книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Поскольку найти точное решение этой задачи не составляет особого труда (у = exp(x2)), то на рис. 7.9 видно, что вторая итерация «ближе» к точному решению

Рис. 7.8. Приближенные решения задачи Коши (сравнение двух приближений h = 0,2 и h = 0,1)

Рис. 7.9. Сравнение приближенных решений задачи Коши по методу Эйлера с точным решением: h = 0,2 (а); h = 0,1 (б)

Алгоритм метода Рунге–Кутта

Методом Рунге–Кутта решим ту же задачу Коши (7.27).

Последовательность действий

Порядок решения аналогичен предыдущей задаче

(рис. 7.10).

21

1.Задаем значения шага h, х0 и у0. Вычисляем значение аргумента (узлов) xi = x0 + ih при (i = 1, 2,…, n).

2.Последовательно вычисляем коэффициенты по

формулам (7.25) и приближенные значения yi решения y = y(x) по формуле (7.26).

Схема решения для h = 0,2 приведена на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Схема решения задачи Коши методом Рунге–Кутта

Первое приближенное решение (первая итерация) нашей задачи Коши для шага h = 0,2 и точное ее решение – тонированы (см. рис. 7.10).

Расчетная схема для h = 0,1 строится аналогично. Полученное приближенное решение имеет вид

h = 0,1 и h = 0,2 показывает, что разница между ними не превосходит5 %.

Таким образом, в качестве решения исходной задачи Коши принимаем вторую итерацию (с шагом h = 0,1).

22

7.3. Численные методы решения краевых задач

Краевую задачу можно сформулировать так:

 Найти функцию y = y(x), которая внутри отрезка [a, b] удовлетворяетобыкновенному дифференциальному уравнению

а на концах отрезка – краевым условиям

Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения заключается в использовании различных приближенных методов. В настоящее время наиболее широкое распространение получили численные методы, в основе которых лежит метод сеток.

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, яв-

ляется дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести краевую задачу к системе алгебраических (линейных или нелинейных) уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Наиболее часто на практике используются два метода сеток:

1)метод конечных разностей (МКР);

2)метод конечных элементов (МКЭ).

23

Воснове МКР лежит конечно-разностная аппрокси-

мация производных в определяющих уравнениях задачи.

Воснове МКЭ лежит вариационный подход, т.е. решение основной вариационной задачи – исследование экс-

тремума функционала, связанного с физической сущностью задачи.

Существуют и другие подходы к построению численного решения краевых задач, например, переход от исход-

ного дифференциального уравнения к эквивалентному ин-

тегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям. Примером указанного подхода служит метод граничных элементов (МГЭ), который в данном пособии не рассматривается.

Если поведение конструкции или явления описывается единственным дифференциальным уравнением, то приближенное решение можно получить как методом конечных элементов, так и методом конечных разностей. Если же конструкция в целом неоднородна и состоит из большого числа отдельных конструктивных элементов, поведение каждого из которых описывается своим дифференциальным уравнением, то в этом случае чаще всего применяют метод конечных элементов.

7.3.1 Метод конечных разностей

Метод конечных разностей является универсальным численным методом решения краевой задачи. При реализацииМКР:

–область непрерывного аргумента заменяется дискретным множеством точек, разностной сеткой n (7.13);

–искомая непрерывная функция y=y(x) заменяется се-

точной функцией {(xi, yi), i = 0, 1, …, n}, все производные,

входящие в дифференциальное уравнение и краевые усло-

24

вия, заменяются конечно-разностными аналогами, выраженными через значения искомой функции в узлах сетки.

Этот процесс называется конечно-разностной аппроксимацией (КРА);

– в результате КРА краевая задача заменяется системой линейных алгебраических уравнений, решение которой дает значенияискомойсеточнойфункции {(xi, yi), i = 0, 1, …, n}.

Конечно-разностная аппроксимация – основное понятие теории разностных схем. Это наиболее распространенный прием численного интегрирования как обыкновенных, так и дифференциальныхуравненийвчастных производных.

Начнем с КРА функции одной переменной. Рассмотрим функцию y = y(x), непрерывную на отрез-

ке [a,b]. На область непрерывного аргумента x нанесем разностную сетку n (рис. 7.11).

Рис. 7.11. КРА функции одной переменной

Функцию непрерывного аргумента y = y(x) заменим функцией дискретного аргумента на данной сетке сеточ-

ной функцией Y{y0 , y1,.., yn}, где yi = y(xi), i = 0, 1, ..., n.

Производная функции y = y(x), по определению, есть предел отношения приращения функции y к прираще-

нию аргумента x при x 0 :

25

y' lim y .

x 0 x

В численных расчетах с достаточной степенью точности для малых значений x можно принять

y' yx .

Рассмотрим аппроксимацию производной функции y = y(x) длясеткиспостояннымшагомh, т.е. полагаем x h .

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной в точке (см. рис. 7.11).

Запишем выражения для первой производной функции в точке xi. В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаются разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке, а именно:

Можно найти также выражения для старших производных:

yi 1 2yi yi 1 . h2

Аналогично определяются производные высших порядков в конечных разностях.

26

7.3.2. Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения

2-го порядка

Краевые условия (7.35) в общем случае задают линейную связь между значением искомого решения и его производной на концах отрезка [a, b] в отдельности.

В частном случае, если 1 1 0 , то на концах от-

резка [a, b] задано значение искомого решения. Такое краевое условие является краевым условием I рода.

Если 0 0 0 , то на концах отрезка заданы значения производной решения. Это краевое условие II рода.

Вобщем случае, когда j 0 , j 0 , условие назы-

ваются краевым условием III рода.

Вотличие от имеющей всегда единственное решение задачи Коши, в которой только на одном конце задаются условия для искомой функции и ее производной, краевая задача (7.34), (7.35) может иметь или одно решение, или бесконечное множество решений, или, наконец, может со-

всем не иметь решений. Не акцентируя внимание на этой

27

проблеме, будем считать, что линейная краевая задача имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [a, b] вместе с производными до 2-го порядка включительно.

Область изменения аргумента x [a, b] заменяем разно-

стной сеткой (дискретной сеточной областью) n (7.13), (см. рис. 7.11) и вводим обозначения

Конечно-разностные выражения (7.30)–(7.33) подставляем в дифференциальное уравнение (7.34) и краевые условия (7.35). При этом во внутренних узлах сетки производные y', y" заменяем их конечно-разностными отношениями (7.30),

(7.33), а в граничных точках x0 a, xn b , чтобы не выходить за пределыотрезка[a, b], соответственно

В результате этого решение краевой задачи сведено к решению системы линейных алгебраических уравнений

относительно (n+1) неизвестных y0 , y1,..., yn .

Переход от краевой задачи (7.34)–(7.35) к системе линейных алгебраических уравнений (7.36) называется ко-

нечно-разностной аппроксимацией краевой задачи или

разностной схемой, в которой искомой является сеточная функция Y{y0 , y1,.., yn} на сетке n.

28

После соответствующих преобразований систему (7.36) можно привести к виду

Матрица А системы линейных алгебраических уравнений (7.37) является трехдиагональной. Для решения систем такого вида разработан специальный метод прогонки (см. подразд. 3.2.2, ч. I). В результате решения определяются не-

известные y0 , y1,..., yn 1, yn , т.е. значения искомой функции y = y(x) вузлахравномерной сеткизаданного отрезка [a, b].

Пример. Методом конечных разностей решим краевую задачу

29

Данная краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение для изгибающего момента балки y = y(x) с переменным поперечным сечением и шарнирно закрепленнымлевымижесткозаделаннымправымконцами(рис. 7.12).

Продемонстрируем по-

строение конечно-разност- ной аппроксимации для этой

Введем обозначения: y0 = y(0); y1 = y(0,25); y2 = y(0,5); y3 = y(0,75); y4 = y(1).

Таким образом, нужно определить пять значений неизвестной функции: y0, y1, y2, y3, y4.

Подставляя конечно-разностные отношения (7.30)– (7.33) в краевую задачу (7.41), получим СЛАУ относительно неизвестных y0, y1, y2, y3, y4:

30