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Пермский национальный исследовательский политехнический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

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3.21

∞

5n 3 n2 .

3.22

(n + 1)!.

n=1 (n + 1)!

∞

n=1

(2n)!

3.23

∞

3.24

∞

3 5 7 …(2n + 1)

n=1

4n (n + 2)!

2 5 8 … (3n − 1)

3.25

∞

2n!

3.26

∞

1 4 7 … (3n − 2)

2n +

n=1

7 9 11 … (2n + 5)

3.27

∞

(3n + 2)!

3.28

∞

n−1

+ 5

n 2

n=1

10 n

n=1

(n − 1)!

3.29

∞

3.30

∞

n!n

n .

n! (2n + 1)!

n=1

+ 2

n=1

(3n)!

3.31

∞

1 4 7 … (3n − 2)

3.32

∞

5 8 …

3n − 1

(

)

n+1

(2n)!

n=1

Задача 4. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь ради-

кальным признаком Коши.

4.1

∞

− n2

4.2

∞

n=1

+ 1

n=1

4.3

∞

2n2 + 1 n2

4.4

∞

+ 1

3n +

n=1

4.5

∞

2n + 1 n2

4.6

∞

2n + 2 n

3n − 2

3n +

n=1

4.7

∞

ln (n)

4.8

∞

4 −

10n + 5

n=1

4.9

∞

4n − 3 n2

4.10.

∞

n + 2 n2

5n + 1

n=1

3n − 1

4.11

∞

n − 1 n

4.12

∞

2n + 3 n2

n + 1

n=1

101

4.13	∞				3n + 2 n											4.14	∞					n + 1						n2
												.																.
												.										2n − 3						.
	n=1				4n − 1												n=1					2n − 3
4.15	∞				7n				2n+1							4.16	∞		2n − 1								n 2
									.													3n + 1										.
									.																							.
	n=1 3n + 1																n=1
4.17			∞			2n+ 2										4.18	∞	n + 1 n2												1
						n	n .																										.
							n .															n							2			n	.
		n=1															n=1					n							2
4.19	∞				n−1					− n						4.20	∞					n2							n	2
	2						e							.														.
	2						e							.							2n		2					.
	n=1																n=1				2n				+ 1
	n=1

4.21	∞					2n						n2				4.22	∞					n − 1						n2
												.																.
				4n +								.										2n + 4						.
	n=1			4n +				3									n=1					2n + 4
4.23	∞				3n + 1 n2											4.24	∞		n + 2									3n
											.																	.
					3n −			1			.											2n + 1						.
	n=1				3n −			1									n=1					2n + 1
4.25	∞				n 3n+ 2											4.26	∞						n2n
							n .																								.
							n .													(							)		n		.
	n=1					5											n=1			(		2n		2			)
	n=1					5											n=1							2		+ 1
																										+ 1
4.27	∞					n					n2					4.28	∞	n − 1 n(n−1)
											.																					.
					3n −			1			.																					.
	n=1				3n −			1									n= 2 n + 1
4.29	∞					3n										4.30	∞								2n			π
															.		arctg													.
			(2n + 1)										n		.		arctg										4			.
	n=1		(2n + 1)														n=1										4
4.31	∞				3n − 1 2n											4.32	∞		2n + 3									n2
												.																.
				4n +								.										2n − 3						.
	n=1			4n +				2									n=1					2n − 3

Задача 5. Исследовать ряд на сходимость, пользуясь интегральным признаком Коши.

5.1	∞	n			5.2	∞	1
	n=1		.			n=1					.
		2n2					n n + 1
5.3	∞	n			5.4	∞	1
				.						.
		2						9 + 4n	2
	n=1 n	+ 4				n=1

102

5.5									∞					− n																5.6				∞						1
							e													.																				1					.
							e								n					.																		3n − 2							.
								n=1							n																		n=1					3n − 2

5.7								∞									− n													5.8												1
							n e .																									∞				arctg
							n=1																																			n							.
																																								n		2							.
																																n=1								n

5.9		∞												1																5.10					∞				ln (n)
														1											.																			.
				(		ln					2	(n)						+			)		n
											2																												3 7
		n=2																																n= 2							n
		n=2																			1													n= 2
5.11		∞										ln (n)																		5.12	∞									1
		n=2																							.						n=2																					.
		n=2			n(ln2 (n) + 1)																				.						n=2		n(ln2 (n) + 4)																			.
5.13								∞				ln(n)																		5.14			∞							1
																					.																									.
																																										ln(n)
															n																											ln(n)
						n=2									n																		n=1				n 2
5.15				∞										1																5.16	∞									1
			n= 2																			.									n=1																						.
			n= 2						n ln2 (n)													.									n=1	(n + 1)ln4 (n + 1)																					.
5.17	∞														1															5.18		∞								3n
																													.																					.
		(2n − 3)ln														4			(2n −								3)		.								(						2		3					.
	n= 2	(2n − 3)ln																	(2n −								3)					n=1											2		3
																																								+ n					)
																																						1		+ n
5.19			∞												1															5.20			∞							n
																								.																							.
							n			2		+ 4n + 5												.															n2 + 3								.
		n=1					n					+ 4n + 5																					n=1						n2 + 3
5.21		∞													1															5.22		∞								2n
																										.																									.
				(n +								2)(n +										3)				.											(n2 − 3)3														.
		n=1		(n +								2)(n +										3)										n=2					(n2 − 3)3

5.23	∞											n + 1																		5.24			∞							1
																												.																				.
																												.												ln (n)								.
	n=1 (2n + 1)(3n + 2)																															n=2 n								ln (n)
												ln (n) .																					ln (n3 ).
5.25					∞						3																			5.26					∞

																																									n
				n= 2										n																				n= 2							n

5.27										∞			n		2															5.28					∞				1				1
															2				.																				1		3n.
															2				.																				2		3n.
									n=1				n																					n=1					n

103

5.29

∞

5.30

∞

n=2 n ln (n)

n=1

5.31

∞

ln(n)

5.32

∞

n3 + 1

n=2

n=1

Задача 6. Исследовать ряд на сходимость, подобрав соответ-

ствующий признак.

6.1

(а)

∞

(б)

∞

( 3 )

(n + 1)

n=1

6.2

(а)

∞

(б)

∞

+ 2 −

− 2

n=1 10

+ n

n=1

6.3

(а)

∞

10n

(б)

∞

3n2 + 1

+ n

n=1

6.4

(а)

∞

2n + 1

(б)

∞

ln (n)

(n + 1)

n=1

n=2

− 3

6.5

(а)

∞

2n2 + 2n + 1

(б)

∞ (

n=1 5n2 + 2n + 1.

n=1

6.6

(а)

∞

(б)

∞

(n)

n=1

+ 5

n=2

4 n5

6.7

(а)

∞

n + 1

(б)

∞

1 − cos

n=1

6.8

(а)

∞

(б)

∞

+ 2

+ n

−

+ sin (

)

n=1 n

n=1

6.9

(а)

∞

(б)

∞

100

n=1

n + 1

n=1

6.10

(а)

∞ n − 1

(б)

∞

n=1

n + 1

n=2

−1

104

6.11

(а)

∞

1 + n

(б)

∞

arctgn 1

n=1

3 + n

n=1

6.12

(а)

∞

(б)

(

2 )

∞

(n +

3) 2

n=1

6.13

(а)

∞

(б)

∞

n + 2.

+ n

n=1

6.14

(а)

∞

5n + 4

(б)

nπ

∞

cos

n=1

+ 2

n=1

6.15

(а)

∞

(б)

∞

(1+ n)

(n +

n2 .

n=1

6.16

(а)

∞

(n + 1)3

(б)

∞

+ 4

n+1 .

(

3 )

n=1

6.17

(а)

∞

(б)

∞

n − 1 n+ 2

n+ 3

−

n=1 3

(n + 3)

n=1

n + 3

6.18

(а)

∞

(n + 2)3

(б)

∞

− n

(

2 )

n .

n e

n=1

(

)

n + 1 .

6.19

(а)

∞

cos

nπ

(б)

∞

n=1

2n − 1

n + 2

6.20

(а)

∞

(б)

∞

+ 5

(n +

n=1

1) 3

n=1

n − 2

6.21

(а)

∞

(б)

∞

2n .

n=1

+ 1

n=1

6.22

(а)

∞

(б)

∞

n=1

2n2 + 1

n 4 2n − 1

6.23

(а)

∞

(б)

∞

2n4

− 1.

n=1

+ 1

n=1

n3 + n

105

6.24

(а)

∞

(б)

∞

n + ln (n)

n=1

6.25

(а)

∞

n + 1 n

(б)

∞

1− cos

3n + 2

n=1

6.26

(а)

∞

(б)

∞

(2n2 + 7)3

( 3 )

n=1

6.27

(а)

∞

(б)

∞

n=1 2n 1+ n

n=1 (n + 2)

6.28

(а)

∞

n2 + 2

(б)

∞

2 5 8 … (3n −1)

n 1

2n+2 (n + 2)

4 10 16 … (6n − 2)

n=1

6.29

(а)

nπ

(б)

∞

∞ 1 + sin

n=1

+ 4

n=1

6.30

(а)

∞

(б)

∞

1 8 27 … n3

n=1

n2 − ln2 (n)

4 10 16 … (6n − 2)

6.31

(а)

∞ n

(б)

∞

n +n

n=1 2

n=1

6.32

(а)

∞

1+ n

(б)

∞

(

)

n+1

(

)

−1

n=1

n=2

Задача 7. Исследовать ряд на сходимость, установить характер сходимости: абсолютная или условная.

7.1

(а)

∞

n+1

2n + 1

(б)

∞ (−1)n+1 (n2 + 2)

(−1)

n(n + 1)

+ 3

n=1

7.2

(а)

∞

n+1

(б)

∞

(−1)n+1 (ln2 n)

(−1)

2n + 1

n 1

n=2

106

7.3

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1

ln (n + 1)

(2n +

n=1

7.4

(а)

∞

(б)

∞

(−1)

n+1

(−1)n+1 sin

(3n + 4)

n=1

7.5

(а)

∞

(−1)n+1 2n2

(б)

∞

(−1)n+1 n2

+ n

+ 1

n=1

7.6

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1 (n + 1)

n 4 2n + 3

+ 4

n=1

7.7

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1

n .

n=2 n ln (n)

n=1

7.8

(а)

∞

n+1 sin(3n )

(б)

∞

(−1)

n+1

(n + 4)

(−1)

n=1

n6 + 1

7.9

(а)

∞

(−1)n−1

(б)

∞

(−1)n+1 n2

(n + 1)

n=1

(n + 1) 5

7.10

(а)

∞

n+1 2n − 1

(б)

∞

(−1)n+1 (n + 2)2

(−1)

− 2n + 8

n=1

7.11

(а)

∞

(

−1

n−1

(б)

∞

(

−1

n+1

(

n + 5

)

n +

(n + 3)

n=1

7.12

(а)

∞

n+1 n + 2n

(б)

∞

(−1)n+1 (n + 2)

(−1)

n .

+ 2n

n=1

7.13

(а)

∞

(−1)

n+1

(б)

∞

(−1)

n+1

+ 1)

(5n − 1)3

n=1

(2n2 + 1)

7.14

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1

+ sin

(n)

3 n4

n=1

7.15

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1 (n + 1)

n n

n=1

107

7.16

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1 3n

n ln (2n)

(n + 1)

n=2

n=1

7.17

(а)

∞

(−1)

n+1

(б)

∞

(

−1

n+1

(

n + 3

)

(n + 1)!

+ 2n +

n=1

7.18

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(−1)n+1 n3

3n + ln (n)

(

n + 1 !

n=1

)

7.19

(а)

∞

n−1

1 4 … (3n − 2)

(б)

∞

(−1)

n+1

(3n

+ 2)

(−1)

7 9 … (2n +

+ 1

n=1

7.20

(а)

∞

n+1

(б)

∞

(

−1)n+1

(−1)

ln 1

n=1

+ 2n

n=1

7.21

(а)

∞

+1 1 − cos

(б)

∞

(−1)

n+1

+ 1)

(−1)n

n=1

n(n + 4)

7.22

(а)

∞

n+1 n2

(б)

∞

(−1)n+1 n

(−1)

n .

+ 4)

n=1

7.23

(а)

∞

n+1 n3

(б)

∞

(−1)n+1 arctg (n)

(−1)

(n + 1)!

n=1

7.24

(а)

∞

n+1

(б)

∞

(

−1)

n+1

(−1)

3n + 5

n2 + 3n − 1

n=1

7.25

(а)

∞

(−1)n−1 (2n + 1)

(б)

∞

(−1)n+1

n(n + 2)

+ 3n3 +

n=1

7.26

(а)

∞

(−1)n+1 (n + 3)

(б)

∞

(

−1)n+1

− 1

n3 + 1

n= 2

n=1

7.27

(а)

∞

n+1

(б)

∞

(−1)

2n + 1

n=1

7.28

(а)

∞

(−1)n−1

(б)

∞

(−1)n+1 (5n − 2)

n 5 (n + 1)3

(n + 2)

n=1

108

7.29

(а)

∞

n−1 (n!)2

(б)

∞

(−1)n+1

(−1)

n=1

(2n)!

n=1 ln (n + 1)

7.30

(а)

∞

n .

(б)

∞

(−1)

n+1

(n + 1).

(−1)n+1

(2n + 1)

n=1

n + 1

7.31

(а)

∞

n+1

(б)

∞

(−1)

n+1

(−1)

2n3 − 3

3 5

n=1

+ 4

7.32

(а)

∞

(−1)n+1

(б)

∞

(

−1)n+1 n

4 n5

+ 1

ln (n)

n=1

n=2

Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью δ.

8.1

∞

(−1)n+1

8.2

∞

(−1)n+1

δ = 0,01.

n=1

8.3

∞

(−1)n+1

8.4

∞

(−1)n+1

(

, δ = 0,001.

δ = 0,001.

n=1

2n)

n=1 n!(2n + 1)

8.5

∞ (−1)n+1 (2n + 1)

8.6

∞

(−1)n+1

δ = 0,01.

, δ = 0,001.

(n + 1)

n=1

n=1 (2n + 1)

8.7

∞

8.8

∞

(

−1)n+1

δ = 0,1.

(−1)n+1

, δ = 0,1.

n=1

8.9

∞

(

)

n+1

8.10

∞

(−1)

n+1

−1

, δ = 0,001.

δ = 0,001.

− 1)

(2n +

n=1 (2n

n=1

n! 3

8.11

∞

(−1)n+1

8.12

∞

(−1)n+1

δ = 0,01.

δ = 0,001.

n 2

n=1

n=1 (n + 1)

8.13

∞

8.14

∞

(−1)n+1

(−1)

δ = 0,01.

, δ = 0,01.

n+1

n=1 n2 (n + 3)

n=1

8.15

∞

(−1)n+1

8.16

∞

(−1)n+1

(2n)!

δ = 0,001.

n=1

n=1 (n3 + 1)

109

8.17

∞

(−1)n+1

8.18

∞

(−1)n+1 n

n n!

δ = 0,001.

n=1

(1+ n2 )

8.19

∞

(−1)

n+1

8.20

∞

(−1)

n+1

(2n

+ 1)

δ = 0,001.

, δ = 0,001.

n!(2n)

n 1

n=1

8.21

∞

(−1)n+1

8.22

∞

(−1)n+1

δ = 0,001.

n+1

(n + 1)

n=1 n(n + 1)

n=1

8.23

∞

(−1)n+1

8.24

∞

(−1)n+1 (n +

δ = 0,001.

, δ = 0,001.

n=1

8.25

∞

(−1)n+1

8.26

∞

(−1)n+1

n ,

δ = 0,001.

n+1

(n + 1)

n=1

n=1 3

8.27

∞

(−1)n+1

8.28

∞

(−1)n+1

δ = 0,001.

(2n + 1)

n=1

8.29

∞

(−1)n+1 2n

8.30

∞

(−1)n+1

δ = 0,01.

δ = 0,001.

(n + 1)

n(n + 1)

n=1

n=1 3

8.31

∞

(−1)n+1

8.32

∞

(−1)n+1

δ = 0,01.

2n(2n + 1)

n=1

4.2. Степенные ряды

Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда.

1.1

∞

(n − 2) ( x + 3)

1.2

∞

(x − 3)

n .

n=1

2n + 3

n=1

(n + 1) 5

1.3

∞

( x − 1)2n

1.4

∞

2n + 3

n .

n 9

n + 1

n=1

n 1

= (

)

1.5

∞

( x − 2)

1.6

∞

( x − 5)

2n+2

n=1

3n +

110

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