16. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.

1. f(x) 0 на [a;b]

Рассмотрим E = {(x;y) R²:a x b; 0 y f(x)}

Теорема 1:

Если f R[a;b], то E - измеримо по Жордану и mE = f(x)dx

2. E = {(x;y) R²: a x b; f(x) y g(x)}

Теорема 2:

Если f(x), g(x) R[a;b], то mE = (g(x) - f(x))dx

17. Вычисление площади криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r( ), заданную в полярной системе координат, которая принимает неотрицательные значения на отрезке ∈ [α; β] и непрерывна на нем.

Криволинейным сектором называется ФИГУРА, ограниченная отрезками лучей = α, = β и графиком r = r( )

E = {(r; ) R²: ; 0 r r( )}

Теорема 3:

Если r( ) R [ ; ], то Е - измеримо по Жордану и mE = S = ( ) d

(маленький бонус)

18. Кривые.

Кривые в плоскости - образ некоторого отрезка под действием непрерывного отображения.

,где x(t) и y(t) непрерывны на [a;b]

С(кривая) – образ r([a;b]), где r(‘…’) вектор функции

Обозначение: С:r(t), t ∈ [a;b]

Типы кривых:

1. Кривая С называется замкнутой, если начало и конец совпадают.

2. Кривая С называется кривой Жордана/простой кривой, если эта кривая не имеет пересечений.

Т.е. c: r(t), t [a;b]; t₁ t₂ r(t₁) r(t₂)

3. Кривая С называется непрерывно-дифференцируемой на отрезке [a;b] , если x(t) и y(t) являются непрерывно-дифференцируемые на этом отрезке.

4. Кривая называется гладкой, если она непрерывно-дифференцируемая и сумма 0 на отрезке [a;b].

19. Вычисление длины кривой.

Теорема 1:

Если c : r(t) = (x(t); y(t)), где t [a; b]

с - простая, спрямляемая, гладкая - ( (x )² + (y )² ) 0

то l(c) =

Лемма:

Если a, b, c R, то

Следствие 1: кривая задана явно

с : y = f(x), x [a; b]

x = x

⎨y = f(x), x [a; b]

По теореме 1:

l(c) =

Пример:

Следствие 2: кривая задана в полярных координатах

с : r = r( ), [ ]

c :

⎨

По теореме 1:

Пример:

20. Пространство Rn (скалярное произведение, норма, метрика).

Опр. Множество

В множестве можно ввести операции умножения на константу и сложение

Скалярное произведение x, y R

(x, y) =

Свойства скалярного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. (x+y, z) = (x, z) + (y, z)

Число

Свойства нормы:

1. 

2. 

3. 

Лемма 1: Нер-во Коши-Буняковского-Шварца

Если вектора x, y

Лемма 2: Нер-во Минковского

Если

Расстояние между x, y - число

Свойства расстояния:

1. 

2. =

3. Неравенство треугольника:

Если функция удовлетворяет свойствам 1-3, то такая функция называется метрикой

21. Предел последовательности в Rn: свойства, критерий Больцано-Коши, теорема Больцано-Вейерштрасса

Множество - множество состоящее из всех упорядоченных наборов

x=(x₁...x_n) X_k

Свойства

1. В множестве можно ввести операции умножения на константу и сложение

2. Если x_k x₀ и y_k y₀ => (x_k;y_k) (x₀;y₀) при k

3. x_k x₀ при k , то при k

4. Если x_k x₀ и y_k y₀ => (x_k;y_k) (x₀;y₀) при k

5. Если x_k x₀ при k , то для всякой подпоследовательности x_kj; x_kj x₀,

j

-)Предел последовательности в x_k=( x₀=( , где - номер вектора, - номер координаты

(при k ), если (при k )

-)Теорема 1

Точка сходимости в эквивалента координатной сходимости

x_k - последовательность x_k - ограниченная, если const C: C

-)Критерий Больцано-Коши

Если последовательность X_k- сходится ⇔ X_k -фундаментальная

-) теорема Больцано-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.