Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

972.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

где a ≤ α < x ≤ b,	сходится равномерно на отрезке [a;b] и имеет
суммой функцию
xu1 ( x)dx + xu2 (x)dx + …+ xun ( x)dx + … = xS (x)dx.
α	α	α	α

3. Пусть функциональный ряд сходится на отрезке [a;b] и его

члены имеют непрерывные производные. Тогда ряд, полученный после почленного дифференцирования, сходится равномерно на от-

резке [a;b], и его сумма равна производной от суммы данного ряда:

′	′	′	′	′	(x).
u1	(x) + u2	(x) + u3	(x) + …+ un	(x) +…= S	(x).

Иначе говоря, равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.

Пример 24. Доказать равномерную сходимость функциональ-

∞

sin (nx)

ного ряда

на всей числовой оси.

n=1

sin (nx)

Рассмотрим

общий

член ряда u

( x) =

. Функция

sin(nx) ограниченная:

sin (nx)

≤ 1, тогда

(x)

≤

при всех зна-

∞

чениях n. Числовой ряд

сходится, как убывающая геометри-

n=1

ческая последовательность. Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно.

2.3. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенных рядов

Частным случаем функциональных рядов является степенной ряд, который имеет большое значение в математике и её приложениях.

Определение 7. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

a	+ a x + a x2		+ a x3 + … + a xn + …,		(26)
0	1	2	3	n
где a0 , a1 , a2 ,…, an ,… –		коэффициенты ряда, постоянные числа, об-
щий член ряда u (x) = a xn.
n		n
Ряд (26) расположен по степеням х. Рассматривают ряд и по
степеням (x − x0 ):
a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + … + an ( x − x0 )n + …,					(27)
где ݔ некоторое постоянное число. При x0				= 0 получим ряд (26).

Если дан степенной ряд, то возникает вопрос: при каких значениях х ряд сходится или расходится? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 11 (теорема Н. Абеля)

Если степенной ряд (26) сходится при x = x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x < x0 .

Если степенной ряд (26) расходится при x = x1 ≠ 0, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству x > x1 .

Из теоремы Абеля следует, что если точка x0 – точка сходимости степенного ряда, то (− x0 ; x0 ) – интервал сходимости. Чис-

ло x0 = R называется радиусом сходимости.

Если точка x1 – точка расходимости степенного ряда, то (−∞;− x1 ) ( x1 ;∞ ) – интервал расходимости.

Для нахождения интервала и радиуса сходимости степенного ряда (26) (или (27)) составим ряд из абсолютных величин членов

данного ряда. К составленному знакоположительному ряду применим признак Даламбера.

Допустим, что существует предел

(x)

xn+1

lim

n+1

= lim

lim

n+1

un (x)

n→∞

an xn

n→∞

Если ряд сходится, то

lim

an+1

< 1.

n→∞

Выразим х:

= lim

n→∞

lim

n+1

n→∞

Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (26)

R = lim

(28)

n→∞

n+1

Аналогично, применяя радикальный признак Коши, имеем

lim n

un ( x)

= lim n

an xn

lim n

< 1,

n→∞

→∞

n→∞

= lim n

lim n

n→∞

Радиус абсолютной сходимости степенного ряда (26)

R = lim n

(29)

n→∞

Замечания

an+1

= 0, то R = ∞, степенной ряд сходится на всей

1. Если lim

n→∞

числовой оси.

2. Если lim	an+1	= ∞, то R = 0, степенной ряд (26) сходится в
n→∞	a
	n
точке x = 0.

3. Интервал сходимости степенного ряда (27) находится из условия x − x0 < R или (x0 − R; x0 + R).

4.	В каждом случае необходимо проверять сходимость степен-
ного ряда на концах интервала.
Свойства степенных рядов
1.	Сумма S (x) степенного ряда (26)		является непрерывной
функцией в интервале сходимости (−R;R).
	∞	∞
2.	Степенные ряды an xn и	bn xn	с радиусами сходимо-
	n=0	n=0

сти R1 и R2 соответственно можно почленно складывать, вычитать

иумножать. Радиус сходимости полученных рядов R = min(R1, R2 ).

3.Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать.

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости: − R < a < x < b < R.

Интервал сходимости полученных рядов в пунктах 3 и 4 остаётся тем же.

Пример 25

Найти интервал сходимости степенного ряда:

∞ xn .

n=1 2n

Применим признак Даламбера:

u	(x) =	xn	,	u	(x) =		xn+1	.

n		2n		n+1		2	(n +1)

Предел отношения

lim

un+1

( x)

= lim

xn+1

= lim

xn+1

un ( x)

2(n + 1)

2(n +

n →∞

x n

= lim

lim

< 1.

n + 1

n →∞

Получили

<1,

тогда интервал сходимости −1 < x < 1. Внут-

ри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

∞

При x = 1

получим числовой ряд

он расходится, как

n=1 2n

гармонический ряд.

∞

(−1)

При x = −1 получим числовой ряд

, он сходится ус-

n=1

ловно по признаку Лейбница.

Интервал сходимости степенного ряда −1 ≤ x < 1.

Пример 26

Найти интервал сходимости степенного ряда:

∞

( x − 5)n

n .

n=1

Общий член ряда

(x) =

( x − 5)n .

Применим радикальный

признак Коши:

lim n

(x)

= lim n

( x − 5)n

x − 5

< 1.

n→∞

x − 5 < 1. 2

x − 5 < 2.

Раскроем модуль −2 < x − 5 < 2. Получаем интервал сходимости 3 < x < 7. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Проверим сходимость ряда на концах интервала.

	∞	n			∞
При x = 7 получим ряд		2n	= 1. Числовой ряд расходится,
	n=1	2		n=1
не выполнен необходимый признак сходимости.
При	∞	(−2)n			∞	n	.	Знакопеременный
При	x = 3 получим ряд		2	n	= (−1)		.	Знакопеременный
	n=1		2		n=1

числовой ряд расходится, не выполнен необходимый признак сходимости.

На концах степенной ряд расходится. Интервал сходимости

3 < x < 7.

Пример27. Найтирадиусиинтервалсходимостистепенногоряда:

∞

nn (x − 1)n .

n=1

Общий член ряда

un (x) = nn (x − 1)n ,

коэффициент an = nn .

По радикальному признаку Коши радиус

R = lim n

= lim n

= lim

1 = 0.

n→∞

n→∞ n

Следовательно, степенной ряд сходится в одной точке x = 1.

Пример28. Найтирадиусиинтервалсходимостистепенногоряда:

∞

(x + 3)n

n=1

(5n − 2)

Общий

член

ряда

un ( x) =

(x + 3)n

коэффициент

(5n − 2)

an =

an+1 =

. По признаку Даламбера имеем

(5n − 2)

(5n + 3)

R = lim

5n + 3

= lim

= 1.

5n − 2

5n + 3

5n − 2

n→∞

n+1

Радиус сходимости R = 1, интервал сходимости −1< x + 3 < 1, или −4 < x < −2. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно.

Проверим сходимость ряда на концах интервала.

При x = −2 получим ряд ∞ 1 Числовой ряд расходится

n=1 5n − 2 .

как аналог гармонического ряда.

x = −4 получим ряд ∞ (−1)n . Знакочередующийся чи- При n=1 5n − 2

словой ряд сходится условно по признаку Лейбница. Интервал сходимости −4 ≤ x < −2.

2.4. Ряды Тейлора и Маклорена

Ряд вида

f (x) = f ( x0 ) +

′ (x0 )

( x − x0 ) +

′′ (x0 )

( x

− x0 )

+ …

… +

f (n) ( x0 )

( x

− x0 )

+ …

называется рядом Тейлора для функции

f (x).

При x0 = 0 получим ряд

′

′′

(

)

f (x) = f (0) +

f (0)

(0)

x +

+ … +

xn + …,

(30)

(31)

который называется рядом Маклорена.

Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в точке x = x0 . Составим для неё формально ряд Тейлора. Для данного ряда возникают следующие вопросы:

1.Совпадает ли сумма ряда с функцией f (x) ?

2.При каких условиях функция f (x) может быть разложена в

ряд Тейлора?

Найдём частичную сумму ряда Тейлора, которая называется многочленом Тейлора степени n:

Sn (x) = f (x0 ) +	f ′ (x0 )	(x − x0 ) +	f ′′ ( x0 )	( x − x0 )	2	+ … +	f (n) ( x0 )	( x − x0 )	n	.
	1!		2!				n!

Разность между функцией f (x) и её многочленом называется остаточным членом ряда Тейлора:

Rn (x) = f (x) − Sn (x).

(32)

Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа имеет вид

Rn (x) =	f (n+1) (c)	( x − x0 )	n+1	,	(33)
	(n + 1)!

где x0 < c < x.

При x = 0 получим остаточный член ряда Маклорена:

Rn (x) =	f (n+1) (c)	xn+1	,	(34)
	(n + 1)!

где 0 < c < x.

Теорема 12. Для того чтобы бесконечно дифференцируемая в

точке x0 функция f (x)		являлась суммой составленного для неё ря-
да Тейлора,	необходимо и достаточно, чтобы		остаточный член
Rn (x) стремился к нулю при n → ∞, т.е. чтобы lim Rn ( x) = 0.
		n→∞
Иногда	непросто	определить значения	х, при которых
lim Rn ( x) = 0.
n→∞

На практике часто пользуются следующей теоремой.

Теорема 13. (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора)

Если в некоторой окрестности точки x = x0 абсолютные величины всех производных функции f (x) ограничены f n ( x) < M , то

функция f (x)	разлагается в ряд Тейлора, т.е. lim Rn ( x) = 0.
	n→∞

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена даны в приложении. Используя эти разложения и формулу суммы геометрической прогрессии, можно получить разложения некоторых функций в степенные ряды. В этом случае нет необходимости исследовать остаток ряда и находить отдельно интервал сходимости. При разложении функции в степенной ряд можно применять почленное дифференцирование или интегрирование степенного ряда.

Пример 29. Используя основные разложения (см. приложение), найти разложение по степеням х для функции

f (x) = sin3x + x cos3x.

Воспользуемся разложением функций sinx и cosx :

sinx = x

−

+ … + (−1)n−1

x2n−1

+ … ,

(2n − 1)!

cosx = 1−

−

− … + (−1)n

x2n

+ … .

(2n)!

Интервал сходимости рядов x (−∞;∞).

В разложениях заменим х на 3х:

sin3x = 3x − (3x)3

(3x)5 −

(3x)7

+ … + (−1)n−1

(3x)2n−1

+ … ,

(2n − 1)!

− (3x)

x cos3x = x 1

(3x)

− (

3x) + … + (−1)n (3x)

+ …

(2n)!

= x

−

32 x3

34 x5

−

36 x7 + 38 x9 − … + (−1)n

32n x2n+1

+ … =

(2n)!

= x −

(3x)3

(3x)5

−

(3x)7

(3x)9

− … + (−1)n (3x)2n+1

+ … .

3 2!

3 4!

3 6!

3 8!

3 (2n)!

Просуммируем ряды и сгруппируем слагаемые по степеням х:

sin3x + x cos3x =

3x − (3x)3 + (3x)5

− (3x)7

+ … + (−1)n

(3x)2n+1

+ … +

(2n + 1)!

+ x − (3x)3 +

(3x)5

− (3x)7

(3x)9 − … + (−1)n (3x)2n+1

+ … =

3 2!

3 4!

3 6!

3 8!

3 (2n)!

= 4x −

2 (3x)3

3 (3x)5 + 5 (3x)5

−

3 (3x)7 + 7 (3x)7

+ …

3 5!

3 7!

+ (−1)n

3 (3x)2n+1 + (2n + 1) (3x)2n+1

+ … =

3 (2n + 1)!

= 4x −

2 (3x)3

8 (3x)5

−

10 (3x)7

+ … +

(−1)n

(2n + 4) (3x)2n+1

+ … =

3 5!

3 7!

3 (2n + 1)!

∞

2n+1

∞

−1)n (n + 2) (3x)

2n+1

= (−1)n (2n + 4) (3x)

= 2 (

n=0

3 (2n + 1)!

3 n=0

(2n + 1)!

Получили разложение функции в степенной ряд:

		∞		2n+1
sin3x + x cos3x =	2	(−1)n (n + 2) (3x)		.
	3 n=0		(2n + 1)!

Интервал сходимости полученного ряда x (−∞;∞).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20238.37 Mб0Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб1Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб1Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб2Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб0Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб2Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб1Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб3Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб0Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб2Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf
#
20.11.2023740.01 Кб4Шасси автомобиля. Элементы расчета и эксплуатационная надежность.pdf