22. Открытые и замкнутые множества в Rn.

Опр.: называется множество

Опр.: Множество Е - ограничено, если ,

E - ограничено, если

Опр.: - внутренняя точка множества Е, если .

Множество всех внутренних точек Е - внутренность множества Е (int E)

Опр.: - внешняя точка Е, если .

Множество всех внешних точек Е - внешность множества Е (ext E)

Опр.: - граничная точка Е, если она не является ни внешней, ни внутренней точкой.

Множество всех граничных точек Е - граница множества Е ( )

Опр.: Множество Е - открытое, если оно не содержит своих граничных точек:

Опр.: Множество Е - замкнутое, если граница множества Е содержится в этом множестве:

Теорема двойственности:

Множество Е - открытое (дополнение до множества) - замкнутое

Свойства открытых и замкнутых множеств:

1. Е - открытое Е является внутренностью (Е = int E)

Опр.: - предельная точка Е, если в есть точки из Е

Опр.: - точка прикосновения множества Е, если в есть точки из Е

Опр.: - изолированная точка Е, если ( в нет множества Е, отличных от x₀)

2. Е - замкнутое E содержит все свои предельные точки

Е - замкнутое Е содержит все свои точки прикосновения

3. - предельная точка Е

4. E - замкнутое , т.е. Е содержит пределы всех последовательностей из Е

5. Конечное объединение замкнутых множеств - замкнутое множество (перестает быть верным для бесконечного объединения замкнутых множеств)

6. Пересечение любого числа замкнутых множеств - замкнутое множество

7. Конечное пересечение открытых множеств - открытое множество (нельзя взять бесконечное пересечение)

8. Объединение любого числа открытых множеств - открытое множество

23. Предел функции.

Пусть f(x) = f ( ) опр на X⊂

a - предельная точка множества X

Опр: (По коши)

(!) , если

Опр:(По Гейне)

(!!) ( )

↑

x{ }

Теорема 1:

Опр(!) ~ Опр(!!) доказываются, как для 1 переменной.

Свойства предела функции n переменных такие же как и свойства предела функции 1 переменной.

Теорема 2 Критерий Больцано Коши (существование предела функции):

Док-во как для 1 перем.

24. Повторные пределы.

Повторные пределы - это когда мы берем пределы от функции двух переменных поочередно.

Как на рисунке, сначала придел по X, потом по Y. В зависимости от порядка повторные пределы могут отличаться. Но есть теорема:

Равенство повторных пределов

Пусть функция определена в проколотой окрестности точки - и имеет в этой точке предел (обычный). Тогда любой повторный предел в точке существует и равен обычному пределу этой функции в этой точке.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.Видео

25. Непрерывность функции в точке.

f(x) x Rⁿ - вектор f(x) определена на X Rⁿ

x₀ X ОПРЕДЕЛЕНИЕ: f непрерывна в (.) x₀, если U(x₀): x U(x₀)∩X => |f(x)-f(x₀)|<

Свойства:(совпадают со свойствами непрерывной функции 1й переменной) 1. Если x₀ - изолированная (.) мн-ва X, то f непр в x₀

2. Если x₀ - lim-ая (.) мн-ва X, то f непр в (.) x₀ ⇔ lim_{(x →x0)}f(x) = f(x₀)

3. Сохранение знака непрерывной функции в окрестности (.)-ки непрерывности 4. Арифметические операции 5. Суперпозиция непр функций