книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

В вариационном исчислении [3] доказывается связь между нахождением экстремума функционала и решением дифференциального уравнения.

Во многих практических задачах функционал, связанный с краевой задачей, имеет вполне определенный физический смысл. Так, в задачах механики деформируемого тела функционал представляет собой потенциальную

энергию системы.

Следовательно, решить краевую задачу – это то же самое, что найти экстремум функционала, связанного сэтой задачей.

Справедливо и обратное утверждение: найти экстремаль функционала – это то же самое, что решить краевую задачу, связанную с этим функционалом.

Вкачестве примера можно привести краевую задачу изгиба балки и связанного с ней функционала – потенциальной энергии:

Для краевой задачи (7.11), описывающей деформированное состояние элементов произвольной стержневой системы, функционал, потенциальная энергия системы

имеет вид

s f (x) w f1(x) u ds.

0

41

8.1.2. Метод Ритца

Метод Ритца служит для приближенного решения вариационной задачи, т.е. задачи отыскания экстремума некоторого функционала, которой мы всегда можем заменить

краевуюзадачу.

Идея метода Ритца заключается в том, что искомую функцию y(x), доставляющую экстремум функционалу,

представляют в виде линейной комбинации функций i(x):

n

y(x) ai i (x) a1 (x)1 a2 2 (x) ... an n (x) . (8.3)

i 1

Число n зависит от требуемой точности. Здесь i(x) – координатные функции, выбираемые вполне определенным образом, а именно так, чтобы функция y(x) удовлетворяла граничным условиям задачи (или хотя бы части из них). Точность решения в большой степени зависит от удачного подбора этих функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их числа. Подбор этих функций требует определенного навыка. Для линейных задач чаще всего применяют полиномы или тригонометрические функции; ai – неизвестные параметры, которые находятся из решения задачи.

Подставляем решение (8.3) в функционал (8.2). После интегрирования и подстановки пределов он становится функцией, зависящей от параметров ai:

Необходимым условием того, чтобы эта функция принимала экстремальное значение относительно параметров ai, является система соотношений

42

Эти соотношения представляют собой систему n линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров ai . Решая эту систему, находят значения ai, после чего решение вариационной задачи, а следовательно, и краевой дается формулой (8.3).

Пример. Рассмотрим применение метода Ритца на примере изгиба стержня постоянного сечения под действием равномерно распределенной нагрузки q (рис. 8.1).

Запишем выражение полной потенциальной энергии изгибаемой балки (функционал):

В соответствии с равенством (8.3) принимаем прогиб балки

i 1

Координатные функции i(x) в рассматриваемом примере должны удовлетворять всем или части граничных ус-

43

Решим сначала задачу с одним параметром, положив

Тогда y"(x) 2la21 . Внося эти выражения в функционал

И уравнение прогиба балки имеет вид

примерно на 17 %.

44

45

Подставляя найденные а1 и а2 в уравнение (8.14), по-

дает с точным значением (8.13). Таким образом, добавление одного параметра существенно повысило точность решения.

8.2.Дифференциальные уравнения

вчастных производных в расчетах строительных объектов и методы их решения

Проектирование многих технических объектов связано с необходимостью анализа прочности и разнообразных физических процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных про-

изводных, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной. Чаще всего это пространственные координаты x, y, z и время t.

Математическая модель многих задач может быть получена из общего квазигармонического уравнения, опи-

сывающего разнообразные физические явления в неизотропной среде, т.е. такой среде, свойства которой различны в разных направлениях [13]:

где x, y, z – пространственные координаты; (x, y, z) – искомая непрерывная функция; kx, ky, kz – коэффициенты; R – внешнее воздействие.

46

Данное дифференциальное уравнение вместе с краевыми условиями (как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений) называется краевой задачей и представляет собой математическую модель исследуемого объекта.

Приведем некоторые примеры практических задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводимой от него. Кроме того, температурные поля влияют на распределение напряжений в конструкциях. Задача теплопроводности, описывающая распространение тепла в трехмерной области,

где = Т – температура; R – внутренний источник тепла или сток; λx, λy, λz – коэффициенты теплопроводности

внаправлениях x, y и z соответственно.

Визотропной среде λx = λy = λz, и уравнение (8.18) сводится к уравнению, которое называется уравнением Пуассона:

Если член R(x, y, z), характеризующий источник, обращается в нуль, то уравнение (8.19) становится уравнением

которое называется уравнением Лапласа.

47

 Оператор Лапласа – лапласиан (обозначаемый иногда2 ) равен соответственно для случаев

– одной независимой переменной d 22 ; dx

– двух независимых переменных 22 22 ; dx y

– трех независимых переменных 22 22 22 . dx y z

Оператор 2 называется бигармоническим и в случае двух независимых переменных определяется как

Используя оператор Лапласа, уравнение (8.20) можно записать в виде

Плоская задача теории упругости – исследование напряженно-деформированного состояния элементов строительных конструкций: стеновых панелей, ленточного фундамента и т.п. для двухмерного случая при kx = ky = 1 сводится к уравнению Пуассона вида

а при R(x, y, z) = – 2G уравнение (8.17) сводится к уравнению Пуассона, описывающему кручение упругого стержня некругового сечения:

В этих случаях функция является функцией напряжений, G – упругая характеристика материала; – угол

48

закручивания сечения стержня. Напряжения сдвига, вызванные внешним крутящим усилием, получаются диффе-

ренцированием по х и у.

Периодические волновые явления типа свободных колебаний обычно описываются уравнением, называемым

уравнением Гельмгольца [34]:

где – скалярная переменная; kx, ky, kz – свойства среды в направлениях главных координатных осей x, y и z соответ-

ственно; – частота колебаний.

Для однородной и изотропной среды kx = ky= kz = Const.

В этом случае k можно ввести в частотный параметр и уравнение Гельмгольца записать впростойформе

В градостроительстве при проектировании системы водоснабжения городов необходим анализ течения грунтовых вод. Дифференциальное уравнение для ограниченного по-

тока грунтовых вод также содержится в уравнении (8.17) и имеет вид

почвы; Q – источник (или сток) воды, а функция – пьезометрический напор.

Уравнение (8.17) имеет множество решений. Для получения единственного (частного) решения необходимо задать дополнительные условия путем фиксирования некоторых произвольных «параметров». Но в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений такими «параметра-

49

ми» в общем решении будут не постоянные интегрирования, а произвольные функции. Число таких функций равно порядку дифференциальногоуравнения.

В зависимости от вида дополнительных условий решают одну из следующих задач:

–задачу Коши, в которой одной из независимых переменных является время. При этом в начальный момент времени задаются некоторые условия относительно искомой непрерывной функции и ее производных – начальные условия. Граничные условия при этом не задаются, так как задача решается в неограниченном пространстве;

–краевую задачу, где решение ищется в некоторой области с определенными границами, на которых и задаются граничные (краевые) условия относительно искомой функции и ее производных;

–смешанную (нестационарная) краевую задачу, в ко-

торой ставятся какграничные, таки начальныеусловия.

Граничные условия первого, второго и третьего рода

иногда называют граничными условиями Дирихле, Неймана и Коши соответственно.

В случае граничных условий первого рода (Дирихле) на границе S задаются значения зависимой переменной (искомой функции):

Примерами граничных условий Дирихле могут быть силы или перемещения, приложенные к поверхности тела, или температуры для теплопроводящей среды.

В случае граничных условий второго рода (Неймана) на границе задается нормальная производная зависимой переменной или значения производных по пространственным координатам от искомой функции, например,

50