6519
.pdf
Глава 2 Исчисление процентов
которая выше номинальной, лежащей в основе относительной процентной ставки (i < j).
2.3.3 Конформная ставка процента
В рассмотренном выше примере (Ко = 100.000, n = 10, m = 2, i = 0,12) речь шла об эффективной годовой ставке процента, которая оказалась выше, чем номи- нальная ставка процента (j = 0,1236).
В процессе многоразовых (в течение года) начислений процентов часто случается так, что, несмотря на многоразовые выплаты процентов, нельзя выходить за пределы определённой, заданной заранее годовой номинальной ставки. Это означает, что размер годовой ставки процента при многоразовом начислении процентов не должен отклоняться от размера эффективной годовой ставки процента.
В таком случае в течение года расчеты производятся по конформной ставке процента I'.
К0 (1 + i)n = K 0 (1 + i')n×m
1 + i = (1 + i')m |
|
|
|
|
|
||
i′ = m |
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 + i |
11 |
||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
||
К0 = 100.000 |
К0 = 100.000 |
||||||
i = 0,12 |
i = 0,12 |
||||||
n = 10 |
n = 10 |
||||||
|
|
|
m = 2 |
||||
|
|
|
i′ = m |
|
−1 = 2 |
|
−1 = 0,0583005 |
|
|
|
1+i |
1+0,12 |
|||
К10 = 100.000(1 + 0,12)10 = |
К10 = 100.000(1 + 0,0583005 )20 = |
||||||
310.584,82 |
|
|
310.584,82 |
|
|
||
2.3.4 Смешанное начисление процентов
Капитал K0 = 15.000 евро положен во вклад 1.01.2015 г. в банке, предо- ставляющем 4 % в год. Какую сумму составит этот вклад 19 апреля 2024 г. при
условии, что исчисление процентов будет происходить в конце каждого года?
1 = 2 = 0,302778
19 апреля: ! лет
[n] = 9 Срок: n = 9,302778 лет
20
Глава 2 Исчисление процентов
Относительное (+ смешанное) начисление процентов
За [n] целых процентных периодов начисляем сложные проценты. |
|
На оставшийся срок γ начисляем относительные проценты. |
|
Конечная стоимость: 5 = 6758(1 + 1 ∙ 9) |
12 |
К9,302778 |
= 1,049 1 + |
109 |
×0,04 |
×15.000 = 21.349,677 ×1,01211 = 21.608,24 |
|
360 |
|||||
|
|
|
|
Изменим условия приведенного выше примера. Допустим, что капитал должен был быть вложен еще 18 июля 2014 г. Тогда:
1 = ! 1 = 2
! , [n] = 9, !
n = 9 + |
271 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Банковское относительное (+ смешанное) начисление процентов |
|
|||||||||||||||||
На оставшийся срок γ1 начисляем относительные проценты. |
|
|||||||||||||||||
На срок n - γ1 - γ2 процентных периодов начисляем сложные проценты. |
|
|||||||||||||||||
На оставшийся срок γ2 |
начисляем относительные проценты. |
|
||||||||||||||||
Конечная стоимость: |
5 |
= |
(1 + 1 ∙ 9)65:;<:;=(1 + 1 ∙ 9) |
13 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
162 |
|
|
|
|
|
9 |
|
109 |
|
|
|
||
К9,7527 = 15.000 1 |
+ |
|
|
|
|
× 0,04 |
×1,04 |
|
1 + |
|
× 0,04 |
= |
|
|||||
360 |
|
|
360 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15.000 ×1,018 ×1,4233118 ×1,01211 = 21.997,794 |
|
|
||||||||||||||||
Конформное (+ смешанное) начисление процентов |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= 6 |
758>; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Конечная стоимость: |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
||||
К9,7527 = 15000 ×1,04 |
9,7527 |
= 21989,41 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
21
Глава 3 Расчет ренты
Глава 3 Расчет ренты
3.1 Постоянные платежи
Определение:
Платежи, повторяющиеся через равные временные интервалы - и в особенности в равном размере - и составляющие определённую сумму r, называются
рентой.
Рентой обозначается как совокупность текущих платежей, так и каждая отдельная выплата.
При исчислении ренты различают:
•по размеру ренты:
-константная (постоянная) рента,
-динамичная (изменяющаяся) рента,
•по сроку выплаты ренты:
-последующая рента (выплата в конце периода),
-предварительная рента (выплата в начале периода),
•по количеству выплат рент в году:
-годовая рента (одна выплата в год),
-многоразовая рента (несколько выплат в течение года).
3.1.1Последующие ренты (конечная и текущая стоимость)
Последующая конечная стоимость ренты
Речь идёт о стоимости всех выплаченных в конце года платежей, включая сложные проценты в конце последнего года, т.е. о последующей (постнуме- рандо) конечной стоимости n раз выплаченной ренты на момент времени n.
r ● q n - 1
r ● q n - 2
.
r ● q
|
r |
r |
. . . |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
|
n - 1 |
n |
|
Рис. 3.1 Последующая конечная стоимость ренты
22
Глава 3 Расчет ренты
Для расчёта последующей конечной стоимости ренты Rn получаем (рис.3.1):
Rn |
= r × q n−1 + r × q n−2 + ... + r × q + r |
|
||||||||
Rn |
= r (q n −1 |
+ q n −2 + ... + q + 1) |
|
|||||||
Rn |
= r × |
q n |
-1 |
|
|
|||||
q -1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если обозначить |
|
|
коэффициент последующей |
конечной стоимости ренты |
||||||
(коэффициент наращения ренты) как sn , |
|
|||||||||
sn |
= |
qn -1 |
= |
qn -1 |
16 |
|||||
q -1 |
|
|
i |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
то получаем ещё одну формулу для расчёта последующей конечной стоимости ренты:
Rn = r × sn |
24 |
Пример:
А. вносит в конце каждого года в Сбербанк 300 евро. Сколько составит накопленная сумма, включая сложные проценты по ставке 3%, в конце 12-го года?
R12 = 300× s12 = 300× 1,0312 -1 = 4.257,61
1,03 -1
Последующая текущая стоимость ренты
Понятие «последующая (постнумерандо) текущая стоимость ренты» подразумевает сумму всех платежей, дисконтированных на начало первого года.
Последующая текущая стоимость ренты Ro может быть рассчитана путем дисконтирования каждого отдельного платежа на начало первого года, т .е. на момент времени 0. Она может быть получена также непосредственно дисконтированием последующей конечной стоимости ренты на момент времени 0.
R = R |
|
× |
1 |
|
= r × |
q n -1 |
× |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|||||
0 |
|
q n |
|
q -1 q n |
|||||
|
|
|
|
||||||
Если обозначить |
коэффициент последующей текущей стоимости ренты |
||||||||
(коэффициент дисконтирования ренты) как an
23
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3 Расчет ренты |
|
an |
= |
qn -1 |
|
× |
1 |
= |
1- vn |
17 |
|
q -1 |
qn |
i |
|||||||
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то получаем еще одну формулу для расчета последующей текущей стоимости ренты:
R0 = r × an |
25 |
Пример:
А. необходимо внести 12 годовых взносов в размере 300 евро в конце каждого года. Как А. может погасить эту сумму путем разовой текущей выплаты в начале первого года при ставке процента 3%?
R = 300 × a = 300 × |
1,0312 -1 |
× |
1 |
= 2.986,20 |
|||
|
|
|
|||||
0 |
12 |
1,03 |
-1 |
|
1,0312 |
|
|
|
|
|
|
||||
3.1.2 Предварительные ренты (конечная и текущая стоимость)
Предварительная конечная стоимость ренты
Текущая стоимость |
Конечная стоимость |
ренты |
ренты |
|
r |
r |
r |
. . . |
r |
|
r |
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
n - 2 |
n - |
1 |
n |
|||
Рис. 3.2 Предварительная конечная стоимость ренты
В отличие от последующей, при определении предварительной (пренуменрандо) конечной стоимости ренты сложные проценты начисляются на каждый платеж, внесённый на начало года, причем число процентных периодов на один больше. Тем самым для расчёта предварительной конечной стоимости ренты R’n получаем следующее:
R 'n |
= r × |
q n - 1 |
× q |
|
q - 1 |
||||
|
|
|
?Если@ обозначить коэффициент предварительной конечной стоимости ренты как
5
s¢ |
= |
qn -1 |
|
× q = |
qn -1 |
× q |
, |
18 |
q -1 |
|
|||||||
n |
|
|
i |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
Глава 3 Расчет ренты
то получаем еще одну формулу для расчета предварительной конечной стоимости ренты:
Rn′ = r × sn′ |
24а |
Пример:
А. вносит в начале каждого года в Сбербанк 300 евро. Сколько составит накопленная сумма, включая сложные проценты по ставке 3%, в конце 12 –го года?
R'12 = 300× s'12 = 300×1,0312 -1 ×1,03 = 4.385,34
1,03 -1
Предварительная текущая стоимость ренты
В отличие от последующей, при определении предварительной (пренумерандо) текущей стоимости ренты каждый взнос дисконтируется на один процентный период меньше. Тем самым для расчета предварительной текущей стоимости ренты R'o получаем следующее:
R '0 = r × |
q n - 1 |
|
× |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
q n −1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
q - 1 |
|
|
|
|
|
||||||
Если теперь |
коэффициент |
|
предварительной текущей стоимости ренты |
||||||||||||
|
|
n |
A5 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
обозначить как |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a¢ |
= |
q -1 |
× |
1 |
|
|
= |
1 - v |
|
, |
19 |
||||
q -1 |
qn −1 |
|
1 - v |
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то получаем еще одну формулу для расчета предварительной текущей стоимости ренты:
′ |
′ |
25a |
R0 |
= r × an |
Пример:
А. необходимо внести 12 годовых взносов в размере 300 евро в начале каждого года. Как А. может погасить эту сумму путем разовой текущей выплаты в начале первого года при ставке процента 3%?
R'0 = 300 × a'n |
= 300 × |
1,0312 -1 |
× |
1 |
= 3.075,79 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
1,03 -1 |
1,0311 |
||||||
|
|
|
|
|||||
25
Глава 3 Расчет ренты
3.1.3 Определение срока ренты
Пример:
Сумма 2.986,20 евро должна быть выплачена последующими рентными платежами по 300 евро. Каков срок ренты при начислении сложных процентов по ставке 3%?
Дано: Rn = 2.986,20 евро; q = 1,03; r = 300 евро Найти: n
Первый вариант решения:
Rn = r × an
an = Rn = 2.986,20 = 9,95400 r 300
С помощью таблицы «Текущая стоимость последующей ренты» можно рассчитать, что n = 12 лет.
Второй вариант решения:
Из формулы коэффициента последующей текущей стоимости ренты аn можно вывести n:
an = |
|
qn -1 |
× |
1 |
|
= |
1- vn |
|
|
|
n = − |
log[1−a |
n |
(q −1)] |
27 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
q -1 qn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
logq |
|
|||||||||||||
В нашем примере: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n = − |
log[1−9,95400(1,03 −1)] |
|
= − −0,1540466 |
=12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
log1,03 |
|
0,0128372 |
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
срок ренты n : |
|
n, |
r |
и |
q |
, а тем самым и |
s |
n |
n |
|
s |
n), |
то можно определить |
|||||||||||||||
Также если даны R |
|
|
|
|
|
|
|
|
(из R = r |
|
|
|||||||||||||||||
n = |
log[1 + sn (q −1)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
||||||||||||||
|
|
log q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.2 Платежи, изменяющиеся по арифметической прогрессии
Рассмотренные выше формулы для расчёта конечной или текущей стоимости ренты предполагают константные (т. е. равные) платежи. Если платежи не равны, то для определения конечной либо текущей стоимости должен наращиваться или дисконтироваться каждый отдельный платеж. В случае
26
Глава 3 Расчет ренты
изменения платежей по арифметической прогрессии можно все же вывести некоторые формулы.
Конечная стоимость последующей ренты, изменяющейся по арифметической прогрессии :
Rn |
= r × sn |
+ |
d |
(sn - n) |
28 |
|
|||||
|
|
|
i |
|
|
Конечная стоимость предварительной ренты, изменяющейся по арифметичес- кой прогрессии:
R¢ |
= r × s¢ |
+ |
d |
(s¢ |
- q × n) |
28a |
|
||||||
n |
n |
|
i |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Текущая стоимость последующей ренты, изменяющейся по арифметической прогрессии:
|
= r × an |
+ |
d |
|
- |
n |
|
|
||
R0 |
|
|
29 |
|||||||
|
|
|
||||||||
i |
an |
q |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Текущая стоимость предварительной ренты, изменяющейся по арифметической прогрессии:
|
|
|
d |
|
|
|
|
n |
|
R¢ |
= r × a¢ |
+ |
a¢ |
- |
|
|
|||
|
|
n−1 |
|||||||
0 |
n |
|
i |
|
n |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом r означает «первый» друг за другом платежами.
29a
платеж, d - разность между двумя следующими
3.3 Платежи, изменяющиеся по геометрической прогрессии
Вышесказанное имеет силу и для платежей, изменяющихся по геометрической прогрессии.
Конечная стоимость последующей ренты, изменяющейся по геометрической прогрессии:
Rn |
= r |
q n - a n |
30 |
|
q - a |
||||
|
|
|
Конечная стоимость предварительной ренты, изменяющейся по геометрической прогрессии:
R¢ = r |
q n - a n |
× q |
30а |
|
q - a |
||||
n |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
27 |
Глава 3 Расчет ренты
Текущая стоимость последующей ренты, изменяющейся по геометрической прогрессии:
R0 |
= r |
q n - a n |
× |
1 |
31 |
|
q - a |
q n |
|||||
|
|
|
|
Текущая стоимость предварительной ренты, изменяющейся по геометрической прогрессии:
R¢ = r |
q n - a n |
× |
1 |
31а |
|
q - a |
q n−1 |
||||
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
При этом r означает «первый» платеж, а - частное двух следующих друг за другом платежей.
3.4 Ренты с длительностью менее года и годовым начислением процентов
До сих пор предполагалось, что рентный период и процентный период совпадают. Если этого не происходит, то появляется необходимость расчета соответствия.
Приведение в соответствие рентного периода и процентного периода матема- тически происходит путем наращения сложных процентов и суммирования рентных платежей, поступающих в течение года, на конец года. Иначе говоря, определяется эквивалентный последующий годовой платеж. С помощью этого «вспомогательного» платежа можно рассчитать «нормальную» ренту.
Наращение сложных процентов происходит:
•с помощью относительного начисления на конец года,
•с помощью конформного начисления на конец года.
3.4.1Относительное начисление сложных процентов на конец года
Обозначения:
r - рентный платеж в течение года (последующий), r’ - рентный платеж в течение года (предварительный),
R - эквивалентный (конформный) рентный платеж в конце года (при последующей ренте в течение года),
R’ - эквивалентный (конформный) рентный платеж в конце года (при предварительной ренте в течение года),
i - годовая ставка процента,
i’ - конформная (до одного года) ставка процента, q= (1+i) - номинальный коэффициент наращения,
28
Глава 3 Расчет ренты
q’ = (1 + i‘) – конформный (до одного года) коэффициент наращения стоимости n раз выплаченной ренты на момент времени n,
m - число рентных периодов в течение года.
r + r ●
r + r ●
r + r ●
|
|
|
r |
r |
r |
r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
/: / /> /> |
||||||||||
|
|
|
/ |
/ |
|
/ |
/ / / |
||||||||
i /:/ i /:/
i /
n
Рис. 3.3 Последующий и предварительный рентный платеж в течение года
При последующем рентном платеже в течение года для эквивалентного рентного платежа в конце года R получаем:
R = r + r ×i × m −1 + r + r × m − 2 + ... + r + r ×i × 1 + r
|
m |
|
|
|
m |
m |
|||||
R = m × r + r × i × |
1 |
(m -1 + m - 2 + ... +1) |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||
R = m × r + r × i × |
1 |
× |
m −1 |
|
(m -1 +1) |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m |
2 |
|
|
|
||||
|
m - 1 |
|
|
|
|
||||||
R = r m + |
|
|
|
|
|
|
× i |
|
32 |
||
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При предварительном рентном платеже в течение года, т. е. при платеже в начале рентного периода в течение года для расчета эквивалентного рентного платежа R' в конце года получаем:
|
m + 1 |
|
|
|
R ¢ = r ¢ m + |
|
|
× i |
32а |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
3.4.2 Конформное начисление сложных процентов на конец года
При конформном начислении сложных процентов на конец года применяется конформная ставка процента и конформный (в течение года) коэффициент наращения.
29