Тейлора для функции f (x) схо-

дится к самой функции?

10.В чем состоит прием непосредственного разложения функции f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = a ?

11.Какие другие приемы применяются при разложении функций в степенные ряды?

12.Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций.

13.Указать способы оценки погрешности при приближенном

вычислении значения функции с помощью степенных рядов: а) знакопеременных; б) знакоположительных.

14.В чем состоит метод интегрирования функций с помощью степенных рядов? Привести примеры.

15.В чем состоит метод последовательных дифференцирований решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов?

16.В чём состоит метод неопределенных коэффициентов решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов?

Ряды Фурье

1.Какаяфункция называется периодической? Что такоепериод?

2.Какой ряд называется тригонометрическим?

3.Какой ряд называется рядом Фурье?

4.Каковы условия разложимости функции f (x) в ряд Фурье?

5.Каковы особенности разложения в ряд Фурье чётных и нечётных функций?

6.Постройте периодическое продолжение следующих функций, заданных на конечных отрезках:

а)	f (x) = π + x при −π ≤ x ≤ π;
б)	f (x) = x при 2 ≤ x ≤ 4 ;
в)	0,−3 ≤ x ≤ 0;
в)	f ( x) =
	x,0 < x ≤ 3.

7. Построить чётное и нечётное периодическое продолжение следующих функций:

			≤ x <	π
0,0			≤ x <	2	;	4	− x,0 ≤ x < 4;
а) f (x) =		π		2		б) f ( x) =	0,4 ≤ x < 8.
	1,	π	≤ x < π.				0,4 ≤ x < 8.
	1,	2	≤ x < π.
		2

7.Что значит разложить функцию в ряд косинусов, синусов?

8.Как разложить в ряд Фурье функцию, заданную на половине периода?

9.Какразложить в рядФурьефункцию наконечном интервале?

ГЛАВА 4. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

4.1. Числовые ряды

Задача 1. Записать последовательность частичных сумм для ряда (а). Используя непосредственно определение сходимости ряда, доказать, что ряд сходится, и найти сумму ряда (б).

1.1

(а)

∞

(б)

∞

2n + 3n

(2n + 5)(2n + 7)

n=1

1.2

(а)

∞

(б)

∞

3n + 4n

(n + 3)(n + 4)

n=1

1.3

(а)

∞

(б)

∞

2n + 5n

(2n + 3)(2n + 5)

n=1

1.4

(а)

∞

(б)

∞

2n + 3n

(n + 5)(n + 6)

n=1

1.5

(а)

∞

(б)

∞

4n + 6n

(3n + 1)(3n + 4)

n=1

1.6

(а)

∞

(б)

∞

2n + 9n

(2n + 9)(2n + 7)

n=1

1.7

(а)

∞

(б)

∞

3n + 5n

(3n + 2)(3n + 5)

n=1

1.8

(а)

∞

(б)

∞

7n − 2n

(n + 6)(n + 7)

n=1

1.9

(а)

∞

(б)

∞

3n + 7n

(2n + 1)(2n + 3)

n=1

1.10

(а)

∞

(б)

∞

6n − 4n

(n + 9)(n + 10)

n=1

1.11

(а)

∞

(б)

∞

3n + 6n

(2n − 1)(2n + 1)

n=1

1.12

(а)

∞

(б)

∞

5n − 4n

+ 7)(n + 8)

n=1 (n

n=1

1.13

(а)

∞

(б)

∞

7n − 6n

n=1 3n(3n + 3)

n=1

1.14

(а)

∞

(б)

∞

5n + 7n

+ 2)(n + 3)

n=1 (n

n=1

1.15

(а)

∞

(б)

∞

9n − 3n

n=1 2n(2n + 2)

n=1

1.16

(а)

∞

(б)

∞

4n + 7n

(2n

+ 6)(2n + 8)

n=1

1.17

(а)

∞

(б)

∞

8n − 3n

(5n

+ 1)(5n + 6)

n=1

1.18

(а)

∞

(б)

∞

4n − 3n

(7n

− 3)(7n + 4)

n=1

1.19

(а)

∞

(б)

∞

3n + 5n

(3n

+ 3)(3n + 6)

n=1

1.20

(а)

∞

(б)

∞

6n − 2n

(5n

+ 3)(5n + 8)

n=1

1.21

(а)

∞

(б)

∞

3n + 6n

(7n

+ 2)(7n + 9)

n=1

1.22

(а)

∞

(б)

∞

7n − 3n

(n + 9)(n + 10)

n=1

1.23

(а)

∞

(б)

∞

6n − 3n

(2n

+ 4)(2n + 6)

n=1

1.24

(а)

∞

(б)

∞

7n − 5n

(3n

+ 4)(3n + 7)

n=1

1.25

(а)

∞

(б)

∞

8n − 5n

(5n

+ 4)(5n + 9)

n=1

1.26

(а)

∞

(б)

∞

10n − 2n

(7n + 3)(7n + 10)

n=1

1.27

(а)

∞

(б)

∞

12n + 4n

n=1 (2n + 10)(2n + 12)

n=1

1.28

(а)

∞

(б)

∞

12n − 3n

(3n

+ 3)(3n + 6)

n=1

1.29

(а)

∞

(б)

∞

8n − 6n

(5n + 5)(5n + 10)

n=1

1.30

(а)

∞

(б)

∞

8n − 4n

(7n + 4)(7n + 11)

n=1

1.31

(а)

∞

(б)

∞

9n + 4n

n=1 (2n + 12)(2n + 14)

n=1

1.32

(а)

∞

(б)

∞

9n − 3n

(3n + 7)(3n + 10)

n=1

Задача 2. Исследовать ряд на сходимость, используя признаки

сравнения. Указать признак.

2.1

(а)

∞

(б)

∞

n + 1

n=1 n

n 1

+ 3n + 2

2.2

(а)

∞

(б)

∞

+ 1

sin

+ 2n + 4

+ 3

n=1

n=1 n

2.3

(а)

∞

(б)

∞

n3 + 2n

+ 4

n=1

4n − 2

2.4

(а)

∞

(б)

∞

2 + cos2 n

− 2)

+ 3

n=1 (5n

n=1

2.5

(а)

∞

(б)

∞

ln (n)

n 1

n + 1

n=1

+ 4

2.6

(а)

∞

(б)

∞

sin

+ 4n

n=1

+ 2n

n=1

2.7

(а)

∞

+ 4

(б)

∞

sin(n)

+ 1

n=1

+ 2)2

n=1

2.8

(а)

∞

(б)

∞

n sin

(n)

n=1

3n − n2

n3 + 2n − 1

2.9

(а)

∞

(б)

1 + n

∞

sin

n=1

1 + n

n=1

3 n + 1

2.10

(а)

∞

(б)

∞

n + 1

2cos(n).

(2n − 1) 3 n2 +

+ 2n − 3

n=1

n=1 n

2.11

(а)

∞

(б)

∞

3 n2 + 1

+ 2n + ln (n)

n5 + 2n2 +

n=1

2.12

(а)

∞

+ 1

(б)

∞

+ 2n

− 3

n=1

n 1

+ 3n

+ 7

2.13

(а)

∞

sin2 (n

n )

(б)

∞

n3 − 2n

sin

(n)

+ 3

n=1

2.14

(а)

∞

2n + 3 2

(б)

∞

n=1

2 +

n=1

3 n2 + 1

2.15

(а)

∞

(б)

∞

n + 5

n=1

sin (n).

3 4n − 2

n3 + 2n2 + 1

2.16

(а)

∞

+ sin (2n)

(б)

∞

n + 1

n 1

+ 2n + 2

n=1

2.17

(а)

∞

(б)

∞

n + 4

n=1

+ n

n 1

+ 3n

− 2

2.18

(а)

∞

2n + cos (n)

(б)

∞

n2 + 1

+ sin (n)

+ 1

n=1

2.19

(а)

∞

2n + 1

(б)

∞

arctg

(n +

+ 5

n=1

2.20

(а)

∞

(б)

∞

n + 2

sin

n=1

+ 1

2.21

(а)

∞

(б)

∞

sin

(

)

n=1

+ 1

n=1

n + 2n + 4

2.22

(а)

∞

sin

(б)

∞

+ 4

n + 1

n=1

3 n7 + n2

2.23

(а)

∞

(б)

∞

+ 2n + 4

n=1

+ 4

2.24

(а)

∞

(б)

∞

sin

+ 2

n=1

2.25

(а)

∞

+ 5

(б)

∞

n + 1

+ 4

n=1

2n + 4

2.26

(а)

∞

2n + 1

(б)

∞

sin

arctg

(n + 1)

+ 1

n=1

2.27

(а)

∞

cos

(б)

∞

1 − cos

+ 1)(n +

n=1

2.28

(а)

∞

3n+ 7n .

(б)

∞

+ 1

+ sin (

n=1

+ n

n=1

)

2.29

(а)

∞

n (2 + cos n)

(б)

∞

arctg

−1

n=1

2.30

(а)

∞

(б)

∞

3cos

n .

+ 1 −

− 1

n=1

+ 5

n=1

2.31

(а)

∞

sin2 (n)

(б)

∞ 2 + sin(4n)

+ 2

+ 4

n=1

2.32

(а)

∞

n2 + 2

(б)

∞

4sin2 (n)

sin

(n)

n=1

Задача 3. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь призна-

ком Даламбера.

3.1

n + 1

3.2

∞

(n!2)

∞

n=1

2 (n − 1)!

n=1 2n

3.3

∞

n+1

+ 1)

3.4

∞

10n 2n!

(2n)!

n=1

(n + 1)!

n=1

3.5

∞

(

2n + 2)!

3.6

∞

2(n + 5)

(

3n + 5)

n=1

3.7

∞

n3 + 2n + 1

3.8

∞

n=1

2n (3n + 5)

(2n)!

3.9

∞

3.10

∞

(n!) .

(2n −1)!.

n=1

(3n)!

3.11

∞

(n!)2

3.12

∞

1 4 7 …(3n − 2)

n=1

2 7 12 … (5n − 3)

(2n)!

3.13

∞

7 13 19 …(6n +1)

3.14

∞

4 10 16 … (6n − 2)

1 8

3n − 2)

n=1

27 … n

n=1 12 42 72 … (

3.15.

∞

3.16

∞ 6n (n2 − 1)

(2n)!

n=1

3.17

∞

3.18

∞

n=1

(n + 2)!

(2n

− 1)!

3.19

∞

(n!)2

3.20

∞ 1 3 5 …(2n −1)

n=1 (3n

+ 1) (2n)!

(n + 1)!

n=1

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20238.37 Mб0Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб1Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб1Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб2Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб0Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб2Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб1Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб3Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб0Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб2Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf
#
20.11.2023740.01 Кб4Шасси автомобиля. Элементы расчета и эксплуатационная надежность.pdf