книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 2

Планирование, при котором уровни факторов удовлетворяют этим свойствам, называется ортогональным пла-

нированием. При ортогональном планировании коэффи-

циенты уравнения регрессии могут быть вычислены по простым формулам независимо друг от друга [2].

10.2.5. Матричное уравнение для определения коэффициентов математической модели

Уравнение регрессии, которым мы описываем реальный процесс, задается с некоторым приближением. Исходные данные также имеют заведомо приближенный характер. Эти данные содержат погрешности измерительной аппаратуры, погрешности условий эксперимента, случайные ошибки и пр.

В связи с этим перед исследователем стоит задача

подобрать коэффициенты УР «наилучшим» образом. Для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов (МНК), рассмотренный в части I (гл. 5). Для случая многофакторного эксперимента, когда линейное уравнение регрессии имеет вид

y b0 x0 b1x1 ... bn xn ,

система нормальных уравнений для определения коэффициента УР может быть записана в матричном виде:

где матрица X размерности N·(n + 1) называется матрицей

независимых переменных и имеет вид

121

Здесь X T – транспонированная для Х матрица размерности

((n + 1)·N);

B – матрица столбец (вектор) коэффициентов УР, размерности ((n + 1)·1);

Y – матрица столбец (вектор) размерности (N·1), средние опытные значения функции отклика.

10.3. Ортогональное планирование второго порядка

Ортогональным планированием называется такое планирование, при котором уровни факторов выбираются симметрично относительно центра плана и выполняются условия симметричности, нормировки и ортогональности

(10.8)–(10.10).

При решении технических задач линейной регрессии предпочитают уравнение более высокого порядка, чаще всего квадратичное.

Согласно МТПЭ для построения УР второго порядка необходимо, чтобы каждый фактор варьировался на трех уровнях(k = 3). Уравнениерегрессиивэтомслучаеимеетвид

122

Число членов этой модели определяется по формуле

Тогда уравнение регрессии (10.13) запишется в виде скалярного произведения двух векторов:

где B – вектор коэффициентов уравнения регрессии, имеющий nb элементов.

Для определения вектора коэффициентов B уравнения регрессии (10.16) используется матричное уравне-

ние (10.11).

Рассмотрим порядок ортогонального планирования второго порядка на конкретном примере.

Пример. Исследуется процесс ремонта деталей строительных машин электролитическим наращиванием металла в зависимости от двух факторов: z1 – плотность тока (количество ампер на квадратный дециметр), z2 – температура электролита. В качестве параметра оптимизации рассматривается твердость покрытия.

Требуется спланировать и провести эксперимент, по результатам которого получить математическую модель изучаемого явления.

Основываясь на априорной информации (известно, что линейная модель не является адекватной), исследователь принял решение описывать исследуемый процесс уравнением регрессии второго порядка.

123

В основу испытаний положено ортогональное планирование на трех уровнях по каждому из факторов (полный факторный эксперимент). Результаты испытаний при двух параллельных опытах в натуральных и кодированных значениях факторов приведены на рис. 10.5.

Среднее

опытное

Y

Рис. 10.5. Результаты исследования ремонта деталей машин электролитическим наращиванием металла

Переход от натуральных значений факторов zi к кодированным xi осуществляется по формулам (10.7).

10.3.1. Проверка воспроизводимости опыта (критерий Кохрена)

При проведении исследования процессов экономики и техники экспериментатор, как правило, сталкивается со случайными событиями и случайными величинами. Это связано с тем, что замеры в процессе экспериментов производятся с погрешностями (погрешности измерительных приборов), т.е. являются случайными величинами.

124

Поэтому обработка полученных результатов должна быть произведена только с помощью статистических методов. Статистические методы позволяют лишь в среднем оценить получаемые результаты [2].

В теории планирования эксперимента в каждой точке плана проводится не один опыт, а несколько (m), чаще всего два или три. Такие опыты называются параллельными, в нашем случае m = 2, т.е. в каждой точке плана экспериментатор проводил по два параллельных опыта.

При проведении опытов замеры значений функции отклика должны проводиться с одинаковой точностью, т.е. должна иметь место равноточность воспроизведения опытов.

Это значит, что дисперсии функции отклика в каждой строке матрицы планирования однородны. Для проверки однородности дисперсий (т.е. воспроизводимости опыта) используют критерий Кохрена. При этом устанавливается следующий порядок действий (см. рис. 10.5).

1. Среднее значение функции отклика в каждой строке плана вычисляется по формуле среднеарифметического:

2. Вычисляются построчные дисперсии функции отклика в каждой строке плана по формуле

3. Вычисляется общая дисперсия эксперимента

125

4. Вычисляется опытное значение критерия Кохрена, равное отношению максимальной построчной дисперсии к сумме построчныхдисперсийпланаэксперимента(см. рис. 10.5).

5. Находится теоретическое значение критерия Кохрена по табл. П.3 прил. 1.

где уровень значимости для технических задач можно принять 0,05 ; число свободы k1 = m – 1 = 1; N = 9 – число

точек плана.

6. Сравниваются опытное и теоретическое значения критерия Кохрена. При этом, если опытное значение критерия Кохрена меньше теоретического, т.е.

то гипотеза о равноточности измерений не отвергается

и можно переходить к построению УР.

Для рассматриваемого примера однородность дисперсий подтверждается, так как условие (10.23) выполняется:

GКохТеор = 0,64 > GКохОпыт = 0,326.

В противном случае, если условие (10.23) не выполняется, необходимо выяснить и устранить источники нестабильности эксперимента, использовать более точные методы и средства измерений или уменьшить интервалы варьирования факторов и повторить эксперимент.

Если никакими способами невозможно добиться воспроизводимости опытов, то математические методы планирования к этому эксперименту применить нельзя.

126

10.3.2.Вычисление коэффициентов уравнения регрессии

вкодированных значениях факторов

Коэффициенты уравнения регрессии (10.17) находим по формуле (10.11), т.е. B (X T X ) 1 X Т Y

Матрица независимых переменных X размерностью

(9×6), выделена пунктирной линией (рис. 10.6), i-я строка матрицы представляет собой вектор эффектов F(x) в i-й строке плана эксперимента.

матрица планирования

матрица независимых переменных

Рис. 10.6. Матрица независимых переменных X9×6

Средние опытные значения функции отклика Y , (матрица столбца размерности (N×1)) приведены на рис. 10.5.

Решая матричное уравнение (10.11) с использованием матричных функций Excel, находим вектор коэффициентов уравнения регрессии.

127

Таким образом, вектор коэффициентов имеет вид

B{b0 ,b1,b2 ,b12 ,b11,b22}

{65,1; 3,5; 5,17; 5,5; 1, 67; 0,17}.

Уравнение регрессии для исследуемого процесса запишется так:

y 65,1 3,5х1 5,17х2 5,5х1х2 1,67х12 0,17х22 . (10.24)

По величине и знаку коэффициентов УР судят о силе влияния факторов на функцию отклика. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Внашем примере оба коэффициентаотрицательны.

10.3.3. Статистическая оценка значимости коэффициентов математической модели

Для исследования качества полученной модели необ-

ходимо знать ее вероятностные характеристики [2].

Коэффициенты ММ определяются с помощью матричного уравнения (10.11). Это значит, что если провести повторный эксперимент при тех же условиях, то будут получены другие значения коэффициентов.

Начнем со статистической оценки значимости коэффициентов УР, которая производится с целью исключения второстепенных факторов, т.е. факторов, оказывающих незначительное влияние на исследуемый параметр оптимизации. Показателем для этого служит критерий Стьюдента (табл. П1 прил. 1).

128

Для статистической оценки значимости коэффициента модели bi при заданном уровне значимости α = 0,05 вычис-

ляют величину половины доверительного интервала раз-

броса коэффициента. Если окажется, что половина доверительного интервала превышает значение коэффициента, то данный коэффициент считается незначимым и его исключают из модели. В противном случае коэффициент считается значимым, т.е.

Смысл этого неравенства заключается в том, что абсолютная величина коэффициента должна быть в t(α, k2) больше, чем ошибка его определения.

Для статистической оценки значимости коэффициентов УР составляется табл. 10.4, в которой сравниваются абсолютные значения коэффициентов УР с половинами величин доверительных интерваловразбросакоэффициентов.

Задача решается в следующей последовательности.

1) Разброс (или рассеивание) коэффициентов УР, как рассеивание любой случайной величины, характеризуется

129

дисперсией коэффициентов (или среднеквадратичным от-

клонением), которая вычисляется по формуле

где t(α, k2) – критерий Стьюдента берется из таблицы П1 прил. 1 в зависимости от уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k2 = N (m – 1) = 9, таким обра-

зом, t (0,005; 9) = 2,26.

3) Коэффициент УР считается статистически значимым, когда его абсолютная величина больше или равна величине половины доверительного интервала:

Таким образом, коэффициенты b11 и b22 (см. табл. 10.4)

являются незначимыми.

Статистическая незначимость коэффициента интерпретируется как отсутствие влияния соответствующего фактора или взаимовлияния отдельных факторов на функцию отклика. Соответствующее слагаемое удаляется, и полученное УР имеет вид

y 65,11 3,50x1 5,17x2 5,50x1x2.

130