Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6519

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

813.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Глава 1 Математические основы

Пример:
						1		8		-1
8	1	K		1								255
		K				2
						2
			=		×						=
	2		=	2	×	1					=	256
K =1	2			2		1			-1			256
							2		-1

1.2.4 Формула для суммы бесконечного геометрического ряда

Для суммы бесконечного геометрического ряда верна следующая формула:

∞

(-1 < q < 1)

− q

K =1

Пример:

∞

= 1

K =1

1.3 Резюме

Таблица 1.1 Формулы последовательностей

Последовательность

Конечный ряд

Бесконечный ряд

∞

a1,a2, ... , an

= a1 + a2 +... + an

ak = a1 + a2 +...

k =1

n(a1 + an )

Арифметическая

aK - aK-1 = d

K =1

−1

∞

aK =

= a1

= q

1 − q

Геометрическая

q −1

K =1

aK −1

K =1

(q ≠ 1)

(-1 < q < 1)

Глава 1 Математические основы

Таблица 1.2 Примеры последовательностей

n →				1 2 3 4 …												Формула			Примечание

ак	1 2 3 4 …												ак = К						арифметическая d = 1

ак	3 4 5 6 …												ак = К+2						арифметическая d = 1

ак	5 0 -5 -10 …												ак = 10-5К						арифметическая d = - 5

ак	1,5 2 2,5 3 …												ак =	1		К+1			арифметическая d = 0,5
													ак =			К+1
													2

ак	2	4			8				16			…	2					К	геометрическая q =	2
ак	2	4			8				16											2

	3	9			27				81				ак =							3
													ак =
													3
													3

ак	1	1			1				1		…		1				К		геометрическая q =	1
											…		1				К		геометрическая q =
	2	4			8		16						ак =							2
	2	4			8		16						2							2
													2

ак	-2 4 -8 16 …												ак = (-2)К						альтернативная геометрическая q = - 2
ак	1		1			1		1		…			ак =		1				гармоническая последовательность
	1	2			3		4			…			ак =		К
		2			3		4								К

ак	1 1 2 3 …												а1 = 1; а2 = 1						последовательность Фибоначчи
													аK+1 = аK-1 + аK (К>2)

Глава 2 Исчисление процентов

2.1 Простые проценты

Определение:

Компенсация за одолженный взаймы капитал называется процентом.

Величина процентов Zn зависит от

•размера капитала Ко

•срока n

•нормы прибыли р

Норма прибыли р - это та цена, которую нужно заплатить за 100 денежных единиц в течение одного (процентного) периода.

Расчет процентов Zn происходит следующим образом:

• каждая денежная единица оплачивается в течение одного

(процентного) периода процентами100р ;

• Ко денежных единиц капитала оплачиваются в течение одного

(процентного) периода процентами Ко ● 100р ;

• Ко денежных единиц капитала оплачиваются в течение n (процентных)

периодов процентами Ко ●				р	● n , т.е.

			100
Zn = Ко ●	р	● n
Zn = Ко ●	100	● n

Если подставить в этой формуле 100р = i (i – ставка процента), то получится следующее:

Z n = K 0 × i × n ,	1	1
		1

где K0 - начальный капитал,

Zn - проценты за n процентных периодов,

n - количество процентных периодов (срок), i - ставка процента.

Определение:

Общую сумму процентов и начального капитала называют конечной стои- мостью. Формула конечной стоимости при простом начислении процентов:

Kn = К0 + Zn = K0 + K0 ×i ×n = K0 (1+i ×n)

1 Нумерация формул соответствует списку формул в приложении 2.

	Глава 2 Исчисление процентов
K n = K 0 (1 + i × n)	2

Пример:

На капитал в 7.500 евро начисляются проценты в размере 4% в год. Каким станет этот же капитал к концу пятого года при простом начислении процентов?

Дано: K0 = 7.500; i = 0.04; n = 5. Тогда К5=7.500 (1+0,04 ● 5) = 9.000.

Формула текущей (приведенной) стоимости при простом начислении процентов.

Дано: Кn, n, i Найти: К0

1
K0 = Kn × 1+ i × n	3

2. 2 Сложные проценты

2. 2.1 Последующие (постнумерандо) сложные проценты

Определение:

Проценты, которые в конце процентного периода не снимаются со счёта, а добавляются к капиталу, и на которые после этого опять начисляются проценты вместе с капиталом, называются сложными процентами постнумерандо.

Согласно формуле (3), получаем для расчёта конечного капитала по истечении n процентных периодов:

К1 = К0+К0 ● i = К0 (1+i) =…………………К0 ● q

К2 = К1+К1 ● i = К1 (1+i)=K1 ● q =…………К0 ● q2

К3 = К2+К2 ● i = К2 (1+i)=K2 ● q =…………К0 ● q3

•

Кn = Кn-1+Кn-1 ● i=Кn-1(1+i)=Kn-1 ● q=……К0 ● qn
Kn = K0 qn постнумерандо,		4
где Кn - конечная стоимость после n периодов,
Ко	- текущая стоимость,
n	- количество периодов,

q = 1 + i - коэффициент наращения сложных процентов. 13

Глава 2 Исчисление процентов

Пример:

На капитал в 7.500 евро начисляются проценты в размере 4% в год. Каким станет этот капитал к концу пятого года?

Дано: Ко =7.500; i = 0,04; n = 5

Тогда Кn = 7.500 (1 +0.04)5 = 9.127,87.

Текущая (приведенная) стоимость при сложных процентах.

Дано: Кn , q , n Найти: Ко

Kn = K0 qn

= K

v n

K0 = Kn ×vn ,			5
где v =	1	- коэффициент дисконтирования.
	q

Пример:

Инвестированный капитал (Ко) по истечении 20 лет достиг 5 000 евро при начислении 4,5% сложных процентов. Определите Ко.

Ко = 5.000 ●	1	= 2.073,21.

	(1 + 0,045)20

Ставка процента при сложных процентах.

Дано: Кn , К0 , n Найти: q

Kn = K0 qn

K n	= q n
K 0	= q n
K 0

q = n		K n	6
q = n		K 0	6
		K 0

Пример:

Под какую ставку процента необходимо вложить капитал, чтобы он через 10 лет удвоился?

Глава 2 Исчисление процентов

Так как Кn= 2 Kо, то

q = 10 2K n = 10 2 =1,0717

K 0 i ≈ 0,07 .

Срок при сложных процентах.

Дано: Кn, Ко, q Найти: n

Kn = K0 ● qn

K n qn = K 0

log q n = log		K n
log q n = log		K 0
		K 0
n × log q = log K n			- log K 0
n =	log K n − log K 0			7
n =	log q			7
	log q

Пример:

За какое время капитал в 3.000 евро вырос до 4.000 евро при ставке процента 5%?

n =	log 4000 − log 3000	=	3,60206 − 3,47712
	log1,05		0,0211893

= 0,1249387 =

n 5,89 года 0,0211893

2.2.2 Предварительные (пренумерандо) сложные проценты. Альтернатив- ная ставка процента

При предварительном начислении процентов в начале процентного периода к начальному капиталу добавляются проценты конечного капитала.

Начало:

1-го года: К1	= К0	+ К1 ● i K1 (1 –i) = K0	K1	=		K 0
					(1		− i)

2-го года: К2	= К1	+ К2 ● i K2(1 - i) = K1	K 2	=			K 0
					(1		− i)2

		15

Глава 2 Исчисление процентов

...

n-го года: Кn = Кn-1 + Кn ● i Kn (1 - i) = Kn-1 Kn		=		K0
			(1	n
				− i )
K n =	K 0				4a
	(1 −i)n
Исходя из этой формулы, получаем:
K0 =Kn (1 - n)n					5a

Пример:

Ставка процента при последующей (постнумерандо) выплате сложных процентов составляет 4% в год. Какой станет текущая стоимость в размере 3.000 евро через 10 лет? Какой станет эта же текущая стоимость при предварительной (пренумерандо) выплате сложного процента?

При последующей выплате:

К10 = 3000 (1 + 0,04 )10 = 4440 ,73

При предварительной выплате:

К10 =	3000	=	3000	= 4512,41

	(1 - 0,04)10		0,9610

Данный пример показывает, что при одинаковом количестве процентных периодов n, одинаковой ставке процента i и одинаковом начальном капитале К0, предварительное начисление ведёт к более высокой конечной стоимости. Для 0 < i < 1 это всегда будет так, так как:

1 - i2 < 1

(0< i <1)

Û(1 + i )× (1 - i )< 1

1 + i < 1 1− i

(1 + i )n <					1
			(1 − i )n

K	0 (1 + i )	n		<		K	0
					(1	− i )n

Глава 2 Исчисление процентов

Альтернативная ставка процента.

При предварительном начислении процентов иногда используется так называемая альтернативная ставка процента i*, с помощью которой расчеты ведутся постнумерандо с применением формул (4), (5), (6), и (7). Обычная ставка процента i заменяется при этом на альтернативную i*:


1+ i* =			1	i* =	1	−1 i* =	1 −1 + i
1+ i* =				i* =		−1 i* =	1−i
	1		−i		1−i		1−i
		i					8
i	= 1- i ,						8
i	= 1- i ,

где i* - последующая альтернативная ставка процента при заданной предварительной ставке процента i.

Пример:

К0=3000 евро; i=0.04; n=10

Какова конечная стоимость по истечении 10 лет K10 при предварительном начислении сложных процентов?

К10	= 3000 ×		1	= 4512,41

		(1	- 0,04)10

Исчисление с помощью альтернативной процентной ставки:

i* =		i	=	0,04			= 0,416
	1 - i			- 0,04
			1
						0,04		10
K10	= 3000 ×			1	+				= 4512,41
						0,96

2.3 Многоразовое (в течение года) начисление процентов

2.3.1 Относительное многоразовое последующее начисление процентов

Пример:
Текущая стоимость К0
Годовая процентная ставка i
Выплата процентов в конце месяца
Срок n = 2 года
Размер капитала в конце 1-го месяца:		= K0		+		i	1
	K1/12		1
	K1/12		1		12
					12
						i	2
2-го месяца:	K2 /12	= K0 1		+
2-го месяца:	K2 /12	= K0 1		+	12
					12
	17

Глава 2 Исчисление процентов

= K 0

12-го месяца:

12×2

24-го месяца:

K 2

= K 0 1

i m×n

= K0

где m – число периодов начисления процентов в году, i - годовая ставка процента,

i/m - относительная ставка процента

Начисление процентов может происходить, например, один раз в полугодие, поквартально, помесячно, ежедневно, один раз в час и т.д.

Пример:

До какой величины повысится сумма в 100.000 евро при ставке процента 12% годовых за 10 лет, если начисление процентов будет происходить: а) один раз в год, б) один раз в полгода, в) один раз в квартал, г) один в месяц, д) один раз в день, е) один раз в час ?

а) год. = 100.000 1 + , ∙ = 310.584,82
б)	полугод.	= 100.000		1 +		, ∙ = 320.713,55
в)	покварт.	= 100.000		1 +		, ∙ = 326.203,78
г)	помес. = 100.000		1 +		, ∙ = 330.038,69
д)	ежедн. = 100.000		1 +		,!" !"∙ = 331.864,93
е)	ежечас. = 100.000		1 + $%!, $%! ∙ = 332.008,96
Непрерывное (моментальное) начисление процентов
K n = K 0ei ×n ,						15
где е – число Эйлера, e ≈ 2,71828.

Пример:

Непрерывное начисление процентов в течение 10 лет при ставке процента 12% в год и начальном капитале 100.000 евро дает:

К10 непр . = 100 .000 × е0,12 ×10

= 332 .011,42

Глава 2 Исчисление процентов

2.3.2 Эффективная ставка процента

К0 = 100.000 евро i = 0,12

n = 10 лет

m = 2 (полугодовое начисление процентов)

полугод. = 100.000 1 + , ∙ =

320.713,55

Какова годовая ставка процента, если начальный капитал Ко = 100.000 евро, срок начисления процентов 10 лет, периодичность – один раз в полгода и конечная стоимость капитала К10 = 320.713,55 евро?

Определение:

Ставку процента j, которая ведёт к такой же конечной стоимости, что и многоразовый процесс начисления процентов в течение одного года, называют

эффективной ставкой процента.

i m×n

Kn =

= К0

(1 + j)

i m

1 +

1 + j

j = 1 +

−1

= m

1 + j

i= m ×(m 1 + j -1)

Внашем примере эффективная ставка процента составляет:

годовая: & = (1 + 0,12) − 1 = 0,12

&= (1 + ,) − 1 = 0,1236

полугодовая

&= (1 + ,) − 1 = 0,1255

квартальная

К10 полугод . = 100 .000 (1 + 0,1236 )10 = 320 .713,55

Отметим, что многоразовое. начисление процентов в течение года по относи-

тельной ставке процента / ведет к достижению эффективной ставки процента,

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023811.04 Кб16514.pdf
#
21.11.2023811.91 Кб16515.pdf
#
21.11.2023811.98 Кб16516.pdf
#
21.11.2023813 Кб16517.pdf
#
21.11.2023813.2 Кб06518.pdf
#
21.11.2023813.96 Кб16519.pdf
#
21.11.2023139.31 Кб0652.pdf
#
21.11.2023814.01 Кб06520.pdf
#
21.11.2023815.55 Кб06521.pdf
#
21.11.2023816.11 Кб06522.pdf
#
21.11.2023816.12 Кб06523.pdf