книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Граничные условия: короткая сторона плиты оперта по всей длине, противоположная – опирается своими концами на колонны. Длинные стороны плиты – свободны.

Рассчитать напряженно-деформированное состояние плиты (определить перемещения и напряжения). Составить таблицу расчетного сочетания усилий (РСУ).

Заданы нагрузки:

загружение 1 – собственный вес;

загружение 2 – сосредоточенные нагрузки Р = 1 т; приложенные по схеме (рис. 9.23 загружение 2);

загружение 3 – сосредоточенные нагрузки Р = 1 т; приложенные по схеме (рис. 9.23 загружение 3);

Расчет производится для сетки 6×12.

Порядок практической реализации расчета в про-

граммном комплексе «Лира» – Windows [17].

101

4.Задание жесткостных параметров элементов плиты

4.1.Сформируйте типы жесткости: в диалоговом окне «Жест-

кости элементов» сформируйтесписоктипов жесткости. Выберите тип сечения [Пластины]. Щелкните по кнопке [Добавить] и, выбрав закладку численного описания жесткости, активизируйте сечение [Пластины].

Загрузите параметры сечения [Пластины].

В диалоговом окне «Задание жесткости для пластин»

задайте параметры сечения:

–модуль упругости Е = 3·106 т/м2;

–коэффициент Пуассона ν = 0,2;

–толщина плиты Н = 15 см;

–удельный вес материала R0 = 2,75 т/м3.

4.2.Назначение жесткостей Выделите нужную жесткость «1. Пластина Н 15» в

102

оси «Z». Щелчком по кнопке сосредоточенной силы вызовите диалоговое окно «Параметры нагрузки». В этом окне введите значение Р = 1 т и Подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке [Применить].

5.5.Смените номер текущего загружения.

Вдиалоговом окне «Активное загружение» задайте номер загружения 3.

5.6.Выведите на экран номера элементов расчетной схемы.

5.7.Задание нагрузки выделенным элементам:

Вдиалоговом окне «Задание нагрузок» активизируйте закладку «Нагрузки на пластины». Затем радиокнопками укажите систему координат «Глобальная», направление – вдоль оси «Z». Щечком по кнопке сосредоточенной силы вызовите диалоговое окно «Параметры местной нагрузки». В этом окне выведите параметры:

– Р = 1 т;

– А = 0,25 м;

– В = 0,25 м и подтвердите ввод. После этого в диалоговом окне «Задание нагрузок» щелкните по кнопке [При-

менить].

103

Контрольные вопросы

1.Вариационные принципы, используемые в МКЭ. Математическая сущностьМКЭ. Что такое конечный элемент?

2.Общая схема решения задач методом конечных элементов.

3.Дискретизация расчетной схемы.

4.Понятие числа степеней свободы конечного эле-

мента.

5.Получение разрешающих уравнений МКЭ на примере плоской стержневой системы.

6.Получение разрешающих уравнений МКЭ на примере плоской задачи теории упругости.

7.Разрешающая система линейных алгебраических уравнений МКЭ.

8.Основные соотношения теории упругости в МКЭ. Плоское напряжённое состояние. Плоское деформированное состояние

9.Расчет изгибаемых плит. Влияние толщины плиты на выбор типа конечного элемента.

10.Практическая сходимость МКЭ.

104

ГЛАВА 10

Основные положения математической теории планирования эксперимента

Экспериментальные исследования являются основным источником получения достоверных сведений об объектах реального мира.

Материал изложен на уровне практического применения и не затрагивает доказательную базу рассматриваемых методов.

10.1. Основные положения математической теории планирования эксперимента

Решение многих задач строительства связано с проведением сложных и дорогостоящих экспериментов, которые являются основным источником получения достоверных сведений об объектах реального мира. Такие исследования проводятся с целью выбора рациональных технологических режимов функционирования или оптимизации параметров систем, выяснения закономерностей функционирования, анализа влияния факторов на показатели качества систем и т.д.

Натурные исследования изучаемых объектов или процессов требуют значительных затрат ресурсов. Данное обстоятельство заставляет уделять серьезное внимание рациональной организации экспериментального изучения таких объектов.

В настоящее время для этого используется раздел при-

кладной математики математическая теория планирова-

ния эксперимента (МТПЭ), позволяющая в ряде случаев существенно сократить затраты времени и материальных средств на выполнениеисследовательскихработ[2, 10, 21].

105

Широкое внедрение методов математического моделирования и ЭВМ в практику инженерных расчетов, а также современный способ теоретического исследования сложных прцессов и систем – вычислительный эксперимент – позволяют исследовать поведение сложных конструкций, зданий и сооружений при разных внешних воздей-

ствиях. Но проводя вычислительный эксперимент, мы за-

даем параметры расчетной модели (размеры, нагрузки, фи- зико-механические свойства материалов и т.п.) конкретными числами, т.е. считаем их точными или детерминированными.

Реально эти параметры практически всегда являются величинами неточными. По существу, это случайные величины. В нормативных документах неточность параметров обычно учитывается указанием интервала, которому может принадлежать конкретный параметр.

Поиск множества возможных решений с различными значениями интервально заданных параметров (не одного, а нескольких) связан с многократным перерасчетом строительного объекта. Объем перебора вариантов при этом катастрофически возрастает. Поэтому и в данном случае ма-

тематическая теория планирования эксперимента ока-

зывается весьма полезной.

Основоположником МТПЭ является английский математик Рональд Фишер. В 1935 году он впервые предложил вместо однофакторного эксперимента проводить так называемый многофакторный эксперимент [21].

Сущность этого метода заключается в том, что при проведении эксперимента происходит одновременное изменение (варьирование) всех факторов по специальному правилу (плану).

МТПЭ позволяет экспериментатору спланировать опыты так, чтобы при минимальной затрате времени и средств получить максимум информации. А также использовать математический аппарат как при обработке ре-

106

зультатов эксперимента, так и при подготовке и в процессе проведения опытов.

При этом основной задачей МТПЭ является разработ-

ка методов получения математических моделей, адекват-

но описывающих изучаемые процессы или явления.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

В планировании эксперимента можно выделить два направления:

1.Планирование эксперимента для изучения механизма сложных процессов или свойств многокомпонентных систем; выявления степени влияния различных факторов на исследуемый объект (процесс). Результатом такого планирова-

ния является построение интерполяционных формул (ма-

тематическихмоделей).

Например, прочность бетона в значительной степени определяется маркой цемента, количеством наполнителя

иколичеством воды. Требуется установить связь между прочностью бетона и названными факторами.

2.Планирование эксперимента для оптимизации изучаемых технологических процессов или свойств многокомпонентных систем. Такое планирование называют экс-

тремальным планированием. Здесь решаются задачи оп-

ределения таких значений факторов, при которых исследуемый параметр будет иметь наибольшее или наименьшее значение.

Например, к задачам оптимизации можно отнести: выбор оптимального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повышение производительности установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение и др.

Мы в основном ограничимся рассмотрением первого направления в планировании эксперимента.

107

10.2. Общие определения математической теории планирования эксперимента

Планирование эксперимента начинается с постановки задачи и выбора объекта исследования.

Объектом исследования называется объект, который является носителем некоторых свойств, подлежащих изучению в соответствии с задачей эксперимента. Объектами исследования могут быть реальные физические объекты, процессы и явления, а также их физические или математические модели.

Рассмотрим пример из строительной практики. В качестве объекта исследования рассмотрим прочностные характеристики бетона.

В общем виде объект исследования можно представить в виде кибернетической модели, так называемого «черного ящика» (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Схема объекта исследования

Входные переменныe z1, z2,… zn называются факторами, это управляемые независимые параметры.

Выходные переменныe y1, y2,… ym называются функ-

циями отклика (или параметрами оптимизации). Это зависимые переменныe, которые характеризуют состояние объекта в зависимости от значений факторов.

Чаще всего требуется установить зависимость между факторами и одним из выходных параметров, наиболее важным для исследователя и наиболее полно отражающим качество исследуемого объекта или процесса.

108

Вкачестве факторов в нашем примере можно принять

марку цемента, количество наполнителя и количество во-

ды, а в качестве функции отклика – прочность бетона.

Всамом общем виде зависимость функции отклика от фактороввыражаетсяспомощью уравнения регрессии (УР):

Регрессионная модель (10.1) отражает форму связи и количественные соотношения между параметром оптимизации и факторами, которые являются в рамках эксперимента случайными величинами. В этом смысле она яв-

ляется экспериментальной статистической моделью объ-

екта исследования. А методы планирования в этих услови-

ях принято называть статистическими методами планирования экспериментов.

Добавив ограничения на независимые факторы, полу-

чим математическую модель исследуемого процесса.

Таким образом, основной задачей МТПЭ является разработка методов получения математических моделей, адекватно описывающих изучаемые процессы или явления.

10.2.1. Функция отклика, факторное пространство

Взависимости от объекта и цели исследования функции отклика могут быть весьма разнообразными.

Впроектно-технологических исследованиях – это фи-

зические и механические характеристики материала, долговечность, надежность конструкций, коэффициент полезного действия, выход продукта и т.д.

Вэкономических исследованиях – это прибыль, себе-

стоимость, производительность, рентабельность и т.д.

К функции отклика предъявляется ряд требований:

– отклик должен быть количественным и выражаться одним числом;

109

–иметь ясный физический смысл;

–необходимо уметь его измерять при любой возможной комбинации выбранных значений факторов;

–должен быть статистически эффективным, т.е. измеряться с наибольшей точностью.

Геометрическим образом функции отклика (10.1) является поверхность отклика. На рис. 10.2 приведена поверхность функции отклика для двух факторов (n = 2):

При n > 2 поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно, приходится ограничиваться алгебраическим языком. Либо для изображения поверхности отклика использовать ее двумерные сечения. Для этого каждый раз фиксируют все факторы, кроме одного. Поверхность отклика может быть представлена на плоскости линиями равного отклика (аналогично изображению рельефа местности на географических картах).

Рис. 10.2. Поверхность функции отклика двухфакторной зависимости

При экстремальном планировании эксперимента обычно принимают следующие предположения (постулаты) относительно поверхности отклика (функции отклика) [2]: непрерывность, гладкость, наличиеединственногооптимума.

110