Обозначается: α(x) |
~ c (β(x))k . |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
Определение 2 |
|
|
|
|
Главной частью бесконечно малой функции f (x) в конечной |
||||
точке x0 называется простейшая б. м. вида c(x − x0 )k |
( c ≠ 0 ), |
|||
эквивалентная f (x) при x → x0 , |
где k - |
порядок б. |
м. f (x) |
|
относительно б. м. (x − x0 ). |
|
|
|
|
Определение 3 |
|
|
|
f (x) в |
Главной частью |
бесконечно |
малой |
функции |
|
бесконечно удаленной точке называется простейшая б. м. вида
|
c |
|
( c ≠ 0 ), эквивалентная f (x) при x →∞, где k - порядок |
||
|
xk |
||||
|
|
|
|
||
б. м. |
f (x) относительно б. м. |
1 |
. |
||
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
Свойства главных частей б. м.
1)Главная часть произведения б. м. функций равна произведению главных частей сомножителей.
2)Главная часть суммы б. м. одного порядка равна сумме главных частей слагаемых, за исключением случая разности эквивалентных б. м.
3)Пусть α(x)= f (x)β(x), где α(x) и β(x) - б. м. в точке x0
и lim f (x)= c ( c ≠ 0 , c ≠ ∞). Тогда |
|
|
x→x0 |
|
|
α(x) ~ c β(x). |
|
|
x→x0 |
|
|
Решение задачи 8а |
|
|
а) Вычислим предел f (x) = arctg2 |
(4 3 |
x + x2 + x3 ) при |
1 |
|
|
x → 0 :
23
lim |
f |
1 |
(x)= |
lim |
arctg2 |
(43 |
x + x2 + x3 ) = 0 . |
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
Следовательно, f1(x) является б. м. функцией в точке x = 0 .
Поэтому главную часть будем искать в виде c xk . Для ее нахождения воспользуемся таблицей эквивалентных б. м.:
arctg2 (43 x + x2 + x3 ) ~ (43 x + x2 + x3 )2 .
x→0
Поскольку сумма б. м. функций разного порядка эквивалентна б. м. меньшего порядка, имеем соотношение
(43 x + x2 + x3 )2 ~ (43 x )2 =16x23 . x→0
Таким образом, главной частью б. м. f1(x) в точке x = 0
является б. м. 16x23 , имеющая относительно x порядок k1 = 23 .
б) Вычислим предел f2 (x)= 3 1+sin x −1 при x →0 :
lim (3 1+sin x −1)= 0 .
x→0
Следовательно, f2 (x) является б. м. функцией в точке x = 0 . Поэтому главную часть также будем искать в виде c xk :
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 1 + sin x −1 = (1 + sin x) |
3 |
|
−1 ~ |
sin x |
~ |
x . |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x→0 |
3 |
x→0 |
3 |
|
||
Главной частью б. м. f2 (x) в точке x = 0 является б. м. |
1 x , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
порядок которой k2 =1.
24