Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

972.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

3.13	f (x) =	0,	0 ≤ x < 1,	3.14	f ( x) = 4	− 4x, 0 ≤ x < 1,
	f (x) =	0,	0 ≤ x < 1,		f ( x) = 4	− 4x, 0 ≤ x < 1,
	3x − 3, 1 ≤ x < 2.					0,		1 ≤ x < 2.
3.15	f ( x) = 4x − 4, 0 ≤ x < 1,			3.16	f ( x) = 5x, 0 ≤ x < 3,
	f ( x) = 4x − 4, 0 ≤ x < 1,				f ( x) = 5x, 0 ≤ x < 3,
		0,	1 ≤ x < 2.		0, 3 ≤ x < 6.
3.17		2		3.18	f ( x) =	0,		0 ≤ x < 1,
	f (x) =16 − x , 0 ≤ x < 4.				f ( x) =
					4 − 4x, 1 ≤ x < 2.
3.19	f (x) =	0,	0 ≤ x < 2,	3.20	f (x) = 0,5 − x,			0 ≤ x < 0,5,
	f (x) =	0,	0 ≤ x < 2,		f (x) = 0,5 − x,			0 ≤ x < 0,5,
	x − 2,		2 ≤ x < 4.			0,		0,5 ≤ x < 1.
3.21	x − 0,5,		0 ≤ x < 0,5,	3.22	0, 25x,			0 ≤ x < 4,
	f (x) =	0,	0,5 ≤ x < 1.		f (x) =	0,		4 ≤ x < 8.
		0,	0,5 ≤ x < 1.			0,		4 ≤ x < 8.

3.23	f (x) = 25 − x2 ,		0 ≤ x < 5.	3.24	f (x) = 3− 2x,			0 ≤ x < 3.
3.25	f (x) = 3 − 3x, 0 ≤ x < 1,			3.26	f (x) = 4 − x, 0 ≤ x < 4,
	f (x) = 3 − 3x, 0 ≤ x < 1,				f (x) = 4 − x, 0 ≤ x < 4,
		0,	1 ≤ x < 2.		0,			4 ≤ x < 8.
3.27	f (x) = x − 4,		0 ≤ x < 4,	3.28	f ( x) = 4x,		0	≤ x < 0,5,
	f (x) = x − 4,		0 ≤ x < 4,		f ( x) = 4x,		0	≤ x < 0,5,
		0,	4 ≤ x < 8.		0,		0,5 ≤ x < 1.
3.29	f (x) = 1	− 2x, 0 ≤ x < 1.		3.30	f (x) =	0,		0 ≤ x < 4,
	f (x) = 1	− 2x, 0 ≤ x < 1.			f (x) =	0,		0 ≤ x < 4,
					x − 4,			4 ≤ x < 8.
3.31	f (x) = 4 − 2x,		0 ≤ x < 4.	3.32	f (x) = 2 − 2x,			0 ≤ x < 2.

Задача 4. Построить график функции. Разложить функцию в ряд Фурье. Найти амплитудный и фазовый спектры периодической

функции f (x) . Построить графики спектров.

4.1	f ( x) = −5, 0 ≤ x < 2,		4.2	f ( x) = 4, 0 ≤ x < 4,
	f ( x) = −5, 0 ≤ x < 2,			f ( x) = 4, 0 ≤ x < 4,
	2,	2 ≤ x < 4.		0, 4 ≤ x < 8.
4.3	f (x) = 1,	0 ≤ x < 1,	4.4	f ( x) = 1,	0 ≤ x < 0,5,
	f (x) = 1,	0 ≤ x < 1,		f ( x) = 1,	0 ≤ x < 0,5,
	4,	1 ≤ x < 2.		5,	0,5 ≤ x < 1.

131

4.5	4,		0 ≤ x < 1,5,		4.6		2,	0 ≤ x < 3,
	f ( x) =		1,5 ≤ x < 3.			f (x) =		3 ≤ x < 6.
	1,						6,
4.7	1,		0 ≤ x < 5,		4.8	2,		0 ≤ x < 2,5,
	f ( x) =		5 ≤ x < 10.			f ( x) =		2,5 ≤ x < 5.
	−4,					−4,
4.9	−4,		0 ≤ x < 6,		4.10	2,		0 ≤ x < 3,5,
	f ( x) =		6 ≤ x < 12.			f (x) =		3,5 ≤ x < 7.
	3,					1,
4.11	f ( x) = 0,		0 ≤ x < π,		4.12	f ( x) = 1,		0 ≤ x < 2π,

	3, π ≤ x < 2π.					2, 2π ≤ x < 4π.
4.13				3π	4.14				π
	−2, 0 ≤ x < 2 ,					−4, 0 ≤ x < 2 ,
	f (x) =		3π			f (x) =		π
		4,		≤ x < 3π.					≤ x < π.
						1,		2
			2

4.15	−3,		0 ≤ x < 3π,		4.16	f (x) =	−1,	0 ≤ x < 1,
	f ( x) =	4, 3π ≤ x < 6π.
							5, 1 ≤ x < 2.
4.17	f ( x) = 0, 0 ≤ x < 2,				4.18	f ( x) = −4, 0 ≤ x < 3,

		5, 2 ≤ x < 4.				2,		3 ≤ x < 6.
4.19	f (x) =	3,	0 ≤ x < 4,		4.20	f ( x) =	−3,	0 ≤ x < 1,
								1 ≤ x < 2.
		0, 4 ≤ x < 8.					1,
4.21	f ( x) = −3, 0 ≤ x < 2,				4.22	f (x) = 1,		0 ≤ x < 7,

	2,		2 ≤ x < 4.			−2,		7 ≤ x < 14.
4.23	f ( x) = 1,		0 ≤ x < 3,		4.24	f ( x) =	1,	0 ≤ x < 1,5,

	−3,		3 ≤ x < 6.			−4,		1,5 ≤ x < 3.
4.25	2,		0 ≤ x < 2,5,		4.26	4,		0 ≤ x < 5,
	f (x) =		2,5 ≤ x < 5.			f ( x) =		5 ≤ x < 10.
	−5,					−1,
4.27	f (x) =	0,	0 ≤ x < 6,		4.28	f ( x) =	3,	0 ≤ x < 7,
			6 ≤ x < 12.					7 ≤ x < 14.
		2,					1,
4.29	f ( x) =	5,	0 ≤ x < 4,		4.30	2,		0 ≤ x < π,
						f ( x) =		π ≤ x < 2π.
		2, 4 ≤ x < 8.				6,
4.31	f (x) = 3,		0 ≤ x < 2π,		4.32	f ( x) =	5,	0 ≤ x < 3π,

	−1, 2π ≤ x < 4π.					−1, 3π ≤ x < 6π.
132

133

ПРИЛОЖЕНИЕ

Разложение элементарных функций в степенной ряд Маклорена

№

Разложение функций

Интервал сходимости

f ( x) = f ( x ) +

f ′ ( x0 )

( x − x

) +

f ′′ ( x0 )

( x − x

+ … +

(n)

( x0 )

( x − x

+ …

Ряд Тейлора

∞

x (−∞;∞)

ex = 1

+ … +

+ … =

n=0

n−1

x2n−1

∞

n−1

x2n−1

x (−∞;∞)

sinx = x −

−

+ … + (−1)

+ … = (−1)

(2n − 1)!

n=1

n x2n

∞

x2n

x (−∞;∞)

cosx = 1 −

−

− … + (−1)

+ … =

(−1)

(2n)!

(

2n)!

n=0

n−1

∞

n−1 xn

x (−1;1]

ln (1 + x) = x −

−

− ... + (−1)

+ ... = (−1)

n=1

ln (1− x) = − x − x

− x

− ... − x

− ... =

− x

x [−1;1)

∞

n=1

1 + x

x2n−1

∞

x2n−1

x (−1;1)

= ln (1

+ x) − ln (1 − x) = 2

x +

+ … +

+ …

= 2

2n − 1

1 − x

n=1

133

134

n−1

x2n−1

∞

n−1 x2n−1

x [−1;1]

arctgx

= x −

−

− … + (−1)

+ … = (−1)

2n − 1

− 1

n=1

arcsinx = x + 1 x

+ 1 3

+ 1 3 5 x

+ … + 1 3 5 … (2n − 1)

+ …

x [−1;1]

2 4 6 … (2n)

2 4

2 4 6

2n + 1

ex − e− x

x2n+1

∞

x2n+1

x (−∞;∞)

shx =

= x +

+ … +

+ … =

(2n

+ 1)!

(2n + 1)!

n=0

ex + e− x

x2n

∞

x2n

x (−∞;∞)

chx =

= 1 +

+ … +

+ … =

(2n)!

n=0

Биноминальное разложение

(1+ x)k = 1+

x +

k (k − 1)

x2 +

k (k − 1)(k − 2)

x3 + …

x (−1;1)

… +

k (k − 1)(k − 2)(k − 3)…(k − n + 1)

xn + … =

= 1 + k

(k − 1)(k − 2)(k − 3)…(k − n + 1) xn .

∞

n=1

Частные случаи биноминального разложения

∞

x (−1;1)

= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + … + (−1)n xn + … = (−1)n xn .

1 + x

n=0

134

14														1																																	∞									x (−1;1)
																			= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + … + xn + … = xn .																																					x (−1;1)
													1 − x						= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + … + xn + … = xn .
													1 − x																																		n=0

15				1								1									1 3									1 3 5									1 3 5 7								∞ (	−1)n−1 (2n −1)!!								x	(	−1;1
		1+ x =1+					x −								x2			+							x3	−							x4 +									x5 −… =1+											xn .				(	)
		1+ x =1+		2			x −			2 4					x2			+		2 4 6					x3	−			2 4 6			8	x4 +			2			4 6 8 10			x5 −… =1+						(2n)!!(2n −1)					xn .
				2						2 4										2 4 6									2 4 6			8				2			4 6 8 10								n=1	(2n)!!(2n −1)
16				1								1										1 3								1 3 5									1 3 5 7								∞			(2n −1)!!						x (−1;1)
		1 − x = 1 −		1		x −						1				x2			−			1 3			x3		−			1 3 5				x4	−				1 3 5 7				x5	− … = 1 −						(2n −1)!!			xn .			x (−1;1)
		1 − x = 1 −		2		x −					2			4		x2			−		2 4			6	x3		−			2 4 6 8				x4	−				2 4 6 8 10				x5	− … = 1 −						(2n)!!(2n −1)			xn .
				2							2			4							2 4			6						2 4 6 8									2 4 6 8 10								n=1			(2n)!!(2n −1)
17	1				1						1 3										1 3 5									1 3 5 7									1 3 5 7 9								∞		(−1)n (2n −1)!!							x	(	−1;1
			= 1−				x +									x2			−						x3		+							x4	−								x5	+ … = 1+									xn .				(	)
		1+ x	= 1−		2		x +				2			4		x2			−		2 4			6	x3		+			2 4 6 8				x4	−			2 4 6 8 10					x5	+ … = 1+							(2n)!!		xn .
		1+ x			2						2			4							2 4			6						2 4 6 8								2 4 6 8 10									n=1				(2n)!!

18	1				1								1 3						2				1 3 5					3			1 3 5 7						4			1 3 5 7 9						5				∞	(2n −1)!!			n		x (−1;1)
			= 1 +					x	+								x			+							x			+					x				+						x		+ … = 1	+				x			.
		1 − x	= 1 +		2			x	+			2			4		x			+			2 4 6				x			+	2 4	6		8	x				+	2 4 6	8		10		x		+ … = 1	+			(2n)!!	x			.
		1 − x			2							2			4								2 4 6								2 4	6		8						2 4 6	8		10							n=1	(2n)!!

135

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Виноградова И.А., Олехнин С.Н. Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды): учеб. пособие. – М.: Факториал, 1996. – 477 с.

2.Максимова О.Д. Основы математического анализа: числовые ряды: учеб. пособие для втузов. – М.: Юрайт, 2019. – 99 с.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебник для втузов: 2 т. – Стер. изд. – М.: Альянс, 2021. –

Т. 2. – 544 с.

4.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.

В2 ч. Ч. 2. – 11-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 252 с.

5.Тарабан М.В., Затенко С.И. Высшая математика. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье: учеб. пособие для студентов всех специальностей и направлений. – СПб.: СПбГЛТУ, 2017. – 83 с.

136

Учебное издание

ВАЛЕЕВА Розалия Файзулхаковна

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Учебно-методическое пособие

Редактор и корректор И.А. Мангасарова

Подписано в печать 25.11.2021. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 8,5. Тираж 28 экз. Заказ № 255/2021.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. (342) 219-80-33.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1414

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20238.37 Mб0Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб1Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб1Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб2Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб0Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб2Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб1Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб3Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб0Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб2Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf
#
20.11.2023740.01 Кб4Шасси автомобиля. Элементы расчета и эксплуатационная надежность.pdf