11. Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть

x принадлежит этому промежутку

Свойства:

1. непр. на [a, b]

2. Если f непр. на [a, b], то дифф. на этом же отрезке и

3. Если f непр. на отрезке [a, b], то

Формула Ньютона - Лейбница:

Теорема 1 (формула Ньютона - Лейбница): Если f непр. на [a, b], а F - первообразная ф-и, то

Определение: Функция называется непрерывно дифференцируемой на некотором множестве E, если в каждой точке множества E функция имеет непрерывную производную.

Теорема 2: Пусть

12. Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям.

-)Замена переменной в интеграле Римана

Теорема (Замена переменной в определенном )

Если

1) непрерывно дифференцируема на [ ]

2) ]) = [a; b]

(

3) f непрерывна на [a, b],

то

Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b].

если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка

[a;b] вида Δx_i=x_i+1—x_i,i=0,(n−1), где a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b, и любого выбора точек ξ_i , таких, что x_i≤ξ_i≤x_i+1 существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:

-)Интегрирование по частям

Теорема: Если u(x), v(x) непрерывно - дифференцируемы на [a; b]

Следствие: Если u(x), v(x) - непрерывно-дифференцируемы на [a, b], то

Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием - функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.

+

13. Простые фигуры и их свойства.

Опр.: - ячейка (прямоугольник на плоскости)

Опр.: Простая фигура - конечное объединение неперекрывающихся ячеек

=

Свойства:

1. P,Q - простые неперекрывающиеся фигуры => - простая фигура

2. P,Q - простые фигуры => - простая фигура

Замечание: 1) и 2) верно для любого конечного числа простых фигур

3. P,Q - простые фигуры => P\Q - простая фигура

14. Мера простых фигур и ее свойства.

- ячейка

Пусть p - простая фигура, т.е.

(по определению)

Свойства: (P и Q простые фигуры*)

1. Для каждой простой фигуры P

2. Если P и Q не перекрываются, то

3. Если P Q, то

4. Если P и Q могут перекрываться, то

15. Мера Жордана и ее свойства.

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного объема в n-мерном евклидовом пространстве.

Множество измеримо по жордану если при стремлении площадей простых фигур A(вписанной в множество) и B(описывающие) к их площадь совпадает, и конечна

Свойства фигур измеримых по жордану:

1. Если P - простая фигура , то её мера mP 0;

2. Если P,Q простые фигуры не пересекаются то m(P,Q)= m(P) + m(Q)

3. Если P лежит в Q то, m(P) m(Q)

4. m(P+Q) m(P)+m(Q)

Свойства меры:

1. Критерий измеримости - множество измеримо если существует две фигуры P,Q, для любого такие что P (P содержится в E содержится в Q), такие что mQ-mP<

2. Если E измеримо по жордану то для любого существуют такие фигуры из первого свойства P,Q, такие что P и их меры для любого 2)

3. Е измеримо по жордану ⇔ любого >0 Существуют A,B измеримые по жордану A mB-mA <

4. Если E это сумма простых непересекающихся фигур E1 E2 то m(E)=m(E1)+m(E2)

5. Если E1,E2 измеримые по жордану и E1 E2 то mE1 mE2

6. Если E1,E2 измеримые по жордану m(E1+E2) m(E1)+m(E2)

7. Мера фигур не изменяется при параллельном переносе множества