- •1. Первообразная и неопределенный интеграл (определения, свойства)
- •2. Интегрирование по частям и замена переменной. Теорема (Замена переменной):
- •3. Интегрирование рациональных функций.
- •4. Интегрирование иррациональных функций(∫𝑅(𝑥, )𝑑𝑥, биномиальный дифференциал, подстановки Эйлера).
- •1 Случай:
- •2 Случай(Подстановки Эйлера):
- •3 Случай. Биномиальный дифференциал:
- •5. Интегрирование функций, содержащих тригонометрические.
- •(!) (Sinx, cosx)dx
- •6. Интеграл Римана: определение, необходимое условие интегрируемости по Риману
- •7. Суммы Дарбу и их свойства.
- •8. Критерий интегрируемости по Риману.
- •9. Достаточные условия интегрируемости по Риману.
- •10. Свойства интеграла Римана.
- •11. Интеграл с переменным верхним пределом, свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменной в интеграле Римана. Интегрирование по частям.
- •13. Простые фигуры и их свойства.
- •14. Мера простых фигур и ее свойства.
- •15. Мера Жордана и ее свойства.
- •16. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.
- •17. Вычисление площади криволинейного сектора.
- •18. Кривые.
- •19. Вычисление длины кривой.
- •20. Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).
- •21. Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса
- •22. Открытые и замкнутые множества в Rn.
- •23. Предел функции.
- •26. Линейно-связные множества и теорема Больцано-Коши о нуле.
- •27. Компактность и теорема Вейерштрасса.
- •28. Равномерная непрерывность.
- •33. Частные производные высших порядков, независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.
- •34. Дифференциалы высших порядков.
- •35. Формула Тейлора.
- •36. Экстремумы (необходимое условие, достаточное условие, следствие для функций двух переменных).
- •37. Неявные функции, теорема об обратной функции. Не будет в экзе!!!
- •38. Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
37. Неявные функции, теорема об обратной функции. Не будет в экзе!!!
Функция одной переменной
F(x, y) = 0 (1)
Если для каждого
неявной ф-й, заданной в .
Теорема 1:
Пусть
F(x, y) = 0 (1)
F: 1) F( )=0
2) непр. в U( )
3)Имеет непрер. част. произв. в U( )
4) ( ) != 0
P( )
В U( ) ур-е (1) определяет неявную ф-ю со значениями в U( ), причём
f(x) непр. в U( )
в т. (x, f(x)) в U( )
II. Неявные функции нескольких переменных
F(
Теорема:
F
F( )=0
Непрер. в U( )
Имеет частную непр. произв. в U( )
Тогда ) со значениями в
а) f( )=
б) f непр. в U( )
в) в U( ) и непрер.
III. Матрица Якоби, Якобиан
Матрица Якоби - Матрица частных производных
Якобиан - определитель матрицы Якоби
IV. Система неявных ф-й
Условие:
функций.
Теорема:
непр. в U( )
3)все ф-и им. непр. частные произв. по всем переменным в U( )
4) ) /
т. ч. ) , причём выполняются след. св-ва:
ф-и имеют все част. произв., непр. в
38. Условные экстремумы, метод множителей Лагранжа.
f(x1, …, xn) определена в D Rn
⎧ -уравнение связывающее переменные
…
⎨
⎩ -уравнение связи
При этом m<n
Возьмем (.) x0 = ( D, удовлетворяющую (1)
Определение: x0 - (.) условного максимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
x0 - (.) условного минимума функции f при условиях (1), если : x удовлетворяет (1), f(x) f(x0)
Метод множителей Лагранжа
Функция L(x, ) = f(x) + - функция Лагранжа
x = (x1, …, xn)
= ( , …, ) - множители Лагранжа
Теорема 1: необходимое условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет условиям:
непрерывна в D
имеют непрерывные частные производные в D
0 в D, (Якобиан; берем последние n “иксов”)
x0 - (.) условного экстремума функции f
Тогда набор , …, ), так что все частные производные
= 0 (2)
Теорема 2: достаточное условие условного экстремума
Пусть f, удовлетворяет тем же условиям, что и в первой теореме и они являются дважды непрерывно-дифференцируемы в U(x0), x0 удовлетворяет условию (2)
Если d2L(x0, ) > 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного минимума
Если d2L(x0, ) < 0, при выполнении условий (1), то х0 - (.) условного максимума (маленький бонус)