книги / Электромеханические аппараты автоматики
..pdfИсходные дифференциальные уравнения
d2Uz
|
dz2 — Цо ^ d вн ( ^ n d 1 “Ь ?L\xd 2 ) L L z ’ |
(1.123) |
||
|
d2Ф2 |
|
|
|
|
d ВН |
|
|
|
|
dz2 = Ц(А |
|
|
|
где Uz и |
Ф2 — разность магнитных |
потенциалов |
и поток |
|
в сечении |
z; /к— длина катушки. Здесь |
во втором |
уравнении |
|
необходимо учитывать удельную МДС рассматриваемой части магнитопровода.
Решение можно предста вить в виде уравнений ак тивного четырехполюсника [5, 74]:
U2=Uec h JZ » dAim { \-z /ld)+
+(Фе-Ф 0) (1-*//„) х
Фг=Ф а+^е(1-2//„) х
х& sh 4/ z (ldAdBH+
'Z.]xd
+(Фе-Ф а) ( 1 - ^ ) х
X ch^JZpdAdBH; |
(1.125) |
Фa = £ /Z ^ ; |
(1.126) |
Z M = Z M+ Z ,2, |
(1.127) |
где Фа— поток, при расчете которого учитывается толь ко комплексное магнитное сопротивление стержней 1 и 2 (рис. 1.16, я); ld— пол ная длина зоны рассеяния.
Остальные величины, входящие в (1.124) — (1.127), определяются по формулам
Рис. 1.16. К расчету магнитных це пей с распределенной МДС
вн \ f^ “М’О ^ dвн ^d5
Z» 1 = (PR 1+ / PJC1) ^ j
:?ц2 —(Рк2+7Рх2) ТГ>
02
где »S! и $2 — поперечные сечения стержней 1 и 2 (рис. 1.16, а). Используя, как и ранее, первые два члена разложения в ряд Тейлора гиперболических функций, можно записать [5]
и х= и в |
1+й * ф 1 ( 1 - 211лу |
+ |
||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
г- |
^•dвн Z M |
|
+ Z „ a (0 .-£ /Z lld) ( l - z //d) |
1+ |
( i - Z//,)2]; (1.128) |
||
|
|
|
6 |
|
®*=E/Zvld+QtZ tieAdM(l - z / / d) |
^dBH Zjld ( l - z //d)2J + |
|||
|
1+ ^dBH Zjld |
(1.129) |
||
где ld— полная длина |
зоны рассеяния. |
|
||
При расчете магнитных цепей не всегда требуется знать распределение магнитного потенциала Uz и потока Ф. по длине магнитной цепи (рис. 1.16, б и в). Чаще необходимо знать связь между выходными и входными величинами. Для
этого могут быть использованы следующие соотношения |
[5, |
|||||
74], |
полученные из |
(1.128) и (1.129) |
при z = 0: |
|
|
|
|
^o = (f /Z MK) ( ^ 1+A dBHZMC/2); |
(1.130) |
||||
|
|
|
|
|
(1.131) |
|
|
Ф«Р = ( № ЦК) [Ki + AdBH(Z(l0 + Z|I./3)]; |
(1.132) |
||||
|
|
Ki = ^ + ^ ,n Z ^ d/6; |
(1.133) |
|||
|
:? ц к — {?L\id + |
AdBH Z \iO 2 ц е ) K l + |
( ^ ц 0 + Z » e ) K l '* |
(1 • 1 3 4 ) |
||
|
|
K2 = 1+ AdBHZ M/2; |
(1.135) |
|||
|
^Ц0=^ц3 =(рЯЗ+УРд:з)/з/‘^3» |
(1.136) |
||||
где |
о — комплексное магнитное |
сопротивление |
ярма |
3\ |
||
Z\xe— комплексное |
магнитное |
сопротивление |
нагрузки; |
|||
/3 и 53—длина и поперечное сечение ярма 3. |
|
|
||||
Для случая, приведенного на |
рис. 1.16, а, |
|
|
|||
7 |
_ _ J __ , 7 , |
( * » + £ . » ) |
“ ifie |
I ±±\xA- "• |
5 |
|
A<jn |
R&A +В&В+Ацэ |
где Л5п — магнитная |
проводимость паразитного зазора между |
|
якорем 4 и стержнем 2; Я&А и RSB— магнитные сопротивления воздушных промежутков рабочего зазора возле неэкранированной А и экранированной В частей полюса; — магнитное сопротивление экрана, подсчитываемое по (1.101).
Удобно все уравнения представить в функции среднего
потока Фср [5]: |
|
|
|
Ф = Фср |
Ri “Ь 2 —1 |
Zpo |
(1.137) |
i |
’ |
||
|
Kl + J ^„„(ZpO + Zpe) |
|
|
|
i±i “b2 —^“H—ив |
(1.138) |
|
Ф0 = Фср------j |
|
||
£=ФсР-----— ^ |
-----------• |
(1-139) |
|||
|
^ 1 |
A d B H Ш ц 0 + 2 ЦС) |
|
||
Координата zmflJC сечения с |
максимальным |
потоком |
|||
^тах_ Ае/к+ |io |
вн |
(0>5 4 - ZMо) |
(1.140) |
||
|
Ас + Ао+ ЙО^BH^d |
|
|||
Если принято, что |
Z mO->0 |
и |
ld = 1К, то |
|
|
^ |
_ t _ ^е"Ь0,5ЦоХ,(вн/к ^ |
(1.141) |
|||
^тах |
*K |
|
5 |
||
|
Ae + A0 + |io^dBH^K |
|
|||
A o = - = |
|
1 |
(1.142) |
||
|
|
||||
|
ZQ l/Zpo + Д^о |
|
|||
A , = - = |
|
1 |
(1.143) |
||
l/ZpC+ Aje |
|||||
|
Ate |
|
|||
где ^<jBH— относительная удельная магнитная проводимость внутреннего рассеяния между стержнями 1 и 2.
1.3.2.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МДС
Для расчета бывают заданы: материал, размеры и кон фигурация магнитной цепи, магнитный поток Фс на выходе системы (рабочий магнитный поток). Определению подлежит МДС F обмотки.
Решение может вестись как графическим, так и аналитичес ким методом.
Графический метод. |
Для решения уравнений (1.137) — (1.139) |
строится график Ф,,(Ф |
,) по (1. 137А тля чего задаются несколь |
кими произвольными значениями Ч'ср. По построенному графи ку и по заданному значению Фе определяется действительное значение потока Фср, по которому ведется дальнейший расчет.
Аналитический метод. Вся система (рис. 1.16, а) и ее схема замещения (рис. 1.16, г) разбиваются на две независимые схемы замещения (рис. 1.16, д и е) на основании того, что в магнитной системе существует максим; ьнь ;i поток, характеризующийся координатой zmax, в которой рассеяние можно принять равным нулю. В этом месте можно установить фиктивный магнитный шунт и разделить систему на две независимые подсистемы.
Параметры схем замещения могут быть найдены следу ющим образом [5]:
Z7 |
__ |
г |
^ m a x . |
£ к 0 — |
L~T~ > |
||
|
|
|
*к |
Г |
— Р |
/ |
— 7 |
к |
~ т а х |
||
— У.е |
£_ |
|
, J |
(1.144)
(1.145)
где Fk0 и FKe— МДС, действующие в изолированных контурах (рис. 1.16, д и е).
^dOiiH Po^dBH * ~ Цо^вн^виип |
(1.146) |
^deBH Цо ^ d вн (^к -max); |
(1.147) |
Фго=^ко | —-—l-AdOBH [1 ~(z/zmax)2] [; |
(1.148) |
Ф =FJ Ki |
(1.149) |
Ф,т.*= Фго + ^ о = Фхе+Фйе. |
(1-150) |
Решение приведенных уравнений позволяет найти искомую МДС обмотки. Погрешность описанного способа расчета не превышает нескольких процентов.
54
1.4. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА МАГНИТНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С УЧЕТОМ МАГНИТНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ СТАЛИ
Расчет электрических аппаратов переменного тока гораздо сложнее, чем работающих на постоянном токе, из-за необ ходимости учета сопротивления стали и размагничивающего действия экранов и короткозамкнутых витков.
Обмотка любого аппарата обладает определенным неизмен ным электрическим сопротивлением R3H постоянному току. При включении в цепь переменного тока, если не учитывать поверхностный эффект, потери в стали и размагничивающее действие короткозамкнутых витков и экранов, обмотка будет обладать тем же сопротивлением R3_„. С учетом же перечис ленных факторов сопротивление обмотки возрастет на значение переменного электрического сопротивления R3,„ и становится
равным R3 = R3.H+ R3.n-
Индуктивное сопротивление обмотки лэ = соL, где со — уг ловая частота сети; L — индуктивность обмотки, зависящая от параметров магнитной системы.
Для анализа и расчета параметров магнитной цепи удобно пользоваться векторной диаграммой, которая строится в ком плексной плоскости. Последовательность построения различных векторов, концы которых отмечены буквами от А до П на векторной диаграмме (рис. 1.17), соответствует последователь ности букв русского алфавита.
Построение диаграммы удобнее начинать с вектора ОА, изображающего амплитуду среднего по длине магнитопровода
магнитного потока Фср |
системы. |
|
||
Далее под углом 5, характеризующим потери на гистерезис |
||||
и вихревые токи в стали |
и в короткозамкнутых контурах |
|||
(без учета |
потерь 6 = 0), |
проводится линия и на ней определя |
||
ется точка |
Б — такая, |
что |
перпендикуляр, |
восстановленный |
к отрезку ОБ из этой |
точки, попадает в точку А. Отрезок |
|||
ОБ характеризует реактивную Фг, а отрезок |
БА — активную |
|||
составляющую потока |
Фср. |
|
|
|
На основании расчета магнитной системы можно по значению потока Фср найти необходимую МДС F обмотки, которая состоит из двух составляющих: реактивной Fr (отрезок ОБ) и активной Fa (отрезок ВГ). Составляющая Fa идет на компенсацию потерь на гистерезис, вихревые токи, а также экранирующего действия экранов и короткозамкнутых витков. Составляющая Fr расходуется на проведение магнитного потока по цепи. Отношение этих составляющих позволяет подсчитать тангенс угла потерь
Рис. 1.17. Векторная диаграмма магнитной системы
Полное магнитное сопротивление системы
£„ = £ / ®cp = R,+jX„. |
(1.152) |
Следовательно, вертикально заштрихованный треугольник на векторной диаграмме является треугольником магнитных сопротивлений ОЕД всей системы: отрезок ОД соответствует активному магнитному сопротивлению Д Е — реактивному магнитному сопротивлению А"ц, ОЕ— полному магнитному сопротивлению Zp.
Магнитный поток Фср наводит в обмотке ЭДС Е (отрезок ОЖ), отстающую от него по фазе на 90°. Эту ЭДС можно разложить на две составляющие: активную Еа= —IR3n (отрезок ЗЖ) и реактивную ЕГ= —1Х3 (отрезок 03). Для определения длины и направления Еа (отрезок ЗЖ) необходимо иметь в виду, что отношением МДС F к числу витков w обмотки определяется ток в обмотке, а направление отображающего ток вектора совпадет с направлением МДС F, т. е. с направ
лением |
отрезка ОГ |
Если |
повернуть каждый из отрезков 03 и ЗЖ на 180°, |
то их |
новые положения ОК и КИ будут характеризовать |
56
соответственно истинное падение напряжения на реактивном сопротивлении х, обмотки и на ее переменном электрическом сопротивлении R3n.
Продлив отрезок КИ на величину ИЛ, характеризующую падение напряжения на электрическом сопротивлении R3H об
мотки, |
и |
соединяя |
точку Л с началом координат О, |
можно |
найти вектор |
приложенного к обмотке напряжения |
|
U (отрезок |
ОЛ). |
|
|
Если длину сторон полученного треугольника напряжений ОКЛ поделить на ток, то получим треугольник ОМП элек трических сопротивлений обмотки (горизонтально заштрихо ван), причем отрезок МН соответствует сопротивлению R3.„, а отрезок Н П — сопротивлению R3 „.
На основании анализа построенной векторной диаграммы можно установить ряд очень важных закономерностей. Из
треугольника электрических сопротивлений |
ОМП |
tg(p = x3/(R3.n + R3'„). |
(1.153) |
Из подобия треугольников ОЕД и ОМН |
|
tg 5 = Лэ.п/х, = |
(1.154) |
т. е. произведение активных составляющих электрического сопротивления обмотки R3 n и магнитного сопротивления /?м цепи равно произведению реактивных составляющих элек трического сопротивления х3 и магнитного сопротивления Хц.
На основании векторной диаграммы электрическое со противление
|
R3.n = EaII=Ea/(F/w) = wEaIF=wEsmb/F, |
(1.155) |
||||||||||
а ЭДС |
обмотки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Е = юи>Фср/У 2, |
|
(1.156) |
|||||
где со— угловая |
частота питающей |
сети. |
|
|
||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
w2cosin5 0 co |
w2cosin6 1 |
w2cosin5cos5 |
w2co . |
Лв. |
|||||||
----- F---- :r = ------F |
|
= -----F---- — = |
F — Sin 28. |
|||||||||
|
y/2 |
F |
|
ф |
|
|
ф |
R» |
2^2RV |
(1.157) |
||
Аналогично индуктивное |
сопротивление обмотки |
|||||||||||
|
||||||||||||
|
Er |
Er |
wEr |
w/s cos 8 _ wcosS (ои>Фср |
w2cocos5 x |
|
||||||
|
I |
F/w |
|
F |
F |
|
F |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
w2cocos8 cos 5 |
w2co |
|
(1.158) |
|||||
|
|
x — = - |
ф |
R, |
ф |
cos 2 8. |
||||||
|
|
X |
|
R< |
|
|
||||||
Поскольку |
i?M= l/A , |
T O |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
W |
2 ( H |
A |
2 |
S |
|
(1.159) |
|
|
|
|
|
|
x>= —— A coso . |
|
||||||
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
|
|
|
||
При 8->0, когда в системе отсутствуют потери, индуктивное сопротивление
хэ = и'2шЛ/ч/2. |
(1.160) |
Для того чтобы полученное равенство было идентично
известной формуле |
|
x, = coL= coAu-2, |
(1.161) |
при синусоидальном переменном токе необходимо пользоваться значениями магнитных проводимостей в у/2 раза большими,
чем на |
постоянном токе. Для этого достаточно умножить на |
||
J 1 |
все |
относительные удельные магнитные проводимости |
|
X |
[1,5]. |
|
расчета магнитных проводи |
|
Рассмотренные выше методы |
||
мостей |
и магнитных цепей не |
потеряли своей значимости |
|
и в настоящее время, характеризующееся интенсивным внедре нием ЭВМ и численных методов расчета магнитных цепей. Многие из них модернизируются и переводятся на языки программирования.
Ниже приведены примеры использования некоторых из рассмотренных методов расчета магнитной проводимости.
1.5. |
ПРИМЕРЫ |
РАСЧЕТОВ |
|
|
|
|
||||
1. |
Определить |
методом расчетных |
полюсов |
магнитную |
||||||
проводимость Л5 между перекрывающимися концами контакт |
||||||||||
ных сердечников геркона типа КЭМ-2 при зазоре срыва (см. |
||||||||||
гл. 3), |
если |
известны |
(рис. 1.18): |
А = 0,36 мм; |
|
|
||||
толщина |
контактных |
сердечников |
|
|
||||||
ширина |
контактных |
сердечников |
А = 0,8 мм; |
|
|
|||||
перекрытие |
их |
концов а = 0,75 мм; |
|
|
|
|||||
зазор срыва |
8ср = 0,026 мм. |
|
|
|
|
|||||
Согласно (1.71) магнитная проводимость в области рабочего |
||||||||||
зазора |
геркона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А*== Ц(Л<Аь5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
У У //////Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
№ |
1 |
Ц |
“ |
|
|
|
|
|
|
|
V. |
|
У |
|
г Ъ
где согласно рис. 1.18 |
относительные удельные магнитные |
|
проводимости с граней а и b (§ 1.2.3.2) |
|
|
\ а = 'к1о + 2 \2 + 2'к3= а1Ъ+ 2-0,52 + 2----------------------- |
= |
|
|
^[я5/2+я(8+А)/2] |
|
0,75 f 2-0,52 + 2---------------— ---------------- |
= 32,11. |
|
0,026 |
1- [я0,026/2+ я (0,026+0,36)/2] |
|
|
||
Аналогично |
|
|
* .- Х и + й . + 2 |
Х ,- |+ 2-ОД6+ 2; ^ |
5- М . + |
+2-0,26+ 2 - ^ 4 - У ^ —7=32,477.
я(0,026+0,36)
Отсюда Л5= 1,256-1(Г9 -32,11 32,477-0,026 = 3,405-10"8 Гн.
Эта же магнитная проводимость, найденная по формуле равномерного магнитного поля, без учета потоков выпучивания
Л6 = Р о ^ /8 = 1,256 • 10"9 -0,75 -0,8/0,026 = 2,898 • 10"8 Гн,
что на 17,495% меньше значения, найденного по методу расчетных полюсов. Это показывает, что даже при малых
зазорах |
(5 = 0,026 мм), на порядок |
меньше |
других |
поперечных |
|||||||||||
размеров а, Ь, А, расчет по формуле равномерного магнитного |
|||||||||||||||
поля |
может |
давать |
существенные |
погрешности. |
действующую на |
||||||||||
2. |
|
Найти |
электромагнитную |
силу |
Рэ, |
||||||||||
полюс |
(рис. 1.11, о), |
при |
следующих |
данных: |
|
|
|||||||||
ширина |
полюса я= 10 мм; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
толщина |
полюса |
А = 25 мм; |
|
ферромагнитной |
пластиной |
||||||||||
зазор |
между |
полюсом |
и |
|
|||||||||||
8= 5 мм; |
|
|
|
в |
полюсе |
Ф = 200 мкВб. |
|
|
|||||||
магнитный поток |
|
|
|||||||||||||
Электромагнитная |
сила |
взаимодействия ферромагнитных |
|||||||||||||
тел |
в |
магнитном |
поле |
[7, |
9, |
74] |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
= _ |
l l dA |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
d5 ’ |
|
|
|
|
где |
Fi — МДС, |
приложенная |
|
к |
немагнитному |
промежутку |
|||||||||
между |
взаимодействующими |
ферромагнитными |
деталями. |
||||||||||||
Если система ненасыщена, то последнее равенство можно |
|||||||||||||||
представить |
в ином |
виде: |
= _ Ф 2 dA |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2А2 d 5 ’
где Ф— магнитный поток между взаимодействующими деталями. Используя выражение для магнитной проводимости с ко эффициентом приведения х (см. § 1.2.3.2), окончательно можно
записать
Р = ______ ^ ______ |
|
||
3 |
2ц0$(1+5хМ)' |
х = 2(1 +а/Ь) = |
|
Определив коэффициент |
х (см. |
§ 1.2.3.2) |
|
= 2(1 +10/2,5) = 2,8, на основании |
полученного |
равенства |
|
200-200-10“12 |
26,7Н. |
||
Р3 = 2 • 1,256 • 1(Г6 • 10• 25 • 1<Г6 (1 + 5 • 2,8/10) |
|||
Если не учитывать потоков выпучивания и считать маг нитное поле под полюсом равномерным, то электромагнитная сила будет больше:
Ф2 |
200-200-10-12 |
= 64 Н. |
Р3 = 2ЦО-5 |
2 • 1,256 • 10_б • 10-25 • 10_6 |
Это показывает, что потоки выпучивания сильно искажают картину магнитного поля и существенно влияют на уменьшение электромагнитной силы при неизменном потоке Ф.
Г лава вторая
РЕЛЕ АВТОМАТИКИ
2.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Различают два вида реле. Если скачкообразное изменение выходного тока происходит с физическим разрывом цепи, то реле называют контактным пли просто реле. Если же изменение В 10 тока на выходе проис ходит вследствие лавино образного изменения вну треннего сопротивления без физического разрыва цепи, то это устройство релейного действия, или
бесконтактное реле. Устройство простей
шего электромеханичес кого реле показано на рис. 2.1. При прохожде нии тока по обмотке 1
Рис. 2.1. Электромеханическое реле