Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

972.67 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

1.7				∞					n		3		+ 1																1.8									∞				n!
									n				+ 1								.																					n!				.
							n		( x − 2)									n			.																					n				.
				n=1		3			( x − 2)																											n=1						x
1.9				∞			(x + 5)								2n−3														1.10	∞			(				x −						7		)		2n− 2
																							.														x −						7																	.

							n																																2		− 5n)												4			n
				n=1		4			(2n − 1)																					n=1 (2n											− 5n)												4
1.11				∞			(x − 2)n																						1.12	∞		3n ( x − 2)3n
																				.																																					.
							(3n + 1) 2											n		.																														3							.
				n=1			(3n + 1) 2																							n=1						(5n − 8)
1.13	∞		(x + 5)n (2n − 3)																										1.14	∞						n ( x − 2)n
													n														.																															.
											2		n	.													.												n			2		+ 1														.
	n=1										2			.																n=1									n					+ 1
1.15					∞ (x +								2)			n2													1.16					∞						n2							n2
											n		n					.													3												x							.
					n=1																												n=1
					n=1
1.17		∞										1																	1.18	∞			3																	2n+3
1.17												1																	1.18	∞			3			(x + 5)
																								.							n																												.
									n	( x − 1)									2n												n
									n										2n
	n=1 n 9																													n=1								(n + 1)!
1.19	∞			(3n − 2) ( x − 3)n																									1.20		∞						(x − 5)n
																											.																									.
					(n			+ 1)					2		2n+1												.										(n + 4)											2				.
	n=1				(n			+ 1)							2n+1																n=1						(n + 4)
1.21	∞											1																	1.22	∞												1
1.21												1														.			1.22													1																			.
				(n		+		2) ( x −									3)						2n			.																									2)							n			.
	n=1			(n		+		2) ( x −									3)													n=1 2n n2 ( x +																					2)
1.23					∞ (x −								4)			n2													1.24									∞				n		3
					∞ (x −								4)																							n=1						n				.
										n		n+1 .																								n=1						xn				.
					n=1					n
1.25				∞							n + 1																		1.26	∞					n																	2n
1.25											n + 1																		1.26	∞			4		n					( x + 1)
																						.											4																							.
							n		(x + 3)									n
							n											n
				n=1		3																								n=1													n
1.27	∞								3n + 5																				1.28	∞									n2 + 1
																												.																											.
										5		( x +							2)						2n			.						5n ( x +													4)						n		.
	n=1 (2n					+ 9)						( x +							2)											n=1				5n ( x +													4)
1.29				∞			(x + 2)n																						1.30	∞				n2 (x − 3)n
																				.																																		.
																		n		.																(n					4		+ 1)						2					.
				n=1			(2n + 1) 3																							n=1						(n							+ 1)
1.31				∞									5				2n												1.32				∞					n						9		n
						(n			+ 1)						x						.																	n						9							.
						(n			+ 1)						x						.																	( x − 1)										n			.
			n=1						2n + 1																						n=1							( x − 1)

111

Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда.

2.1

∞

2.2

∞

n=0

n=1

n + 1

(2n − 1)!

2.3

∞

2.4

∞

3n xn

n .

n=1 n(n +

n=0

2.5

∞

2.6

∞

n2 xn

n .

n=1

2.7

∞

2.8

∞

nn xn .

n=1

2.9

∞

2.10

∞

n + 1

x .

+ 1

n=1 (2n + 1)!

n=0

2.11

∞

2.12

∞

5n xn .

(n2 + 4) 3

10n

n=0

2.13

∞

2.14

∞

+ 1) ln (n + 1)

n=1

n=1 (n

2.15

∞

2.16

∞

(n + 1)(n + 2) xn .

1 +

xn .

n=0

n=1

2.17

∞

2.18

∞

( n + 1 − n − 1)

n=1

2.19

∞

2.20

∞

(2n + 1)2

n=0

n=1

2.21.

∞

(n2 + 1) xn .

2.22

∞

4n xn .

n=0

n=1

2.23

∞

2.24

∞

+ 3)

1 n (n +

112

2.25

∞

2.26

∞

3 n + 1

(n + 2)

n=0

n=0 2

2.27

∞

2.28

∞

+ 2

n=0

3 n4

2.29

∞

2.30

∞

2n xn .

n=0

n=0 (n + 1) 3

2.31

∞

2.32

∞

n=1 ln (n + 1)

n=1

Задача 3. Найти область сходимости степенного ряда. Проверить сходимость на концах интервала.

3.1

∞

(x −1)n

3.2

∞

(x − 2)n

n=0

2n (n + 1)

2n (2n + 1)

3.3

∞

3.4

∞

n ( x − 5)n

(x + 2)

+ 1

n=1

3.5

∞

3.6

∞

( x

+ 4)

nn! (x + 10)n .

n=1

n + 1

3.7

∞

(x − 2)

3.8

∞

( x + 1)

n=1

(n + 1) ln (n + 1)

n=0

n + 1

3.9

∞

(x + 5)n .

3.10

∞

(x + 2)

n .

n=0 (n + 1)

n=0

(n + 1) 2

3.11

∞

( x − 1)

3.12

∞

(x + 5)

n=1

n=0 (n + 1)!

3.13

∞

− 2) ( x + 3)

3.14

∞

3n (x − 3)n .

n=0

2n + 3

n=0

113

3.15

∞

( x − 1n)

3.16

∞

(n + 2)(n + 3)(x − 4)n .

n=1

n 9

n=0

3.17

∞

(2n + 3) ( x − 2)n

3.18

∞

(x − 2)n

ln (n + 1)

n=0

(n + 1)

n=1

3.19

∞

3n (x + 2)n

3.20

∞

( x + 5)n

(5n +

3n + 4

n=0

3.21

∞

( x − 32)

3.22

∞

(x + 2)

n .

n=0

(n + 1)

n=0

(3n + 1) 2

3.23

∞ ( x − 4)n

3.24

∞

5n ( x − 2)n

5n +

n=0

3.25

∞

(n + 2)2 ( x + 4)n

3.26

∞

( x + 7)n

+ 1)(n +

n=1

n=0

3.27

∞

( x − 4)

3.28

∞

n ( x − 7)

(n + 2)(n + 3)

n=1

3.29

∞

(n + 1) ( x − 7)n

3.30

∞

n (x − 6)n

(6n − 4)

n=0

n=1

3.31

∞

2n (x − 5)n

3.32

∞ (n + 4)( x + 6)n

+ 1)(n +

+ 1

n=0

Задача 4. Найти сумму степенного ряда, применяя интегриро-

вание ряда, и указать область его сходимости к своей сумме.

4.1

∞

4.2

∞

(n + 1) xn .

(n + 1)(n + 2) xn .

n=0

n=1

4.3

∞

+1 (n + 1) xn .

4.4

∞

n(n + 1) xn−1.

(−1)n

n=1

n=2

114

4.5

∞

4.6

∞

2n (n +1) xn .

(−1)n n(n +1) xn−1.

n=0

n=1

4.7

∞

4.8

∞

(−1)n 3n (n +1) xn .

2n n(n + 1) xn−1.

n=1

4.9

∞ (n +1) xn

4.10

∞

n n(n + 1) xn−1

n .

(−1)

n=1

n=2

4.11

∞

(n + 1)

4.12

∞

n+1

(−1)

(n + 2)(n + 3) x .

n=0

4.13

∞ (n + 1) xn

4.14

∞

2n +1)

(

n=0

n=1

4.15

∞

4.16

∞

n x2n−1.

(−1)n+1 n x2n−1.

n=1

4.17

∞

4.18

∞

2n n x2n−1.

(−1)n+1 n 2n x2n−1.

n=1

4.19

∞

(2n +1) x2n .

4.20

∞

(−1)n (2n +1) 2n x2n .

n=1

4.21

∞

n+1 n x2n−1

4.22

∞ n

(n + 1)

xn−1

(−1)

n .

n−1

n=1

4.23

∞

n xn−1

4.24

∞

3n+1

n .

(3n + 2) x

n=1

n=0

4.25

∞

4.26

∞

(3n −1) x3n− 2 .

n x3n

−1.

n=1

4.27

∞

4.28

∞

(2n −1) x4n−3 .

n x4n−1.

n=1

115

4.29

∞

n x

4n−1

4.30

∞

n x3n−1

(−1)

n .

n=1

4.31

∞

n x

3n−1

4.32

∞

n n x4n−1

(−1)

n .

n=1

Задача 5. Найти сумму степенного ряда, применяя дифферен-

цирование ряда, и указать область его сходимости к своей сумме.

5.1

∞

2n+1

5.2

∞

2n−1

(−1)n

(−1)n+1

(2n + 1)

(2n −

n=1

5.3

∞

2n−1

5.4

∞

2n−1

(−1)n 4

(2n − 1)

2n − 1

n=1

5.5

∞

5.6

∞

2n−1

(−1)n+1

2n − 1

n=1

5.7

∞

4n−3

5.8

∞

3n−1

(−1)n+1

3n − 1

n=1 4n − 3

n=1

5.9

∞

2n+1

5.10

∞

3n−1

(−1)n

n=1

n(2n + 1)

n=1

3n − 1

5.11

∞

2n+1

5.12

∞

(−1)n

n(2n +

n=1

5.13

∞

x5n

5.14

∞

(−1)

n=1

5.15

∞

5.16

∞

4n−1

(−1)n

(

4n − 1)

n=1

n=1 2

5.17

∞

5.18

∞

(−1)n+1 2

n=1

116

5.19

∞

n−1

5.20

∞

(−1)n+1

n − 1

n=1

5.21

∞

n+1

5.22

∞

4n+1

n=1

n(n + 1)

4n + 1

5.23

∞

n+1

5.24

∞

n+1

(−1)n

(−1)n+1

n(n + 1)

n=1

5.25

∞

5.26

∞

(−1)n

(−1)n+1 2

n=1

5.27

∞

2n+1

5.28

∞

2n−1

(−1)n+1

(2n +

n=1

2n − 1

5.29

∞

+1 x

5.30

∞

(−1)n

n=1

5.31

∞

2n+ 2

5.32

∞

n=1 (2n + 1)(2n +

n=1 n 3

Задача 6. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 . Указать область сходимости найденного разложения к своей сумме.

6.1

f (x) = 2x ,

= 0.

6.2

f ( x) =

x0 = 1.

6.3

f ( x) = lnx,

= 1.

6.4

f ( x) =

x0 = 0.

+ x

6.5

f (x) = ln (x + 1),

x0 = 0.

6.6

f ( x) =

x0 = 0.

1+ 2x

117

6.7

f ( x) = ln (2x + 1),

x0 = 0.

6.8

f ( x) =

x0 = −1.

+ x

6.9

f ( x) = ln ( x + 2),

= −1.

6.10

f ( x) =

x0 = −2.

+ x

6.11

f ( x) = ln (x + 3),

x0 = −2.

6.12

f ( x) = 3− x ,

= 0.

6.13

f ( x) =

= 1.

6.14

f (x) = 3x ,

= 0.

6.15

f ( x) = 3 x,

= 1.

6.16

f (x) = (2 + x)2 ,

x0 = −1.

6.17

f (x) = 1 / (1 + x)2 , x0

= 0.

6.18

f ( x) =

, x0 = 0.

(1+ 2x)2

6.19

f (x)

x0 = −2.

6.20

f ( x) =

, x0 = 2.

(3 + x)2

(3 − x)2

6.21

f ( x)

= 1.

6.22

f (x) =

= 1.

6.23

f ( x) =

x0 = −1.

6.24

f (x) =

x = 0.

+ x

(1+ x)3

6.25

(

)

= 2.

6.26

f ( x) = (

2 )x ,

x0 = 0.

x − 1

6.27

f (x) = x − 1,

= 2.

6.28

f (x) =

x + 3,

x0 = −2.

6.29

f ( x) = x + 1,

x0 = 0.

6.30

f (x) =

, x0 = 0.

3 x + 1

6.31

f ( x) = ln (2x + 3),

= −1.

6.32

f (x) =

x0 = −1.

2x +

118

Задача 7. Найти первые пять членов разложения функции f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

7.1

f (x) = x8 − 2x7 + 5x6 − x,

7.2

f ( x) = x ex ,

= 0.

= 1.

7.3

f (x) = x10 − 3x5 + 1,

= 1.

7.4

f ( x) = ex2 − x ,

= 1.

7.5

f (x) = x 3

= 2.

7.6

f (x) = ex2 + x ,

x0 = −2.

7.7

f (x) = x

= 4.

7.8

f (x) = x3 lnx,

x0 = 1.

7.9

f ( x) = ex2 − 2 x ,

= 0.

7.10

f ( x) = x2 sinx,

= 0.

7.11

f (x) =

= 3.

7.12

f ( x) =

= 3.

(x − 2)2

−

7.13

f ( x) =

= −2.

7.14

f ( x) =

= 2.

x + 3

x − 1

7.15

f ( x) =

= 5.

7.16

f ( x) = (2 − ex )2 ,

= 0.

x −

7.17

f (x) =

x lnx,

x0 = 1.

7.18

f ( x) = x4 lnx,

= 1.

7.19

f (x) = e−2 x2 ,

= 0.

7.20

f (x) = x 3

= 3.

7.21

f ( x) =

= −3.

7.22

f ( x) = e2 x

− e2 x− x2 ,

= 0.

+ 4

7.23

f ( x) =

x0 = −4.

7.24

f ( x) = x sin2x,

= 0.

+ 5

7.25

f (x) = ln (10 + x),

x0 = −9.

7.26

f (x) =

x0 = 6.

−

7.27

f ( x) = x ln (1+ x),

= 0.

7.28

f (x) = x10 + x5 ,

= 1.

7.29

f ( x) = x8 − x4 + x2 ,

= 1.

7.30

f (x) = x20 − x10 + x5 , x0

= 1.

7.31

f ( x) = ln (cosx),

x0 = 0.

7.32

f ( x) = ln (6x − 5),

= 1.

119

Задача 8. Разложить данные функции в ряд Тейлора по степеням х, используя табличные разложения, и указать область сходимости полученных рядов к своим суммам.


8.1		x sin2 (x2 ).															8.2			x cos					x.

8.3	x cos								2		x		3				8.4					1+ 2x.
	x cos								3		x				.
									3
8.5							1			.							8.6				1				.
							1														1

								ex														5 1 + x
8.7						e− x4 .											8.8					ex2 − 1			.
																						x2			.
																						x2
8.9					4 1 + x.												8.10			1							.
							(								)							1− x2					.
8.11	x	5		ln 1					+ x					2		.	8.12		1+ x e					− x				.
	x			ln 1					+ x							.			1+ x e									.

8.13			sin				2	(2x).									8.14	1		ln 1+						x				.
			sin															1								x
																		x
																		x							5
8.15		cos2 (2x).															8.16					e−3x2 .
8.17								x				.					8.18			1								.
						9 + x2						.								3 27 + x3								.
8.19							1						.				8.20	1		(1− e			−2x						).
				(1+ x2 )5									.					x		(1− e									).
8.21	x arctg (x2 ).																8.22	1								x
																		x		ln 1+										.
																				ln 1+					2					.
																									2
8.23					arctgx .												8.24			1					.
					arctgx .															1					.
								x														4 − x2
8.25					x chx.												8.26			cos2 (x2 ).

8.27					x shx.												8.28			sin2 (x2 ).

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20238.37 Mб0Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб1Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб1Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб2Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб0Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб2Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб1Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб3Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб0Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб2Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf
#
20.11.2023740.01 Кб4Шасси автомобиля. Элементы расчета и эксплуатационная надежность.pdf