9102
.pdfСБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2020
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Сборник задач и упражнений по математике
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород ННГАСУ
2020
1
ББК 22.1 С 23
УДК 51(075)
Печатается в авторской редакции
Рецензенты:
Н. А. Мамаева – канд. пед. наук, доцент кафедры прикладной механики, физики и высшей математики ФГБОУ ВО «Нижегородская государственная сельскохозяй- ственная академия»
Д. В. Баландин. – д-р физ-мат. наук., профессор, профессор кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный ун-т им. Н. И. Лобачевского»
Айнбиндер.Р.М Сборник задач и упражнений по математике. [Текст]: учеб.- метод. пособие / Р.М. Айнбиндер, С.П. Горбиков, В.Н. Неймарк, Г.П. Опалева, В.В. Петров, Л.С. Сенниковская, Л.В. Филатов; Нижегор. гос. архитектур. - строит. ун - т – Н. Новгород:
ННГАСУ, 2020. – 169 с. ISBN 978-5-528-00404-4
Сборник задач и упражнений включает в себя задачи и упражнения по линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислениям функции одной переменной и дифференциальному исчислению функций нескольких переменных, обыкновенным дифференциальным уравнениям, двойным интегралам, числовым и функциональным рядам, теории вероятностей и элементам математической статистики.
Предназначено для подготовки к практическим занятиям по дисциплине ««Математика» по всем направлениям подготовки.
© Р.М. Айнбиндер, С.П. Горбиков, В.Н. Неймарк, Г.П. Опалева, В.В. Петров, Л.С. Сенниковская, Л.В. Филатов 2020
© ННГАСУ, 2020.
2
Содержание
Введение |
8 |
Глава 1. Линейная алгебра |
9 |
§1. Матрицы. Действия с матрицами |
9 |
§2. Определители матриц |
11 |
§3. Обратная матрица. Ранг матрицы |
12 |
§4. Решение систем линейных алгебраических |
|
уравнений |
13 |
Глава 2. Векторная алгебра |
15 |
§1. Векторы и действия над ними |
15 |
§2. Скалярное произведение |
17 |
§3. Векторное произведение |
19 |
§4. Смешанное произведение |
20 |
Глава 3. Прямая и плоскость |
21 |
§1. Прямая линия на плоскости |
21 |
§2. Плоскость |
24 |
§3. Прямая в пространстве |
27 |
§4. Прямая в пространстве и плоскость |
30 |
Глава 4. Кривые и поверхности второго порядка |
33 |
§1. Окружность |
33 |
§2. Эллипс |
34 |
§3. Гипербола |
36 |
§4. Парабола |
37 |
§5. Приведение кривых второго порядка к каноническому |
|
виду |
39 |
§6. Кривые в полярной системе координат |
40 |
§7. Поверхности второго порядка. Построение тел |
41 |
3 |
|
Глава 5. Введение в анализ |
43 |
§1. Общие свойства функций |
43 |
§2. Числовые последовательности и их пределы |
46 |
§3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции в |
|
точке |
48 |
§4. Непрерывность функции. Точки разрыва |
51 |
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной |
|
переменной |
52 |
§1. Производная функции |
52 |
§2. Дифференциал функции. Применение дифференциала |
|
в приближённых вычислениях |
56 |
§3. Применение производной в геометрии и физике |
57 |
§4. Правило Лопиталя |
59 |
§5. Исследование функций и построение графиков |
60 |
§6. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке |
66 |
Глава 7. Комплексные числа |
67 |
§1. Геометрическая интерпретация комплексных |
|
чисел |
67 |
§2. Действия над комплексными числами, заданными в |
|
алгебраической форме |
68 |
§3. Действия над комплексными числами, заданными в |
|
тригонометрической форме |
69 |
§4. Извлечение корней из комплексных |
|
чисел |
70 |
Глава 8. Неопределённый интеграл |
70 |
§1. Непосредственное интегрирование |
70 |
§2. Интегрирование внесением под знак дифференциала или методом |
|
замены переменной |
71 |
§3. Интегрирование по частям |
72 |
§4. Интегрирование рациональных функций |
73 |
§5. Интегрирование тригонометрических функций |
73 |
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций |
74 |
4 |
|
§7. Смешанные примеры |
74 |
Глава 9. Определённый интеграл |
76 |
§1. Непосредственное вычисление определённого интеграла |
|
и внесение функции под знак дифференциала |
76 |
§2. Замена переменной в определённом интеграле |
76 |
§3. Интегрирование по частям в определённом интеграле |
76 |
§4. Несобственные интегралы |
77 |
§5. Приложения определённого интеграла |
80 |
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций |
|
многих переменных |
81 |
§1. Область определения функции многих переменных |
81 |
§2. Линии уровня функции нескольких переменных |
81 |
§3. Частные производные функции нескольких переменных |
81 |
§4. Производные от функции нескольких переменных, заданных неявно |
82 |
§5. Дифференциал функции нескольких переменных. |
|
Применение дифференциала в приближенных |
|
вычислениях |
83 |
§6. Градиент и производная по направлению функции многих |
|
переменных |
84 |
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
85 |
§8. Экстремумы функции многих переменных. Наибольшее |
|
и наименьшее значения функции в замкнутой области |
86 |
Глава 11. Дифференциальные уравнения |
87 |
§ 1. Основные понятия и определения |
87 |
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными |
88 |
§ 3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка |
90 |
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка |
91 |
§ 5. Дифференциальные уравнения второго и высших |
|
5 |
|
порядков, допускающие понижение порядка |
92 |
§ 6. Линейные дифференциальные уравнения второго и |
|
высших порядков с постоянными |
|
коэффициентами |
94 |
Глава 12. Двойные интегралы |
97 |
§ 1. Расстановка пределов интегрирования |
97 |
§ 2. Вычисление кратных интегралов |
102 |
§3. Применение двойных интегралов для вычисления площадей и |
|
объёмов фигур |
106 |
§4. Применение двойных интегралов для вычисления физических |
|
величин |
107 |
Глава 13. Ряды |
108 |
§1. Понятие ряда. Сумма ряда и его сходимость |
108 |
§2. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных |
|
числовых рядов |
110 |
§3. Знакопеременные ряды. Условная и абсолютная |
|
сходимость |
112 |
§4. Функциональные ряды |
113 |
§5. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов к |
|
приближённым вычислениям |
114 |
Глава 14. Теория вероятностей |
115 |
§ 1. Элементы комбинаторики |
115 |
§ 2. Классическое определение вероятностей |
116 |
§ 3. Геометрические вероятности |
118 |
§ 4. Теоремы сложения и умножения |
|
вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного |
|
события |
120 |
6 |
|
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса |
121 |
§ 6. Формулы Бернулли, Муавра - Лапласа, Пуассона |
124 |
Глава 15. Случайные величины |
126 |
§1. Распределение случайных величин |
126 |
§2. Числовые характеристики случайных величин |
128 |
§3. Нормально распределенная случайная величина |
129 |
Глава 16. Основы математической статистики |
131 |
§1. Выборочный метод. Выборочные представления и |
|
выборочные числовые характеристики |
131 |
§2. Статистические оценки неизвестных параметров |
|
распределения случайных величин |
132 |
§3. Проверка статистических гипотез |
133 |
Ответы |
135 |
Список литературы |
169 |
7
Введение
В начале обучения студенты строительных ВУЗов изучают курс высшей математики, который служит фундаментальной базой при изучении дальнейших профильных дисциплин. Для подготовки студентов требуются не только учебники по высшей математике, но и задачники, необходимые для закрепления теоретического материала и при самостоятельной работе студентов.
Предлагаемый сборник задач и упражнений составлен преподавателями кафедры математики Нижегородского государственного архитектурно - строительного университета (ННГАСУ) для студентов технических. В качестве теоретической основы для решения задач студентам предлагается использовать лекционный курс, написанный преподавателями этой же кафедры ННГАСУ «64 лекции по математике», авторы В.П. Важдаев и др.
В задачнике имеется достаточное число упражнений различного уровня сложности. Кроме известных примеров из классических сборников (см. список литературы) в нём содержатся и упражнения, составленные авторами.
Авторы благодарны всем членам кафедры математики ННГАСУ за ряд замечаний, способствовавших улучшению содержания задачника, и будут признательны пользователям за любые пожелания и критические замечания.
8
Глава 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§1. Матрицы. Действия с матрицами
|
5 |
−1 4 |
0 |
−1 8 |
4 |
3 |
||||
1.1. Зная матрицы |
A = |
|
|
|
|
B = |
|
|
|
|
|
2 |
1 3 |
7 |
и |
|
0 5 |
−1 |
2 |
, найти матрицу |
|
|
|
|
|
|
X , |
удовлетворяющую условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
X −2B = 0 ; |
2) |
A +5X = 0 ; |
|
3) A + B −3X = 0; |
4) |
|
3A − |
1 |
X = B . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
|
|
|
|
|
5 −1 4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
A = |
|
B = |
|
5 |
|
6 |
|
D = |
2 |
|
||||||||||
1.2. |
Для |
|
матриц |
|
|
, |
|
|
, |
C = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
7 |
|
8 |
|
|
2 3 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существуют ли произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
AB ; |
|
|
|
2) |
BA; |
|
|
3) |
AC ; |
|
|
|
|
4) |
CA ; |
|
|
|
|||||||
5) |
BC ; |
|
|
6) CB ; |
|
|
7) |
DA ; |
|
|
|
|
8) |
AD ; |
|
|
|
|||||||||
9) |
ABC ; |
|
|
10) |
BAD ; |
|
|
11) |
CBA ; |
|
|
|
12) ACB ? |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
A = |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
||
1.3. |
Даны матрицы |
|
|
, |
|
B = |
|
, |
|
C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
3) (AC)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
AB ; |
|
|
|
2) |
C 2 ; |
|
|
|
|
|
4) |
CA 2 ; |
|
|
|
||||||||||
5) |
(A +C)2 ; |
|
6) |
(A − 2C)2 ; |
7) (A +C)2 B; |
|
8) |
ACB . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
В задачах 1.4 - 1.7 найти элементы |
|
c 32 |
и c13 |
матрицы |
C = A × B , |
если: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
3 2 |
|
|
|
|
− 2 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.4. |
2 |
0 |
4 , |
|
B |
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
− 5 |
3 |
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.5. |
A = |
|
1 |
|
0 1 −1 , B = |
0 |
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 2 |
|
1 |
7 |
|
|
|
|
5 |
|
− 4 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
2 |
|
|
− 3 |
|
2 |
|
1 |
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1.6. |
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
− 2 − 4 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|