книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Представление интеграла по области в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному элементу, позволяет рассматривать различные свойства материалов для различных элементов. Это является важным свойством МКЭ.

Подставляя (9.28) в (9.30) и производя интегрирование, получаем вместо функционала функцию П, зависящую от узловых значений перемещений.

Для нахождения экстремума этой функции, а соответственно, и функционала (9.27) дифференцируем функцию П

по параметрам u(i) и v(i) вектора (i = 1, 2, …, N) и при-

равниваем к нулю. В результате получаем разрешающую систему m (или 2N – для данной задачи) уравнений относительно неизвестных узловых параметров, которую в матричной форме также можно записать в виде (9.24).

Перемещения в любой точке каждого конечного эле-

мента в дальнейшем могут быть определены по формуле (9.28). Зная перемещения во всех точках элемента, можно

определить относительные деформации и напряженияв каждой точке конструкции, которые зависят от вида на- пряженно-деформированногосостояния(см. подразд. 9.2.5).

9.2.4. Решение системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений

К F , полученная в процессе минимизации функ-

ционала, обладает положительно определенной симметричной матрицей ленточной структуры, матрица коэф-

81

фициентов которой получается сильно разреженной (рис. 9.15). Это связано с тем, что каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних КЭ.

Количество уравнений разрешающей системы nур за-

Рис. 9.15. Матрица жесткости ленточной структуры

Ширина ленты зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. Под числом степеней свободы понимают количество неизвестных пара-

метров, определяемых в каждом узле.

Например, произвольная пространственная конст-

рукция в каждом узле имеет шесть степеней свободы (три линейных перемещения и три угловых). При расчете пло-

ской стержневой системы (рамы, балки) в каждом узле определяют три неизвестных (два линейных перемещения и угол поворота), т.е. число степеней свободы в узле такой конструкции равно трем. Плоская ферма или балка-стенка

82

вкаждом узле имеет две степени свободы (перемещения вдоль осей Х и У), а пространственная ферма – три (пе-

ремещения вдоль осей Х, У и Z).

При нумерации узлов предпочтителен способ, обеспе-

чивающий минимальную разность между номерами узлов

вкаждом отдельном элементе. Если максимальную раз-

ность между номерами узлов для отдельного конечного элемента обозначить R , то ширина ленты L вычисляется по формуле

Чем меньше ширина ленты L, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ на ЭВМ и тем меньше затраты машинного времени на решение разрешающей системы уравнений.

В некоторых случаях уменьшение числа L может быть достигнуто последовательной нумерацией узлов при дви-

жении в направлении наименьшего размера рассматриваемой области.

На рис. 9.16 приведены два различных способа нумерации узлов произвольной области, разбитой на конечные элементы.

Рис. 9.16. Варианты нумерации узлов: (а) R = 14; ширина ленты при двух степенях свободы в узле получается равной 30, а при трех степенях свободы 45; (б) R = 5; ширина ленты при двух степенях свободывузлеравна12, апритрех степенях свободы18

83

Рациональная нумерация во втором случае по сравнению с первым сокращает необходимый объем оперативной памяти почти в три раза.

Для численного решения разрешающей системы уравнений обычно используют методы блочного исключения

Гаусса, Холецкого, LDLT-факторизации и др. [8, 10, 3].

А для уточнения полученного решения – итерацион-

ные методы.

9.2.5.Основные соотношения теории упругости

вметоде конечных элементов

Воснове курса теории упругости [1, 15] лежат три группы определяющих уравнений:

–закон равновесия в форме дифференциальных соотношений частных производных внутренних напряжений;

–линейные геометрические соотношения связи между перемещениями и деформациями, выражающие непрерывность и относительную малость перемещений, которые называют еще геометрическими уравнениями Коши;

–линейные физические уравнения (закон Гука) связи между напряжениями и относительными деформациями.

Кроме того, полученные решения должны удовлетворять уравнениям совместности Сен-Венана, выраженным через относительные деформации или напряжения.

ВМКЭ, в отличие от теории упругости, статическое равновесие представлено уравнениями метода перемещений, выражающими равновесие узлов.

Определив перемещения узлов конечных элементов из разрешающей системы линейных алгебраических уравне-

ний (9.24), можно найти относительные деформации ,

используя соотношения связи. Для плоской задачи связь между деформациями и перемещениями в конеч-

ном элементе имеет вид

84

Матрица [B] получается дифференцированием матрицы функций формы [N]. Фактические значения коэффици-

ентов матрицы [B] зависят от типа используемого элемента и от вида рассматриваемой задачи.

Линейные физические уравнения (закон Гука) связи между напряжениями и относительными деформациями в матричной форме для плоской задачи можно записать как:

х

где у – вектор напряжений; [С] – матрица упру-

ху

гой податливости содержит упругие константы материала и зависит от вида напряженно-деформированного состоя-

ния (НДС) конструкции.

Пользователи программ, реализующих МКЭ, должны отчётливо понимать различие между двумя версиями пло-

ской задачи (рис. 9.17): плоским напряжённым состоянием (ПНС) и плоским деформированным состоянием (ПДС).

85

стенок, сохраняющих свои поперечные размеры, а также систему действующих сил на некотором протяжении.

Для расчёта напряжённого состояния сечений выделяется отрезок единичной ширины (1 м, 1 см). Расчётная область обычно помещается на плоскости x0z. В отличие от предыдущего варианта плоской задачи, здесь относительные деформации εy на боковых гранях равны нулю, а нормальные к плоскостидействиясил εz нулевыминеявляются.

При идеализации плоских сплошных тел прилегающие друг к другу КЭ считаются шарнирно скреплёнными в узлах. Поэтому в узлах расчётных областей, напряжённодеформированное состояние которых соответствует плоскому напряжённому состоянию или плоской деформации, приняты степени свободы по направлениям осей X и Z. Результатом расчёта таких систем являются нормальные σx, σz и касательные τxz компоненты напряжений (см. рис. 9.17).

Уравнения связи между напряжениями и относительными деформациями в МКЭ описываются формулами обобщённого закона Гука и в прямоугольных координатах для сплошных изотропных расчётных областей имеют следующий вид:

для плоского напряжённого состояния

87

Здесь E – модуль упругости; – коэффициент Пуассона

В МКЭ уравнения закона Гука (9.35) обычно используются в обратной записи: напряжения определяются в за-

Матрица упругости [D] в данном случае для ПНС имеет вид

в случае плоской деформации (ПДС)

9.2.6. О расчете изгибаемых плит

Пластина, нагруженная перпендикулярно её плоскости и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости, называется плитой (рис. 9.18).

Пластина может быть самостоятельной конструкцией или входить в состав пластинчатой системы.

Горизонтальные и вертикальные пластинки, соединенные между собой связями, образуют несущую систему,

88

которую применительно к зданиям называют стеновой системой. Наклонно расположенные пластинки могут образовывать пролетные несущие конструкции.

Рис. 9.18. Расчетная схема плиты и условия опирания на плане

Плоскость, которая делит толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью плиты. При нагружении плита изгибается, и ее срединная плоскость превращается в поверхность. Перемещения точек срединной плоскости вдольосиz называютсяпрогибамии обозначаютсячерезw.

Считается, что толщина плиты h должна быть намного меньше ее характерного размера в плане lmin. Но это понятие не вполне определено. Все зависит от соотношения

 Плита считается тонкой, если ее толщина меньше других размеров не менее чем в 5 раз. Тонкая плита, у которой максимальный прогиб под действием поперечной нагрузки не превышает четверть её толщины, называется жесткой.

При расчете тонких жестких плит обычно используются три допущения.

89

1.Принимается, что прямолинейные элементы, нормальные к срединной плоскости, остаются после деформации прямыми, нормальными к деформированной средин-

ной поверхности (гипотеза прямых нормалей). Или, дру-

гими словами, отрезок mn (см. рис. 9.18), проведенный перпендикулярно срединной плоскости, при изгибе не искривляется, он остается прямым и нормальным к срединной поверхности.

2.Считается, что пластина не сжимаема по толщине или слои, параллельные срединной поверхности, не давят

друг на друга, т.е. напряжениями z пренебрегают.

3. Срединная поверхность при изгибе не деформируется в своей плоскости при z = 0, т.е. деформацииx , y , xy при z = 0 отсутствуют.

Эти допущения позволяют выразить перемещения всех точек плиты через поперечные перемещения срединной плоскости. Расчет пластин с использованием этих допуще-

нийсоставляетоснову технической теорииизгиба плит.

Этим гипотезам соответствует простейшая модель изгибаемой плиты. На практике при реализации этой модели МКЭ используются КЭ с тремя степенями свободы в каждом узле: вертикальным перемещением по направлению Z (1) и двумяугловымиотносительно осей X (2) иY (3) (рис. 9.19).

Рис. 9.19. Четырёхугольный изгибаемый КЭ с тремя степенями свободы в узле

90