- •1. Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства)
- •2. Интегрирование по частям и замена переменной. Теорема (Замена переменной):
- •3. Интегрирование рациональных функций.
- •4. Интегрирование иррациональных функций(∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥, биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •1 Случай:
- •2 Случай(Подстановки Эйлера):
- •3 Случай. Биномиальный дифференциал:
- •5. Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(!) (Sinx, cosx)dx
- •6. Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману
- •7. Суммы Дарбу и их свойства.
- •8. Критерий интегрируемости по Риману.
- •9. Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •10. Свойства интеграла Римана.
- •11. Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям.
- •13. Простые фигуры и их свойства.
- •14. Мера простых фигур и ее свойства.
- •15. Мера Жордана и ее свойства.
- •16. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.
- •17. Вычисление площади криволинейного сектора.
- •18. Кривые.
- •19. Вычисление длины кривой.
- •20. Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •21. Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса
- •22. Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •23. Предел функции.
- •26. Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •27. Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •28. Равномерная непрерывность.
- •33. Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •34. Дифференциалы высших порядков.
- •35. Формула Тейлора.
- •36. Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •37. Неявные функции, теорема об обратной функции. Не будет в экзе!!!
- •38. Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
26. Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
Линейно-связное множество — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Теорема: Если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Следствие: Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой значение функции равно нулю.
27. Компактность и теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса для функции с 1 переменной
Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значения.
Пусть Х ⊂ R^n
Множество Х называется компактным, если из любой последовательности этого множества можно выделить сходство в Х подпоследовательности:
хn ⊂ Х =>∃{хnk} ⊂ {хn}
хnk → хn
k→∞
Теорема 1:
Множество Х компланарно ⇔ Х замкнуто-ограничено
Теорема 2 (Вейерштрасса):
Непрерывная на компакте функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значения
Следствие (о множестве значений функции непрерывной на линейно-связанном множества):
если функция непрерывна на компактно линейно-связанном множестве Х, то множество её значений равно [m;M], где m = min f(x), M = max f(x) x∊X x∊X
28. Равномерная непрерывность.
f(x) определена на X Rn, то есть X - вектор
Определение: Функция f(x) равномерно непрерывна на Х, если
= > 0 : x՝, x՝՝ X, x՝, x՝՝) <
Если f равномерно-непрерывна на X (⇍) f непрерывна на Х
Теорема 1 (Кантора):
Непрерывная на компакте (на ограниченном и замкнутом множестве) функция равномерно-непрерывна.
(маленький бонус)
29. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал.
то он называется частотой произ. ф-и f по переменной в точке Обозначение: ( )
Если
точке
Главная/ линейная часть полного приращения ф-и f наз. дифференциалом ф-и в точке и обозн. df( )
Теорема:
f дифференцируема в
Теорема:
Если ф-я дифф. в , то она непрерывна в этой точке.
Теорема:
Если ф-я дифф. в ,
Следствие: Если ф-я дифф. в , то df( )=
30. Геометрический смысл дифференцируемости, дифференциала и частных производных.
-)Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину.
-)Геометрический смысл частной производной в точке - тангенс угла между касательной, проведенной в заданной точке к кривой, и положительным направлением оси O x .
31. Производная сложной функции.
Теорема 1: Если x(t), y(t) дифференцируемы в (.) , то h(суперпозиция) дифференцируема в и ее производная равна:
Теорема 2: Если дифференцируема в , , f дифференцируема в (.) = x( ), то h дифференцируема в и:
(маленький бонус)
32. Производная по направлению и градиент.
n = 2
f(x, y)
пояснительная бригада: справа внизу от верхнего Y , внизу после
Движение вдоль OX
Пусть
-типа альфа
= cos
xl = cos
yl = cos β
вектор - ={cos , cosβ) - направляющие косинусы
|| || =
Опр: Если существует кон то он называется производной по направлению функции f в точке и об
Теорема: Если f диф в точке то ∀
существует
Градиентом функции f в точке называют вектор