книги / Электромеханические аппараты автоматики
..pdfЕсли сечение рассматриваемого участка dS^zab, где а и Ъ со ответствуют обозначениям, указанным на рис. 1.2, то полная магнитная проводимость участка
Л = |
(1.3) |
s
При расчете проводимостей немагнитных промежутков удобно пользоваться следующими понятиями:
удельная (дифференциальная) магнитная проводимость
АУ= А/А, |
(1.4) |
где А — характерный линейный размер рассматриваемого маг нитного поля (обычно в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа);
относительная |
магнитная |
проводимость |
|
|
^отн |
А /Цо, |
(1.5) |
относительная |
удельная магнитная проводимость |
|
|
|
X= A/(\i0A) = AO7„/A = Ay/[L0. |
(1.6) |
|
Выражение (1.3) для магнитной проводимости участка равномерного магнитного поля можно получить и иным путем. Если в равномерном магнитном поле (рис. 1.2) выделить элементарный объем сечением S и длиной db, то магнитное сопротивление этого объема
</Лц = </8/(р05). |
(1.7) |
Полное магнитное сопротивление рассматриваемого участка длиной 5
R = Г /Д ц= |
= A |
( 1.8) |
J |
J Но-S PoS |
|
Отсюда магнитная проводимость
Л= 1/Дц = р08/5,
т.е. как и было получено ранее в (1.3).
Аналогичным способом может быть получена магнитная проводимость зазора между концентрически расположенными сферами (рис. 1.3). Магнитное сопротивление элементарного объема толщиной db, расположенного между внутренней и внешней сферами на расстоянии 5 от центра:
dRll= db/{\i0S) = db/(\i04nb2). |
(1.9) |
11
Рис. 1.2. К расчету |
магнитной |
Рис. |
1.3. К расчету |
магнит- |
проводимости участка равно- |
ной |
проводимости |
между |
|
мерного магнитного |
поля |
концентрическими |
сферами |
|
Полное магнитное сопротивление между сферами
R
|
|
|
( 1.10) |
|
|
Г |
|
ка |
Отсюда выражение для магнитной проводимости промежут |
||
между сферами примет вид |
|
||
|
|
Л = I / R VL= 4n\i0R r/(R -r), |
( 1. 11) |
где |
R — радиус |
внешней, а г— радиус внутренней |
сферы. |
|
Если R ->00, то получается выражение для магнитной |
||
проводимости |
уединенного шара радиуса г |
|
|
|
|
Л = 47С|Х0Г. |
( 1. 12) |
Упрощенные методы расчета магнитной проводимости основаны на использовании некоторых упрощающих истинную картину магнитного поля допущений. К таким допущениям, например, относятся:
1)строгая равномерность магнитного поля в немагнитном зазоре;
2)отсутствие потока выпучивания у границ рассматрива емого участка равномерного поля.
Сучетом указанных допущений можно подсчитать маг нитную проводимость во всем промежутке между параллель
ными плоскостями (рис. 1.2) по (1.3):
A = [i0S/b = [i0ab/8.
Поскольку конструктивные элементы, составляющие маг нитную цепь, изображаются на чертежах в ортогональных проекциях, то удобнее бывает пользоваться лишь размерами
12
Рис. 1.4. К расчету проводимости между непараллельными плоскостями
фронтальной проекции, т. е. не учи тывать размер 6, соответствующий грани, перпендикулярной плоскости чертежа. Иными словами, размер b может быть выбран в качестве характерного размера А. В этом случае с учетом (1.6)
Л = Ц0М; |
(U 3) |
Х= а/ 5. |
(1.14) |
Магнитная проводимость меж ду непараллельными плоскостями
(рис. 1.4) при указанных выше до пущениях может быть найдена следующим образом. Выделяя
элементарный объем, находящийся между двумя смежными линиями индукции на расстоянии х от линии пересечения плоскостей и имеющий толщину dx можно записать
|
|
dA = |i0ХЬ, |
где |
|
|
|
|
X= dx/cpjc. |
Полная проводимость между плоскостями равна сумме |
||
проводимостей |
всех |
элементарных объемов, находящихся |
в пределах от |
до |
R2 (рис. 1.4): |
-М ' |
|
ь |
ъ 1 |
R 2 |
(1.15) |
||
Но— Ж :=Цо-1п-*. |
|||||||
|
срдс |
ф |
Rx |
|
|||
|
R, |
R, |
|
|
|
|
|
Используя разложение |
ln(/?2//?i) в ряд Тэйлора |
||||||
|
|
|
|
(Л2/Л О -1 ]2" - 1 |
|
||
1п(/г2/ л 1)=2 |
X |
|
|
(1.16) |
|||
|
|
|
|
п=1 |
2л — 1 |
|
|
и ограничиваясь |
первым |
членом |
разложения, |
получаем |
|||
|
Л = 2р0- ^ |
- ^ |
|
(1.17) |
|||
|
|
|
|
К 0 Ф R2 +Rl |
|
|
|
1.2.1. Метод |
конформных |
отображений |
|||||
Этот метод относится к аналитическим и применяется для расчета магнитных, электрических, тепловых и других полей с плоскопараллельной структурой.
Плоскопараллельное поле сохраняет неизменной свою струк туру в плоскостях сечений, параллельных плоскости чертежа. Поэтому можно ограничиться исследованием особенностей поля в плоскости чертежа, а результаты ^анализа распространить на весь объем поля. Поле в плоскости чертежа ограничено плоской геометрической фигурой, каждой точке которой соответствует
некоторое комплексное число z = x+jy. При помощи функции
W = f{z) = u+jv исходную сложную фигуру одной комплексной плоскости можно преобразовать в более простую и удобную для анализа другую геометрическую фигуру иной комплексной плоскости. При конформных отображениях фигур сохраняется их подобие в бесконечно малых размерах, отсюда и произошло название метода конформных (КОНстанта, постоянство ФОРМ) преобразований. Практический интерес представляют конформ ные преобразования при помощи аналитических функций.
К аналитическим функциям относятся рациональные, степен ные, показательные, логарифмические, тригонометрические, ги перболические, эллиптические и др., удовлетворяющие условиям Коши — Римана:
du/dx = dv/dy; ) |
|
d u /d y= -d vld x .j |
К ' ' |
В качестве примера рассмотрим применение метода кон формных отображений для определения магнитной проводи мости Л между двумя коаксиальными цилиндрическими магнитопроводами (рис. 1.5, а), имеющими радиусы гх и г2.
Рис. 1.5. Использование конформных отображений для расчета магнитных проводимостей
Уравнение окружности в комплексной плоскости z имеет вид
z = rejф. |
(1.19) |
На основании (1.19) окружность радиуса гь соответ ствующая наружной поверхности внутреннего цилиндрического магнитопровода, опишется равенством
z l = r1ejv,
а внутренняя поверхность внешнего цилиндрического магнито провода
z 2 = r2e№
Используем для конформного отображения логарифмичес кую функцию
W = A\nz. |
( 1.20) |
Тогда с учетом (1.19)
W=u+jv = A \nre'n = A lnr+y^tp, |
(1.21) |
откуда
и=А In г;
( 1.22)
v= A<f>.
Согласно (1.22) две окружности с радиусами rt и г2 в плос кости z отобразятся на плоскости w в виде двух прямых (рис. 1.5,6):
ul = A \n ri\
(1.23)
и2 = А\п г2.
Применительно к магнитному полю эти окружности и пря мые представляют собой эквипотенциальные линии, разность
магнитных потенциалов |
между |
которыми |
u2 — u1 = UM. |
|||
Радиусы |
окружностей в |
плоскости |
z, |
наклоненные |
||
под углами |
<рь |
ф2, |
фз |
к оси |
х, |
отображаются |
в плоскости- |
w в |
виде |
прямых, параллельных оси абсцисс |
|||
и; элементарное изменение радиуса dr в плоскости z от ображается отрезком du в плоскости w, а зазор S между
магнитопроводами |
(6 = г2 —г,) в |
плоскости z отображается |
отрезком Д= u2 — Ui |
в плоскости |
W. |
Таким образом, магнитное поле между коаксиальными цилиндрическими магнитопроводами при помощи логариф мической функции отображается в равномерное поле между параллельными плоскостями (рис. 1.5, а и б). Ортогональность линий магнитного поля N или В = ц0Н и эквипотенциальных поверхностей радиуса г в плоскости z сохраняется и в плоскости
w; магнитное поле, направленное вдоль линий срь ф2 перпендикулярно эквипотенциальным линиям уровня их и и2.
Из (1.23) вытекает
|
и2 - Ml = и и = A (In Г2 - In гх)= A In {г2 1 гi). |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
А = |
Uм |
|
(1.24) |
|
|
1a(r2lriY |
||||
|
|
|
|
||
Тогда |
с учетом (1.22) |
|
|
|
|
|
и= |
|
С/м |
In г. |
(1.25) |
|
|
ln(r2/ri) |
|
|
|
Вдоль |
соответствующих |
|
ЛИНИЙ |
ПОЛЯ В ПЛОСКОСТЯХ |
Z или |
w разность магнитных потенциалов между бесконечно близкими
эквипотенциальными |
уровнями |
|
|
|
|
dUu = Hrdr=Hwdw. |
(1.26) |
Поэтому можно |
записать |
|
|
|
|
dW |
|
|
|
Hr = Hw lb ' |
(1.27) |
или |
|
|
|
|
|
Hr= dUJdr, |
(1.28) |
где |
Нг и Hw— напряженности магнитного |
поля в плоскостях |
|
z и |
w соответственно. |
|
|
Тогда с учетом |
(1.25) |
|
|
|
|
С/м |
|
|
|
Нг= /•ln(r2/ri)‘ |
(1.29) |
Полученное равенство позволяет рассчитать напряженность Нг в любой точке пространства между коаксиальными магнитопроводами. Оно показывает, что напряженность в любой точке этого пространства пропорциональна разности магнит ных потенциалов С/м между магнитопроводами и обратно пропорциональна радиусу г— удалению точки от внутреннего магнитопровода.
Магнитная проводимость промежутка между коаксиаль ными цилиндрическими магнитопроводами
Л = Ф/ UM,
где Ф— магнитный поток в промежутке между магнито проводами
Ф= BS=[iQHS\ |
(1.30) |
S —2url— площадь поверхности, через которую проходит маг нитный поток; /— длина магнитопроводов в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа.
Таким образом, с учетом (1.29)
у ы . .
Л = |X°'~ln(ra/ r 1) |
2я / |
(1.31) |
|
t /м |
|
= Цоln(r2/ri)‘ |
|
Используя выражение для |
ni мосителыюй удельной магнит |
||
ной проводимости А = р0Х/, |
из |
(1.31) можно |
получить |
Х= |
|
2л |
(1.32) |
|
|
||
ln(r2/ / ,)
При использовании метода конформных отображений удоб нее сразу определять относительную удельную магнитную проводимость
X |
(1.33) |
где S — площадь поверхности, |
через которую проходит маг |
нитный поток, или |
|
|
( ,3 4 ) |
где l i = S /l— единичная длина контура, который сцеплен с маг нитным потоком.
Метод конформных отображений позволяет не только рассчитать магнитную проводимость плоскопараллельных по лей, но и анализировать структуру этих полей, получать описывающие их уравнения.
1.2.1.1. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ОБЛАСТИ
МНОГОУГОЛЬНИКА НА ВЕРХНЮЮ ПОЛУПЛОСКОСТЬ.
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА
При расчетах магнитных цепей встречаются случаи, когда исследуемое поле заключено не внутри области, описываемой однородными уравнениями, а ограничено некоторой ломаной линией при его плоскопараллельности в направлении, перпен дикулярном плоскости чертежа. Как правило, такие поля в инженерных задачах требуется отобразить на верхнюю полуплоскость.
Сразу подобрать простую отображающую функцию бывает сравнительно нелегко. Однако существует общее правило
17
получения необходимой отображающей функции по формуле
Кристоффеля — Шварца |
[10, 11]: |
dz |
К |
dt ( , - |
(1.35) |
(L-ti)ytlnU -h )yiln..U -tn)y’ln
где К — постоянный коэффициент, определяемый из начальных условий; х — комплексная текущая координата в отображающей
плоскости /; |
tu |
t2, |
..., |
tn— координаты точек |
излома исследу |
|
емого контура |
в |
отображаемой плоскости |
z, |
отображенные |
||
в плоскость |
/; |
уь |
у2, |
..., у„— значения углов |
(в радианах) |
|
поворота прямых линий, образующих исследуемую область. При обходе контура отображаемой области эта область остается слева, т. е. обход совершается против движения часовой стрелки. В этом случае углы у считаются положитель ными. При повороте линий контура по часовой стрелке соответствующие углы у считаются отрицательными. Неко торые из вершин многоугольника контура могут лежать в бесконечности, т. е. если две последовательные стороны
многоугольника параллельны или расходятся, то |
для них |
| У | = 71. |
[10, 11], |
В теории конформных отображений доказывается |
что все контуры, ограничивающие область исследуемого поля, при правильном выборе отображающей функции по (1.35) непременно отобразятся в плоскости t на действительную ось р, а само исследуемое поле внутри этого контура — в верхнюю
комплексную |
полуплоскость |
t радиуса |
г |
(рис. 1.5, в и г). |
|
|
Поскольку обход отображаемого контура совершается по |
||||
следовательно |
через точки |
zb z2, |
..., |
z„, отображаемые |
|
в |
плоскости t на ось р соответственно в |
точки tu t2, ..., t„, |
|||
то |
должно удовлетворяться |
соотношение |
tl < t2< t3, ..., tn, т. е. |
||
каждая сторона многоугольника z,-zi+1 в области z отобража
ется в виде отрезка titi+1 на действительной оси р |
плоскости t. |
В пределах каждого отрезка /,/1+ 1 аргумент |
производной |
dz/dt остается неизменным. При переходе же через каждую точку tt в направлении возрастания абсциссы р аргумент производной меняется скачком на угол у,-, на который делает поворот вокруг точки Z; сторона z,zi+1 многоугольника до совпадения со следующей стороной z, + 1zi+2 отображаемого многоугольника.
В точках tu t2, /3, tn производная dzjdt обращается в бесконечность. В этих точках нарушается аналитичность функции z. Для сохранения всюду аналитичности этой функции указанные точки tu t2, t3, ..., t„ обходятся по окружностям бесконечно малого радиуса и тем самым исключаются из отображаемой области, что не влияет на окончательный результат,
is
В теории конформных отображений доказывается, что при использовании формулы Кристоффеля— Шварца (1.35) численные значения для любых трех точек из tu t2, f3, ..., th ..., tn могут выбираться произвольно. Это значительно упрощает расчеты, ибо во многих случаях реальные инженерные задачи можно свести к исследованию области, ограниченной контуром, при обходе которого совершается не более трех поворотов. Если поворотов совершается более трех, то истинные значения для точек f4, t5 нужно устанавливать на основании связи между z и /.
Рассмотрим использование формулы Кристоффеля — Швар ца на примере анализа магнитного поля между двумя парал
лельными |
плоскостями полюсов ограниченных |
размеров |
(рис. 1.5, в). |
Известна аналогия между магнитным |
и элект |
рическим полями. Известно также, что магнитное поле между двумя плоскими полюсами ограниченных размеров эквивален тно электрическому полю между пластинами плоского кон денсатора. При этом если задана электрическая емкость С плоского конденсатора, то магнитная проводимость А, между полюсами, имеющими те же размеры и тот же зазор 8, что и пластины конденсатора, может быть найдена из соотношения
|
|
Л = |!оС7е(ъ |
(1.36) |
где |
е0= 10-9/36л Ф/м — электрическая |
постоянная. |
|
|
Постоянные \х0 и е0 |
связаны соотношением |
|
|
|
cc = V 1/(Цо£о). |
(1.37) |
где |
сс— скорость света |
в вакууме. |
|
Магнитное поле выпучивания возле ребер рассматриваемых полюсов описывается такими же уравнениями, что и элект рическое поле за пределами обкладок плоского конденсатора (рис. 1.5, в). Воспользуемся аналогией между магнитными и эле ктрическими полями и, рассмотрев электрическое поле плоского конденсатора, установим интересующие связи для магнитного поля между плоскими полюсами.
Рассматривая область между обкладками плоского конденса тора (рис. 1.5, в), можно установить, что она ограничена контуром, для обхода которого необходимо совершить три поворота: два по часовой стрелке (в точках z x и z3) и один — против движения стрелок часов (в точке z2). За точку z2 принимается «бесконечно удаленная» от краев пластины точка, где поле можно считать равномерным, направленным перпенди кулярно пластинам конденсатора. За такую точку можно принять точку в центре конденсатора (т. е. под серединой полюсов).
В этой точке (бесконечно удаленной) совершается поворот обхода на угол у2 = л, а в точках zx и z3 — на углы Yi = —тс, Уз = “ ГС-
Тогда по |
формуле Кристоффеля — Шварца (1.35) можно |
||
записать |
|
|
|
|
dz |
К |
|
|
dt (/- /,) |
'( t - t 2y ( t - t 3) *' |
|
Принимая |
11 = —1; t2 = О и t3 = 1 (как было отмечено выше, |
||
три значения |
t{ могут приниматься произвольно), получим |
||
|
dz _ K(t —l)(r + 1) |
(1.38) |
|
|
dt |
t |
|
|
|
||
Для характеристики любой точки в плоскости t целесооб разно использовать соотношение
|
|
|
|
|
t = rej*. |
|
|
(1.39) |
|
Интегрируя |
(1.38) |
вдоль |
линии поля при z2= —оо, можно |
||||||
с учетом (1.39) установить |
значение |
коэффициента |
К: |
||||||
|
O-jn |
|
О |
l)(reJ4>+ 1) . . . . |
|
||||
|
j |
. - |
« |
j |
e |
|
|||
|
-------- |
-jreJvdq>. |
|
||||||
|
6 |
jК |
|
|
|
re1 |
|
|
|
|
интегрирование в плоскости t ведется |
||||||||
Учитывая, |
что |
||||||||
вдоль |
окружности |
бесконечно |
малого |
радиуса, |
т. е. при |
||||
г <$с 1, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.40) |
Отсюда (1.38) примет |
вид |
|
|
|
|
||||
|
|
|
dz |
. 5 t2 —1 |
|
|
(1.41) |
||
|
|
|
dt |
J п |
t |
' |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
Проинтегрировав |
(1.41), |
получим |
|
|
|
||||
|
|
|
5 _ _ ; 5 ( ^ - | n , ) + C. |
|
(1.42) |
||||
Постоянную интегрирования С можно получить из условия, что при 2j = —5 значение /= —1 или при z3 = 0 значение /= 1. Отсюда
Используя это соотношение, можно найти отображающую функцию, связывающую области z и /: