Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

972.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

3.5. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l

Пусть функция f (x) мимеет период T = 2l и задана на отрезке[−l;l] . Коэффициенты разложения в ряд Фурье находим по формулам

		a0	=	1	l	f ( x)dx,			(44)
				l	−l
an =	1 l					πnx			(45)
an =	l	f (x) cos					l	dx,	(45)
	l	− l					l

bn =	1 l		πnx
	l	f (x) sin	l	dx.
		−l

Ряд Фурье имеет вид

	a0	∞	πnx		πnx
f (x) =		+ an cos	l	+ bn sin	l	.
	2
		n=1

(46)

(47)

Пример 44. Разложить в ряд Фурье функцию						f (x) = 4 − x
с периодом Т = 4 , заданную на отрезке −2 ≤ x ≤ 2 (рис. 6).
		y
		y			y = f(x)
		6
		6
		4


		2					x
	0	2


–10 –8 –6 –4 –2	2		4	6	8	10

Рис. 6

Период Т = 4 , полупериод l = T2 = 2 . Вычисляем коэффициен-

ты ряда Фурье:

1 l

1 2

a0 = l − l

( x)dx =

2 −2 (4 − x)dx = 2 4x

−

−2

− 4

−

−8

−

= 3 + 5

= 8.

an =

1 l

πnx

( x) cos

dx =

(4 − x)cos

dx =

− l

−2

u = 4 − x,

= cos

πnx

dx,

du = −dx,

v =

sin πnx

πn

πnx

(4 − x)

sin

πn

−2

πn

−2

sin (πn)

sin (−πn) +

πnx

−

sin

dx =

πn

−2

−

πnx

= −

(cos(πn) − cos(−πn)) = 0.

cos

πn

−2

(πn)

πn

1 l

πnx

f ( x)

sin

(4 − x)sin

dx =

l − l

−2

u = 4 − x,

du = −dx,

dv = sin			πnx	dx,
dv = sin			2	dx,
			2			=
v = −	2	cos πnx			.
v = −	πn	cos πnx			.
	πn			2

− (4 − x)

πnx

2 2

πnx

cos

πn

−2

−2 πn

cos(πn) +

cos(−πn) +

πnx

= −

cos

dx =

πn

−2

cos(πn) +

πnx

sin

πn

(πn)

−2

(−1)n +

(sin (πn)

− sin (−πn)) = (−1)n

πn

(πn)2

πn

Коэффициенты ряда Фурье

a0 = 8, an = 0, b = ( −1)n π4n .

Ряд Фурье для данной функции

f ( x) = 4 +	4 (−1)		n
f ( x) = 4 +	4 (−1)		sin πnx .
		∞
	π	n=1 n		2
На концах отрезка, в точках x = −2				и x = 2 , сумма S (x) ряда

Фурье (рис. 7)

S (−2) = S (2) = f (−2 + 0) + f (2 − 0)			=	(4 + 2) + (4 − 2)		= 4.
		2			2
		y			y = S(x)
		6
		4
		2
		0				x
–10 –8 –6	–4 –2	0		6	8 10
–10 –8 –6	–4 –2	2	4	6	8 10

Рис. 7

Сумма ряда Фурье

( ) 4 − x, − 2 < x < 2,

S x =

4, x = −2, x = 2.

3.6. Разложение непериодической функции в ряд Фурье

Рассмотрим непериодическую функцию y = f (x) , заданную на всей числовой оси (−∞ < x < ∞) . Данную функцию нельзя разложить в ряд Фурье, так как сумма S (x) ряда Фурье есть периодическая функция. Если непериодическая функция y = f (x) на любом

конечном промежутке [a;b] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то её можно представить в виде ряда Фурье.

Пусть функция y = f (x) задана на отрезке [a;b] и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Переместим начало координат

в середину отрезка [a;b]			и построим функцию f1 (x) с периодом
T = 2l =	b − a	. Функция	f1 (x) = f (x)	при	−l ≤ x ≤ l . Функцию

f1 (x) можно разложить в ряд Фурье.				Сумма	S (x) этого ряда во
всех точках отрезка [a;b]			совпадает с заданной функцией y = f (x) ,

кроме точек разрыва. Вне этого интервала сумма S (x) ряда и функция y = f (x) не совпадают.

Перенесём начало координат в точку x = a			отрезка [a;b] , то-
гда l =	b − a	. Пусть непериодическая функция	f (x) задана на от-

резке [0;l], и её надо разложить в ряд Фурье. В этом случае функцию надо доопределить на отрезок [−l;0] , затем осуществить периодическое продолжение с периодом T = 2l .

Функцию f (x) , заданную на отрезке [0;l], можно доопределить на отрезок [−l;0] :

1) произвольным образом;

2) чётным образом, т.е. f (x) = f (−x) при −l ≤ x ≤ 0 . Функция f (x) разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам;

3) нечётным образом, т.е. − f (x) = f (−x) при −l ≤ x ≤ 0 . Функция f (x) разлагается в неполный ряд Фурье по синусам.

Рассмотрим на нашем примере, как можно разложить в ряд Фурье непериодическую функцию.

Пример 45

Непериодическая функция f (x) = 2x − 4 задана на отрезке [2;6]. Найти её разложение в ряд Фурье.

Функция f (x) = 2x − 4 непрерывна и монотонно возрастает на отрезке [2;6], удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

Период функции T = 2l = 6 − 2 = 4 . Перенесём начало координат в середину отрезка, в точку x = 4 . Составим функцию f1 (x) , заданную на отрезке [−2;2] :

f1 (x) = 2(x + 4) − 4 = 2x + 8 − 4 = 2x + 4.

Функция f1 (x) = f (x) при −2 ≤ x ≤ 2 , f1 (−2) = f (2) = 0,

f1 (2) = f (6) = 8 .

Разложим функцию f1 (x) = 2x + 4 в ряд Фурье на отрезке

[−2;2] (рис. 8):

a0	=	1 (2x + 4)dx = 1		(x2	+ 4x) 2 =
		2				−2
		2 −2	2			−2
		2 −2	2

= 12 ((4 + 8) − (4 − 8)) = 8.

y = f(x)

–10

–8

–6

–4

–2

Рис. 8

an =

πnx

(2x + 4)cos

−2

πnx

4 2

πnx

(2x + 4)sin

cos

πn

(πn)

−2

(cos(πn) − cos(−πn)) = 0.

(πn)2

bn =

πnx

(2x + 4)sin

−2

πnx

4 2

πnx

(2x + 4)cos

sin

πn

(πn)

−2

(−1)n+1 8

−1

((4 + 4)cos(πn) − (−4 + 4)cos(−πn)) = −8

(−1)n

πn

Коэффициенты Фурье

a =

a = 0,

b =

(−1)n+1 8

πn

Ряд Фурье

f ( x) = f1

( x) = 4 + 8 (−1)

n+1

πnx .

sin

∞

π n=1

Функция f1 (x) = 2x + 4

непрерывна на отрезке [−2;2] и сов-

падает с суммой S (x)

ряда Фурье.

Найдём сумму S (x)

ряда на

концах отрезка, в точках x = −2 и x = 2 :

S (−2) = S (2) =

f1 (−2 + 0) + f1 (2 − 0)

(−4 + 4)

+ (4 + 4)

= 4.

На концах отрезка, в точках x = −2

и x = 2 ,

сумма S (x) ряда

не совпадает с функцией f1 (−2) = 0 и

f1 (2) = 8.

Получили разложение в ряд Фурье непериодической функции

f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6] (рис. 9)

y = S(x)

–10 –8 –6 –4 –2

6 8

Рис. 9

Пример 46

функция f (x) = 2x − 4

Непериодическая

задана на

отрезке

[2;6]. Найти её разложение в ряд Фурье.

Функция f (x) = 2x − 4 непрерывна и монотонно возрастает на

отрезке [2;6], удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

Перенесём начало координат в точку x = 2 . Составим функцию f1 (x) , заданную на отрезке [0;4]:

f1 (x) = 2(x + 2) − 4 = 2x + 4 − 4 = 2x.

Функция f1 (x) = f (x) при 0 ≤ x ≤ 4 , f1 (0) = f (2) = 0 ,

f1 (4) = f (6) = 8 .

Функция f1 (x) задана на полупериоде [0;4] длиной l = 4 . Функцию f1 (x) можно доопределить на отрезок [−4;0]

а) чётным образом:

f	( x) =	−2x, − 4 ≤ x ≤ 0,
1			≤ x	≤ 4.
		2x, 0	≤ x	≤ 4.

ФункцияразлагаетсявнеполныйрядФурьепокосинусам(рис. 10); б) нечётным образом: f1 (x) = 2x при −4 ≤ x ≤ 4 (рис. 11). Функция разлагается в неполный ряд Фурье по синусам. Най-

дём это разложение.

bn =

πnx

2x sin

dx =

−4

πnx

2 16

πnx

2x cos

sin

πn

(πn)

−4

x cos

πnx

sin

πn

(πn)

= −4 4 cos(πn) =

−16 (−1)n

(−1)n+1 16

πn

–12 –10 –8 –6 –4 –2

Ряд Фурье:

Рис.210

–2

–4

–6

–8

Рис. 11

y = f(x)

					3x
4	6	8	10	12

y = f(x)

4 6 8 10 12

		16		(	−1	n+1	πnx
		16		(	−1		πnx
f (x) = f1			∞
f (x) = f1	( x) =	π			n		sin	4	.
		π	n=1		n			4

Получили разложение в ряд Фурье непериодической функции f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6], передвинув начало координат в точку x = 2 и доопределив функцию нечётным образом.

Функция f1 (x) = 2x непрерывна на отрезке [−4;4] и совпада-

ет с суммой S (x)

ряда Фурье. Найдём сумму S (x) ряда на концах

отрезка, в точках x = −4 и x = 4 :

S (−4) = S (4) =

f1 (−4 + 0) + f1

− 0)

−8

+ 8

= 0.

На концах отрезка,

в точках x = −4

и x = 4 ,

сумма S (x) ряда

не совпадает с функцией

f1 (−4) = −8 и

f1 (4) = 8.

y = S(x)

–12

–10

–8

–6

–4

–2

–4

–6

–8

Рис. 12

В примерах 45 и 46 получили разное разложение в ряд Фурье одной и той же непериодической функции f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6], по-разному доопределив её.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20238.37 Mб0Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб1Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб1Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб2Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб0Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб2Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб1Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб3Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб0Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб2Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf
#
20.11.2023740.01 Кб4Шасси автомобиля. Элементы расчета и эксплуатационная надежность.pdf