1 Случай:

∫𝑅(𝑥; )𝑑𝑥

n N, ,

R(x,y) - рац. функция от х

Теорема: ∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 вычисляется в элементарных функция

(Тут как доказывается)

Шаг 1. Замена переменной.

t =

x = - рац. функция от t

dx =

∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 = ∫𝑅( , t)

Шаг 2. Вычисляем интеграл

Шаг 3. Производим обратную замену

2 Случай(Подстановки Эйлера):

∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥 (1)

ax²+bx+c - не имеют двух одинаковых корней

Теорема: Если выполняется хотя бы одно из условий:

1. коэффициент а > 0

2. с > 0

3. ax²+bx+c имеет два различных корня

Тогда (1) вычисляется в элементарных функциях

Для решения таких задач используются подстановки Эйлера.

I подстановка:

t = + , a > 0

II подстановка:

xt + = , c > 0

III подстановка:

t(x-x1) = , где x1,x2 - различные корни уравнения

Т.к. записи в таких подстановках получаются громоздкими, то рассматривают отдельные случаи, когда можно не применять подстановки Эйлера.

3 Случай. Биномиальный дифференциал:

(1) , где n,p,m - рациональные числа, a,b - любые постоянные. Если выполняется одно из трех условий:

1. p - целое, (то выполняется подстановка x = t ^N, где N – общий знаменатель дробей m и n.)

2. - целое, (то подстановка a x ⁿ + b = t ^M, где M – знаменатель числа p.)

3. + p - целое, (то подстановка a + b x ^{– n} = t ^M, где M – знаменатель числа p.)

то (1) вычисляется в элементарных функциях

5. Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.

Интегрирование рациональной функции зависящей от sinx и cosx.

(!) (Sinx, cosx)dx

Например: R(🇺, v) = , где u=sinx; v=cosx

Теорема: (!) вычисляется в элементарный функциях.

Доказывается путем универсальной тригонометрической подстановкой, НО.

Замечание* использование универ. триг. под. обычно приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых специальных случаях используют другие замены.

В основной теореме используется замена t=tg .

Специальные случаи:

1. (sinx, cosx)dx

R(-🇺, v) = -R(🇺, v), то есть функция R нечетна по u

R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx)

пример: R = , замена t = cosx

2. R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx)

замена t = sinx

3. R(-🇺, -v) = R(🇺, v), то есть R четна по обеим переменным

R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx)

Замена t = tgx

6. Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману

фулл того что такое интеграл римана пока живет тут

Определение:

Обозначим - Интегральная сумма Римана

I = (а - нижний предел, b - верхний)

Тогда если существует конечный , то I - интеграл Римана (где = max x_k - диаметр разбиения)

В этом случае говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на [a; b].

( у нас есть интегральная сумма. И если существует конечный предел этой суммы при диаметре разбиения стремящимся к 0 пусть он равен И и если он не зависит от выбора разбиения и точек разбиения то И это и есть интеграл Римана)

Необходимое условие: если f (функция интегрируема по риману), то она ограничена.

Доказывается от противного , пусть функция неограничена тогда существует на каком то кусочке точка уходящая в бесконечность, тогда если её взять в разбиение мы получим бесконечность как слагаемое предела на этом отрезке,но по теореме предел должен быть конечным.